Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmapglem7a Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem hdmapglem7a 41288
Description: Lemma for hdmapg 41291. (Contributed by NM, 14-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmapglem7.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
hdmapglem7.e 𝐸 = ⟨( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)), ( I β†Ύ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))⟩
hdmapglem7.o 𝑂 = ((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
hdmapglem7.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
hdmapglem7.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
hdmapglem7.p + = (+gβ€˜π‘ˆ)
hdmapglem7.q Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)
hdmapglem7.r 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘ˆ)
hdmapglem7.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
hdmapglem7.a βŠ• = (LSSumβ€˜π‘ˆ)
hdmapglem7.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
hdmapglem7.k (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
hdmapglem7.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
Assertion
Ref Expression
hdmapglem7a (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘’ ∈ (π‘‚β€˜{𝐸})βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐡 𝑋 = ((π‘˜ Β· 𝐸) + 𝑒))
Distinct variable groups:   𝑒,π‘˜, +   𝐡,π‘˜,𝑒   π‘˜,𝐸,𝑒   π‘˜,𝑁,𝑒   π‘˜,𝑂,𝑒   Β· ,π‘˜,𝑒   𝑅,π‘˜   π‘ˆ,π‘˜,𝑒   π‘˜,𝑉   π‘˜,𝑋,𝑒   πœ‘,π‘˜,𝑒
Allowed substitution hints:   βŠ• (𝑒,π‘˜)   𝑅(𝑒)   𝐻(𝑒,π‘˜)   𝐾(𝑒,π‘˜)   𝑉(𝑒)   π‘Š(𝑒,π‘˜)
Proof of Theorem hdmapglem7a
Dummy variable π‘Ž is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hdmapglem7.x . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
2 hdmapglem7.h . . . . . 6 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
3 hdmapglem7.o . . . . . 6 𝑂 = ((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
4 hdmapglem7.u . . . . . 6 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
5 hdmapglem7.v . . . . . 6 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
6 eqid 2724 . . . . . 6 (LSubSpβ€˜π‘ˆ) = (LSubSpβ€˜π‘ˆ)
7 hdmapglem7.a . . . . . 6 βŠ• = (LSSumβ€˜π‘ˆ)
8 hdmapglem7.k . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
92, 4, 8dvhlmod 40471 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
10 eqid 2724 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
11 eqid 2724 . . . . . . . . 9 ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
12 eqid 2724 . . . . . . . . 9 (0gβ€˜π‘ˆ) = (0gβ€˜π‘ˆ)
13 hdmapglem7.e . . . . . . . . 9 𝐸 = ⟨( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)), ( I β†Ύ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))⟩
142, 10, 11, 4, 5, 12, 13, 8dvheveccl 40473 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ (𝑉 βˆ– {(0gβ€˜π‘ˆ)}))
1514eldifad 3952 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝑉)
16 hdmapglem7.n . . . . . . . 8 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
175, 6, 16lspsncl 20814 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ LMod ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{𝐸}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
189, 15, 17syl2anc 583 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝐸}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
1915snssd 4804 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ {𝐸} βŠ† 𝑉)
202, 4, 3, 5, 16, 8, 19dochocsp 40740 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜(π‘β€˜{𝐸})) = (π‘‚β€˜{𝐸}))
2120fveq2d 6885 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜(π‘‚β€˜(π‘β€˜{𝐸}))) = (π‘‚β€˜(π‘‚β€˜{𝐸})))
222, 4, 3, 5, 16, 8, 15dochocsn 40742 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜(π‘‚β€˜{𝐸})) = (π‘β€˜{𝐸}))
