Theorem ellspsn 21193

Description: Member of span of the singleton of a vector. (elspansn 32055 analog.) (Contributed by NM, 22-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspsn.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lspsn.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
lspsn.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspsn.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lspsn.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ellspsn	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑈 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ↔ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑈 = (𝑘 · 𝑋)))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐾   𝑘,𝑁   𝑈,𝑘   𝑘,𝑉   𝑘,𝑊   · ,𝑘   𝑘,𝑋

Proof of Theorem ellspsn

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspsn.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
2		lspsn.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
3		lspsn.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
4		lspsn.t	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
5		lspsn.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
6	1, 2, 3, 4, 5	lspsn 21192	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) = {𝑣 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)})
7	6	eleq2d 2848	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑈 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ↔ 𝑈 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)}))
8		id 23	. . . . 5 ⊢ (𝑈 = (𝑘 · 𝑋) → 𝑈 = (𝑘 · 𝑋))
9		ovex 7450	. . . . 5 ⊢ (𝑘 · 𝑋) ∈ V
10	8, 9	eqeltrdi 2870	. . . 4 ⊢ (𝑈 = (𝑘 · 𝑋) → 𝑈 ∈ V)
11	10	rexlimivw 3161	. . 3 ⊢ (∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑈 = (𝑘 · 𝑋) → 𝑈 ∈ V)
12		eqeq1 2766	. . . 4 ⊢ (𝑣 = 𝑈 → (𝑣 = (𝑘 · 𝑋) ↔ 𝑈 = (𝑘 · 𝑋)))
13	12	rexbidv 3188	. . 3 ⊢ (𝑣 = 𝑈 → (∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋) ↔ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑈 = (𝑘 · 𝑋)))
14	11, 13	elab3 3643	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)} ↔ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑈 = (𝑘 · 𝑋))
15	7, 14	bitrdi 290	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑈 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ↔ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑈 = (𝑘 · 𝑋)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {cab 2740  ∃wrex 3088  Vcvv 3453  {csn 4587  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  Basecbs 17307  Scalarcsca 17351   ·_𝑠 cvsca 17352  LModclmod 21050  LSpanclspn 21161

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-2 12331  df-sets 17262  df-slot 17280  df-ndx 17292  df-base 17308  df-plusg 17361  df-0g 17532  df-mgm 18736  df-sgrp 18827  df-mnd 18843  df-grp 19066  df-minusg 19067  df-sbg 19068  df-mgp 20280  df-ur 20327  df-ring 20380  df-lmod 21052  df-lss 21122  df-lsp 21162

This theorem is used by:  lspsnss2  21195  lsmspsn  21274  lspsneleq  21308  lspsneq  21315  lspdisj  21318  elrspsn  21440  rspsn  21570  ccfldextdgrr  34190  lshpdisj  39868  lshpsmreu  39990  lkrlspeqN  40052  lcfl7lem  42380  lcfrvalsnN  42422  mapdpglem3  42556  hdmapglem7a  42808