Theorem ellspsn 21311

Description: Member of span of the singleton of a vector. (elspansn 32201 analog.) (Contributed by NM, 22-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspsn.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lspsn.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
lspsn.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspsn.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lspsn.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ellspsn	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑈 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ↔ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑈 = (𝑘 · 𝑋)))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐾   𝑘,𝑁   𝑈,𝑘   𝑘,𝑉   𝑘,𝑊   · ,𝑘   𝑘,𝑋

Proof of Theorem ellspsn

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspsn.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
2		lspsn.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
3		lspsn.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
4		lspsn.t	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
5		lspsn.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
6	1, 2, 3, 4, 5	lspsn 21310	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) = {𝑣 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)})
7	6	eleq2d 2850	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑈 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ↔ 𝑈 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)}))
8		id 23	. . . . 5 ⊢ (𝑈 = (𝑘 · 𝑋) → 𝑈 = (𝑘 · 𝑋))
9		ovex 7479	. . . . 5 ⊢ (𝑘 · 𝑋) ∈ V
10	8, 9	eqeltrdi 2872	. . . 4 ⊢ (𝑈 = (𝑘 · 𝑋) → 𝑈 ∈ V)
11	10	rexlimivw 3163	. . 3 ⊢ (∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑈 = (𝑘 · 𝑋) → 𝑈 ∈ V)
12		eqeq1 2767	. . . 4 ⊢ (𝑣 = 𝑈 → (𝑣 = (𝑘 · 𝑋) ↔ 𝑈 = (𝑘 · 𝑋)))
13	12	rexbidv 3190	. . 3 ⊢ (𝑣 = 𝑈 → (∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋) ↔ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑈 = (𝑘 · 𝑋)))
14	11, 13	elab3 3643	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑣 = (𝑘 · 𝑋)} ↔ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑈 = (𝑘 · 𝑋))
15	7, 14	bitrdi 290	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑈 ∈ (𝑁‘{𝑋}) ↔ ∃𝑘 ∈ 𝐾 𝑈 = (𝑘 · 𝑋)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  {cab 2741  ∃wrex 3090  Vcvv 3454  {csn 4588  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446  Basecbs 17419  Scalarcsca 17463   ·_𝑠 cvsca 17464  LModclmod 21168  LSpanclspn 21279

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-om 7905  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8748  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-nn 12366  df-2 12435  df-sets 17374  df-slot 17392  df-ndx 17404  df-base 17420  df-plusg 17473  df-0g 17644  df-mgm 18848  df-sgrp 18940  df-mnd 18956  df-grp 19179  df-minusg 19180  df-sbg 19181  df-mgp 20394  df-ur 20441  df-ring 20494  df-lmod 21170  df-lss 21240  df-lsp 21280

This theorem is used by:  lspsnss2  21313  lsmspsn  21392  lspsneleq  21426  lspsneq  21433  lspdisj  21436  elrspsn  21558  rspsn  21690  ccfldextdgrr  34387  lshpdisj  40247  lshpsmreu  40369  lkrlspeqN  40431  lcfl7lem  42759  lcfrvalsnN  42801  mapdpglem3  42935  hdmapglem7a  43187