Theorem ellspsn 20960

Description: Member of span of the singleton of a vector. (elspansn 31547 analog.) (Contributed by NM, 22-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspsn.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lspsn.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
lspsn.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspsn.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lspsn.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ellspsn	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑈 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ↔ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑈 = (𝑘 · 𝑋)))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐾   𝑘,𝑁   𝑈,𝑘   𝑘,𝑉   𝑘,𝑊   · ,𝑘   𝑘,𝑋

Proof of Theorem ellspsn

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspsn.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
2		lspsn.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
3		lspsn.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
4		lspsn.t	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
5		lspsn.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
6	1, 2, 3, 4, 5	lspsn 20959	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) = {𝑣 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)})
7	6	eleq2d 2820	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑈 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ↔ 𝑈 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)}))
8		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑈 = (𝑘 · 𝑋) → 𝑈 = (𝑘 · 𝑋))
9		ovex 7438	. . . . 5 ⊢ (𝑘 · 𝑋) ∈ V
10	8, 9	eqeltrdi 2842	. . . 4 ⊢ (𝑈 = (𝑘 · 𝑋) → 𝑈 ∈ V)
11	10	rexlimivw 3137	. . 3 ⊢ (∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑈 = (𝑘 · 𝑋) → 𝑈 ∈ V)
12		eqeq1 2739	. . . 4 ⊢ (𝑣 = 𝑈 → (𝑣 = (𝑘 · 𝑋) ↔ 𝑈 = (𝑘 · 𝑋)))
13	12	rexbidv 3164	. . 3 ⊢ (𝑣 = 𝑈 → (∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋) ↔ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑈 = (𝑘 · 𝑋)))
14	11, 13	elab3 3665	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)} ↔ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑈 = (𝑘 · 𝑋))
15	7, 14	bitrdi 287	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑈 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ↔ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑈 = (𝑘 · 𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  {cab 2713  ∃wrex 3060  Vcvv 3459  {csn 4601  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  Basecbs 17228  Scalarcsca 17274   ·_𝑠 cvsca 17275  LModclmod 20817  LSpanclspn 20928

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-2 12303  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-plusg 17284  df-0g 17455  df-mgm 18618  df-sgrp 18697  df-mnd 18713  df-grp 18919  df-minusg 18920  df-sbg 18921  df-mgp 20101  df-ur 20142  df-ring 20195  df-lmod 20819  df-lss 20889  df-lsp 20929

This theorem is referenced by:  lspsnss2  20962  lsmspsn  21042  lspsneleq  21076  lspsneq  21083  lspdisj  21086  elrspsn  21201  rspsn  21294  ccfldextdgrr  33713  lshpdisj  39005  lshpsmreu  39127  lkrlspeqN  39189  lcfl7lem  41518  lcfrvalsnN  41560  mapdpglem3  41694  hdmapglem7a  41946