Theorem elrspsn 21206

Description: Membership in a principal ideal. Analogous to ellspsn 20965. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Jan-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
elrspsn.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
elrspsn.2	⊢ · = (.r‘𝑅)
elrspsn.3	⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
elrspsn	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐼 ∈ (𝐾‘{𝑋}) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝐼 = (𝑥 · 𝑋)))

Distinct variable groups:   𝑥, ·   𝑥,𝐵   𝑥,𝐼   𝑥,𝐾   𝑥,𝑅   𝑥,𝑋

Proof of Theorem elrspsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlmlmod 21166	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
2		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		elrspsn.1	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4	2, 3	eleqtrdi 2845	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑅))
5		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (Scalar‘(ringLMod‘𝑅)) = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅))
6		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))) = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))
7		rlmbas 21156	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(ringLMod‘𝑅))
8		elrspsn.2	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
9		rlmvsca 21163	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑅) = ( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅))
10	8, 9	eqtri 2759	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑅))
11		elrspsn.3	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
12		rspval 21177	. . . . 5 ⊢ (RSpan‘𝑅) = (LSpan‘(ringLMod‘𝑅))
13	11, 12	eqtri 2759	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (LSpan‘(ringLMod‘𝑅))
14	5, 6, 7, 10, 13	ellspsn 20965	. . 3 ⊢ (((ringLMod‘𝑅) ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐼 ∈ (𝐾‘{𝑋}) ↔ ∃𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))𝐼 = (𝑥 · 𝑋)))
15	1, 4, 14	syl2an2r 685	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐼 ∈ (𝐾‘{𝑋}) ↔ ∃𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))𝐼 = (𝑥 · 𝑋)))
16		rlmsca 21161	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))
17	16	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑅 = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))
18	17	fveq2d 6885	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))))
19	3, 18	eqtr2id 2784	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅))) = 𝐵)
20	19	rexeqdv 3310	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (∃𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))𝐼 = (𝑥 · 𝑋) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝐼 = (𝑥 · 𝑋)))
21	15, 20	bitrd 279	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐼 ∈ (𝐾‘{𝑋}) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝐼 = (𝑥 · 𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3061  {csn 4606  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Basecbs 17233  ._rcmulr 17277  Scalarcsca 17279   ·_𝑠 cvsca 17280  Ringcrg 20198  LModclmod 20822  LSpanclspn 20933  ringLModcrglmod 21135  RSpancrsp 21173

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-sets 17188  df-slot 17206  df-ndx 17218  df-base 17234  df-ress 17257  df-plusg 17289  df-mulr 17290  df-sca 17292  df-vsca 17293  df-ip 17294  df-0g 17460  df-mgm 18623  df-sgrp 18702  df-mnd 18718  df-grp 18924  df-minusg 18925  df-sbg 18926  df-subg 19111  df-mgp 20106  df-ur 20147  df-ring 20200  df-subrg 20535  df-lmod 20824  df-lss 20894  df-lsp 20934  df-sra 21136  df-rgmod 21137  df-rsp 21175

This theorem is referenced by:  dvdsrspss  33407  lsmsnpridl  33418  unitpidl1  33444  drngidl  33453  isprmidlc  33467  ssdifidlprm  33478  mxidlirredi  33491  mxidlirred  33492  1arithufdlem4  33567  ellcsrspsn  35668