Theorem elrspsn 21279

Description: Membership in a principal ideal. Analogous to ellspsn 21039. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Jan-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
elrspsn.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
elrspsn.2	⊢ · = (.r‘𝑅)
elrspsn.3	⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
elrspsn	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐼 ∈ (𝐾‘{𝑋}) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝐼 = (𝑥 · 𝑋)))

Distinct variable groups:   𝑥, ·   𝑥,𝐵   𝑥,𝐼   𝑥,𝐾   𝑥,𝑅   𝑥,𝑋

Proof of Theorem elrspsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlmlmod 21239	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
2		simpr 487	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		elrspsn.1	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4	2, 3	eleqtrdi 2862	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑅))
5		eqid 2752	. . . 4 ⊢ (Scalar‘(ringLMod‘𝑅)) = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅))
6		eqid 2752	. . . 4 ⊢ (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))) = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))
7		rlmbas 21229	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(ringLMod‘𝑅))
8		elrspsn.2	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
9		rlmvsca 21236	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑅) = ( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅))
10	8, 9	eqtri 2775	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅))
11		elrspsn.3	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
12		rspval 21250	. . . . 5 ⊢ (RSpan‘𝑅) = (LSpan‘(ringLMod‘𝑅))
13	11, 12	eqtri 2775	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (LSpan‘(ringLMod‘𝑅))
14	5, 6, 7, 10, 13	ellspsn 21039	. . 3 ⊢ (((ringLMod‘𝑅) ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐼 ∈ (𝐾‘{𝑋}) ↔ ∃𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))𝐼 = (𝑥 · 𝑋)))
15	1, 4, 14	syl2an2r 693	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐼 ∈ (𝐾‘{𝑋}) ↔ ∃𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))𝐼 = (𝑥 · 𝑋)))
16		rlmsca 21234	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))
17	16	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑅 = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))
18	17	fveq2d 6856	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))))
19	3, 18	eqtr2id 2800	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))) = 𝐵)
20	19	rexeqdv 3311	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (∃𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))𝐼 = (𝑥 · 𝑋) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝐼 = (𝑥 · 𝑋)))
21	15, 20	bitrd 281	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐼 ∈ (𝐾‘{𝑋}) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝐼 = (𝑥 · 𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1550   ∈ wcel 2132  ∃wrex 3076  {csn 4572  ‘cfv 6506  (class class class)co 7381  Basecbs 17217  ._rcmulr 17259  Scalarcsca 17261   ·_𝑠 cvsca 17262  Ringcrg 20251  LModclmod 20896  LSpanclspn 21007  ringLModcrglmod 21208  RSpancrsp 21246

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1805  ax-4 1819  ax-5 1920  ax-6 1977  ax-7 2018  ax-8 2134  ax-9 2142  ax-10 2165  ax-11 2181  ax-12 2202  ax-ext 2724  ax-rep 5217  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5312  ax-pr 5380  ax-un 7703  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1553  df-fal 1563  df-ex 1790  df-nf 1794  df-sb 2081  df-mo 2556  df-eu 2586  df-clab 2731  df-cleq 2744  df-clel 2827  df-nfc 2901  df-ne 2948  df-nel 3052  df-ral 3067  df-rex 3077  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3405  df-v 3446  df-sbc 3736  df-csb 3844  df-dif 3898  df-un 3900  df-in 3902  df-ss 3912  df-pss 3915  df-nul 4277  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4856  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5091  df-opab 5153  df-mpt 5172  df-tr 5198  df-id 5531  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5642  df-rel 5643  df-cnv 5644  df-co 5645  df-dm 5646  df-rn 5647  df-res 5648  df-ima 5649  df-pred 6273  df-ord 6334  df-on 6335  df-lim 6336  df-suc 6337  df-iota 6462  df-fun 6508  df-fn 6509  df-f 6510  df-f1 6511  df-fo 6512  df-f1o 6513  df-fv 6514  df-riota 7338  df-ov 7384  df-oprab 7385  df-mpo 7386  df-om 7832  df-1st 7955  df-2nd 7956  df-frecs 8246  df-wrecs 8277  df-recs 8326  df-rdg 8365  df-er 8662  df-en 8913  df-dom 8914  df-sdom 8915  df-pnf 11204  df-mnf 11205  df-xr 11206  df-ltxr 11207  df-le 11208  df-sub 11402  df-neg 11403  df-nn 12197  df-2 12266  df-3 12267  df-4 12268  df-5 12269  df-6 12270  df-7 12271  df-8 12272  df-sets 17172  df-slot 17190  df-ndx 17202  df-base 17218  df-ress 17239  df-plusg 17271  df-mulr 17272  df-sca 17274  df-vsca 17275  df-ip 17276  df-0g 17442  df-mgm 18646  df-sgrp 18725  df-mnd 18741  df-grp 18950  df-minusg 18951  df-sbg 18952  df-subg 19137  df-mgp 20159  df-ur 20200  df-ring 20253  df-subrg 20588  df-lmod 20898  df-lss 20968  df-lsp 21008  df-sra 21209  df-rgmod 21210  df-rsp 21248

This theorem is referenced by:  dvdsrspss  33519  lsmsnpridl  33530  unitpidl1  33556  drngidl  33565  isprmidlc  33579  ssdifidlprm  33590  mxidlirredi  33603  mxidlirred  33604  1arithufdlem4  33687  ellcsrspsn  35929