2321, 22eqtrd 2764 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜(π‘‚β€˜(π‘β€˜{𝐸}))) = (π‘β€˜{𝐸}))
242, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 18, 23dochexmid 40829 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{𝐸}) βŠ• (π‘‚β€˜(π‘β€˜{𝐸}))) = 𝑉)
2520oveq2d 7417 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{𝐸}) βŠ• (π‘‚β€˜(π‘β€˜{𝐸}))) = ((π‘β€˜{𝐸}) βŠ• (π‘‚β€˜{𝐸})))
2624, 25eqtr3d 2766 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑉 = ((π‘β€˜{𝐸}) βŠ• (π‘‚β€˜{𝐸})))
271, 26eleqtrd 2827 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ((π‘β€˜{𝐸}) βŠ• (π‘‚β€˜{𝐸})))
286lsssssubg 20795 . . . . . 6 (π‘ˆ ∈ LMod β†’ (LSubSpβ€˜π‘ˆ) βŠ† (SubGrpβ€˜π‘ˆ))
299, 28syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (LSubSpβ€˜π‘ˆ) βŠ† (SubGrpβ€˜π‘ˆ))
3029, 18sseldd 3975 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝐸}) ∈ (SubGrpβ€˜π‘ˆ))
312, 4, 5, 6, 3dochlss 40715 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ {𝐸} βŠ† 𝑉) β†’ (π‘‚β€˜{𝐸}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
328, 19, 31syl2anc 583 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜{𝐸}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
3329, 32sseldd 3975 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜{𝐸}) ∈ (SubGrpβ€˜π‘ˆ))
34 hdmapglem7.p . . . . 5 + = (+gβ€˜π‘ˆ)
3534, 7lsmelval 19559 . . . 4 (((π‘β€˜{𝐸}) ∈ (SubGrpβ€˜π‘ˆ) ∧ (π‘‚β€˜{𝐸}) ∈ (SubGrpβ€˜π‘ˆ)) β†’ (𝑋 ∈ ((π‘β€˜{𝐸}) βŠ• (π‘‚β€˜{𝐸})) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ (π‘β€˜{𝐸})βˆƒπ‘’ ∈ (π‘‚β€˜{𝐸})𝑋 = (π‘Ž + 𝑒)))
3630, 33, 35syl2anc 583 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ ((π‘β€˜{𝐸}) βŠ• (π‘‚β€˜{𝐸})) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ (π‘β€˜{𝐸})βˆƒπ‘’ ∈ (π‘‚β€˜{𝐸})𝑋 = (π‘Ž + 𝑒)))
3727, 36mpbid 231 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ (π‘β€˜{𝐸})βˆƒπ‘’ ∈ (π‘‚β€˜{𝐸})𝑋 = (π‘Ž + 𝑒))
38 rexcom 3279 . . 3 (βˆƒπ‘Ž ∈ (π‘β€˜{𝐸})βˆƒπ‘’ ∈ (π‘‚β€˜{𝐸})𝑋 = (π‘Ž + 𝑒) ↔ βˆƒπ‘’ ∈ (π‘‚β€˜{𝐸})βˆƒπ‘Ž ∈ (π‘β€˜{𝐸})𝑋 = (π‘Ž + 𝑒))
39 df-rex 3063 . . . . 5 (βˆƒπ‘Ž ∈ (π‘β€˜{𝐸})𝑋 = (π‘Ž + 𝑒) ↔ βˆƒπ‘Ž(π‘Ž ∈ (π‘β€˜{𝐸}) ∧ 𝑋 = (π‘Ž + 𝑒)))
40 hdmapglem7.r . . . . . . . . . . 11 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘ˆ)
41 hdmapglem7.b . . . . . . . . . . 11 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
42 hdmapglem7.q . . . . . . . . . . 11 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)
4340, 41, 5, 42, 16lspsnel 20840 . . . . . . . . . 10 ((π‘ˆ ∈ LMod ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) β†’ (π‘Ž ∈ (π‘β€˜{𝐸}) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐡 π‘Ž = (π‘˜ Β· 𝐸)))
449, 15, 43syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘Ž ∈ (π‘β€˜{𝐸}) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐡 π‘Ž = (π‘˜ Β· 𝐸)))
4544anbi1d 629 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((π‘Ž ∈ (π‘β€˜{𝐸}) ∧ 𝑋 = (π‘Ž + 𝑒)) ↔ (βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐡 π‘Ž = (π‘˜ Β· 𝐸) ∧ 𝑋 = (π‘Ž + 𝑒))))
46 r19.41v 3180 . . . . . . . 8 (βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐡 (π‘Ž = (π‘˜ Β· 𝐸) ∧ 𝑋 = (π‘Ž + 𝑒)) ↔ (βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐡 π‘Ž = (π‘˜ Β· 𝐸) ∧ 𝑋 = (π‘Ž + 𝑒)))
4745, 46bitr4di 289 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π‘Ž ∈ (π‘β€˜{𝐸}) ∧ 𝑋 = (π‘Ž + 𝑒)) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐡 (π‘Ž = (π‘˜ Β· 𝐸) ∧ 𝑋 = (π‘Ž + 𝑒))))
4847exbidv 1916 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘Ž(π‘Ž ∈ (π‘β€˜{𝐸}) ∧ 𝑋 = (π‘Ž + 𝑒)) ↔ βˆƒπ‘Žβˆƒπ‘˜ ∈ 𝐡 (π‘Ž = (π‘˜ Β· 𝐸) ∧ 𝑋 = (π‘Ž + 𝑒))))
49 rexcom4 3277 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘Ž(π‘Ž = (π‘˜ Β· 𝐸) ∧ 𝑋 = (π‘Ž + 𝑒)) ↔ βˆƒπ‘Žβˆƒπ‘˜ ∈ 𝐡 (π‘Ž = (π‘˜ Β· 𝐸) ∧ 𝑋 = (π‘Ž + 𝑒)))
