Theorem elrspsn 21207

Description: Membership in a principal ideal. Analogous to ellspsn 20966. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Jan-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
elrspsn.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
elrspsn.2	⊢ · = (.r‘𝑅)
elrspsn.3	⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
elrspsn	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐼 ∈ (𝐾‘{𝑋}) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝐼 = (𝑥 · 𝑋)))

Distinct variable groups:   𝑥, ·   𝑥,𝐵   𝑥,𝐼   𝑥,𝐾   𝑥,𝑅   𝑥,𝑋

Proof of Theorem elrspsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlmlmod 21167	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
2		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		elrspsn.1	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4	2, 3	eleqtrdi 2847	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑅))
5		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Scalar‘(ringLMod‘𝑅)) = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅))
6		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))) = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))
7		rlmbas 21157	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(ringLMod‘𝑅))
8		elrspsn.2	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
9		rlmvsca 21164	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑅) = ( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅))
10	8, 9	eqtri 2760	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅))
11		elrspsn.3	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
12		rspval 21178	. . . . 5 ⊢ (RSpan‘𝑅) = (LSpan‘(ringLMod‘𝑅))
13	11, 12	eqtri 2760	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (LSpan‘(ringLMod‘𝑅))
14	5, 6, 7, 10, 13	ellspsn 20966	. . 3 ⊢ (((ringLMod‘𝑅) ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐼 ∈ (𝐾‘{𝑋}) ↔ ∃𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))𝐼 = (𝑥 · 𝑋)))
15	1, 4, 14	syl2an2r 686	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐼 ∈ (𝐾‘{𝑋}) ↔ ∃𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))𝐼 = (𝑥 · 𝑋)))
16		rlmsca 21162	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))
17	16	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑅 = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))
18	17	fveq2d 6846	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))))
19	3, 18	eqtr2id 2785	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))) = 𝐵)
20	19	rexeqdv 3299	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (∃𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))𝐼 = (𝑥 · 𝑋) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝐼 = (𝑥 · 𝑋)))
21	15, 20	bitrd 279	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐼 ∈ (𝐾‘{𝑋}) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝐼 = (𝑥 · 𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3062  {csn 4582  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  Basecbs 17148  ._rcmulr 17190  Scalarcsca 17192   ·_𝑠 cvsca 17193  Ringcrg 20180  LModclmod 20823  LSpanclspn 20934  ringLModcrglmod 21136  RSpancrsp 21174

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-mulr 17203  df-sca 17205  df-vsca 17206  df-ip 17207  df-0g 17373  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-sbg 18880  df-subg 19065  df-mgp 20088  df-ur 20129  df-ring 20182  df-subrg 20515  df-lmod 20825  df-lss 20895  df-lsp 20935  df-sra 21137  df-rgmod 21138  df-rsp 21176

This theorem is referenced by:  dvdsrspss  33479  lsmsnpridl  33490  unitpidl1  33516  drngidl  33525  isprmidlc  33539  ssdifidlprm  33550  mxidlirredi  33563  mxidlirred  33564  1arithufdlem4  33639  ellcsrspsn  35854