Theorem elrspsn 21131

Description: Membership in a principal ideal. Analogous to ellspsn 20890. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Jan-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
elrspsn.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
elrspsn.2	⊢ · = (.r‘𝑅)
elrspsn.3	⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
elrspsn	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐼 ∈ (𝐾‘{𝑋}) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝐼 = (𝑥 · 𝑋)))

Distinct variable groups:   𝑥, ·   𝑥,𝐵   𝑥,𝐼   𝑥,𝐾   𝑥,𝑅   𝑥,𝑋

Proof of Theorem elrspsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlmlmod 21091	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
2		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		elrspsn.1	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4	2, 3	eleqtrdi 2838	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑅))
5		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (Scalar‘(ringLMod‘𝑅)) = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅))
6		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))) = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))
7		rlmbas 21081	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(ringLMod‘𝑅))
8		elrspsn.2	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
9		rlmvsca 21088	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑅) = ( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅))
10	8, 9	eqtri 2752	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅))
11		elrspsn.3	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
12		rspval 21102	. . . . 5 ⊢ (RSpan‘𝑅) = (LSpan‘(ringLMod‘𝑅))
13	11, 12	eqtri 2752	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (LSpan‘(ringLMod‘𝑅))
14	5, 6, 7, 10, 13	ellspsn 20890	. . 3 ⊢ (((ringLMod‘𝑅) ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐼 ∈ (𝐾‘{𝑋}) ↔ ∃𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))𝐼 = (𝑥 · 𝑋)))
15	1, 4, 14	syl2an2r 685	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐼 ∈ (𝐾‘{𝑋}) ↔ ∃𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))𝐼 = (𝑥 · 𝑋)))
16		rlmsca 21086	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))
17	16	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑅 = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))
18	17	fveq2d 6820	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))))
19	3, 18	eqtr2id 2777	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))) = 𝐵)
20	19	rexeqdv 3290	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (∃𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))𝐼 = (𝑥 · 𝑋) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝐼 = (𝑥 · 𝑋)))
21	15, 20	bitrd 279	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐼 ∈ (𝐾‘{𝑋}) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝐼 = (𝑥 · 𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053  {csn 4573  ‘cfv 6476  (class class class)co 7340  Basecbs 17107  ._rcmulr 17149  Scalarcsca 17151   ·_𝑠 cvsca 17152  Ringcrg 20105  LModclmod 20747  LSpanclspn 20858  ringLModcrglmod 21060  RSpancrsp 21098

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5214  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5367  ax-un 7662  ax-cnex 11053  ax-resscn 11054  ax-1cn 11055  ax-icn 11056  ax-addcl 11057  ax-addrcl 11058  ax-mulcl 11059  ax-mulrcl 11060  ax-mulcom 11061  ax-addass 11062  ax-mulass 11063  ax-distr 11064  ax-i2m1 11065  ax-1ne0 11066  ax-1rid 11067  ax-rnegex 11068  ax-rrecex 11069  ax-cnre 11070  ax-pre-lttri 11071  ax-pre-lttrn 11072  ax-pre-ltadd 11073  ax-pre-mulgt0 11074

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3393  df-v 3435  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4895  df-iun 4940  df-br 5089  df-opab 5151  df-mpt 5170  df-tr 5196  df-id 5508  df-eprel 5513  df-po 5521  df-so 5522  df-fr 5566  df-we 5568  df-xp 5619  df-rel 5620  df-cnv 5621  df-co 5622  df-dm 5623  df-rn 5624  df-res 5625  df-ima 5626  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7297  df-ov 7343  df-oprab 7344  df-mpo 7345  df-om 7791  df-1st 7915  df-2nd 7916  df-frecs 8205  df-wrecs 8236  df-recs 8285  df-rdg 8323  df-er 8616  df-en 8864  df-dom 8865  df-sdom 8866  df-pnf 11139  df-mnf 11140  df-xr 11141  df-ltxr 11142  df-le 11143  df-sub 11337  df-neg 11338  df-nn 12117  df-2 12179  df-3 12180  df-4 12181  df-5 12182  df-6 12183  df-7 12184  df-8 12185  df-sets 17062  df-slot 17080  df-ndx 17092  df-base 17108  df-ress 17129  df-plusg 17161  df-mulr 17162  df-sca 17164  df-vsca 17165  df-ip 17166  df-0g 17332  df-mgm 18501  df-sgrp 18580  df-mnd 18596  df-grp 18802  df-minusg 18803  df-sbg 18804  df-subg 18989  df-mgp 20013  df-ur 20054  df-ring 20107  df-subrg 20439  df-lmod 20749  df-lss 20819  df-lsp 20859  df-sra 21061  df-rgmod 21062  df-rsp 21100

This theorem is referenced by:  dvdsrspss  33320  lsmsnpridl  33331  unitpidl1  33357  drngidl  33366  isprmidlc  33380  ssdifidlprm  33391  mxidlirredi  33404  mxidlirred  33405  1arithufdlem4  33480  ellcsrspsn  35631