50 ovex 7434 . . . . . . . . 9 (π‘˜ Β· 𝐸) ∈ V
51 oveq1 7408 . . . . . . . . . 10 (π‘Ž = (π‘˜ Β· 𝐸) β†’ (π‘Ž + 𝑒) = ((π‘˜ Β· 𝐸) + 𝑒))
5251eqeq2d 2735 . . . . . . . . 9 (π‘Ž = (π‘˜ Β· 𝐸) β†’ (𝑋 = (π‘Ž + 𝑒) ↔ 𝑋 = ((π‘˜ Β· 𝐸) + 𝑒)))
5350, 52ceqsexv 3518 . . . . . . . 8 (βˆƒπ‘Ž(π‘Ž = (π‘˜ Β· 𝐸) ∧ 𝑋 = (π‘Ž + 𝑒)) ↔ 𝑋 = ((π‘˜ Β· 𝐸) + 𝑒))
5453rexbii 3086 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘Ž(π‘Ž = (π‘˜ Β· 𝐸) ∧ 𝑋 = (π‘Ž + 𝑒)) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐡 𝑋 = ((π‘˜ Β· 𝐸) + 𝑒))
5549, 54bitr3i 277 . . . . . 6 (βˆƒπ‘Žβˆƒπ‘˜ ∈ 𝐡 (π‘Ž = (π‘˜ Β· 𝐸) ∧ 𝑋 = (π‘Ž + 𝑒)) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐡 𝑋 = ((π‘˜ Β· 𝐸) + 𝑒))
5648, 55bitrdi 287 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘Ž(π‘Ž ∈ (π‘β€˜{𝐸}) ∧ 𝑋 = (π‘Ž + 𝑒)) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐡 𝑋 = ((π‘˜ Β· 𝐸) + 𝑒)))
5739, 56bitrid 283 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ (π‘β€˜{𝐸})𝑋 = (π‘Ž + 𝑒) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐡 𝑋 = ((π‘˜ Β· 𝐸) + 𝑒)))
5857rexbidv 3170 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘’ ∈ (π‘‚β€˜{𝐸})βˆƒπ‘Ž ∈ (π‘β€˜{𝐸})𝑋 = (π‘Ž + 𝑒) ↔ βˆƒπ‘’ ∈ (π‘‚β€˜{𝐸})βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐡 𝑋 = ((π‘˜ Β· 𝐸) + 𝑒)))
5938, 58bitrid 283 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ (π‘β€˜{𝐸})βˆƒπ‘’ ∈ (π‘‚β€˜{𝐸})𝑋 = (π‘Ž + 𝑒) ↔ βˆƒπ‘’ ∈ (π‘‚β€˜{𝐸})βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐡 𝑋 = ((π‘˜ Β· 𝐸) + 𝑒)))
6037, 59mpbid 231 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘’ ∈ (π‘‚β€˜{𝐸})βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐡 𝑋 = ((π‘˜ Β· 𝐸) + 𝑒))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533  βˆƒwex 1773   ∈ wcel 2098  βˆƒwrex 3062   βŠ† wss 3940  {csn 4620  βŸ¨cop 4626   I cid 5563   β†Ύ cres 5668  β€˜cfv 6533  (class class class)co 7401  Basecbs 17143  +gcplusg 17196  Scalarcsca 17199   ·𝑠 cvsca 17200  0gc0g 17384  SubGrpcsubg 19037  LSSumclsm 19544  LModclmod 20696  LSubSpclss 20768  LSpanclspn 20808  HLchlt 38710  LHypclh 39345  LTrncltrn 39462  DVecHcdvh 40439  ocHcoch 40708
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-riotaBAD 38313
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-iin 4990  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-tpos 8206  df-undef 8253  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-fz 13482  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-0g 17386  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-proset 18250  df-poset 18268  df-plt 18285  df-lub 18301  df-glb 18302  df-join 18303  df-meet 18304  df-p0 18380  df-p1 18381  df-lat 18387  df-clat 18454  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-submnd 18704  df-grp 18856  df-minusg 18857  df-sbg 18858  df-subg 19040  df-cntz 19223  df-oppg 19252  df-lsm 19546  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20030  df-rng 20048  df-ur 20077  df-ring 20130  df-oppr 20226  df-dvdsr 20249  df-unit 20250  df-invr 20280  df-dvr 20293  df-drng 20579  df-lmod 20698  df-lss 20769  df-lsp 20809  df-lvec 20941  df-lsatoms 38336  df-lcv 38379  df-oposet 38536  df-ol 38538  df-oml 38539  df-covers 38626  df-ats 38627  df-atl 38658  df-cvlat 38682  df-hlat 38711  df-llines 38859  df-lplanes 38860  df-lvols 38861  df-lines 38862  df-psubsp 38864  df-pmap 38865  df-padd 39157  df-lhyp 39349  df-laut 39350  df-ldil 39465  df-ltrn 39466  df-trl 39520  df-tgrp 40104  df-tendo 40116  df-edring 40118  df-dveca 40364  df-disoa 40390  df-dvech 40440  df-dib 40500  df-dic 40534  df-dih 40590  df-doch 40709  df-djh 40756
This theorem is referenced by:  hdmapglem7  41290
  Copyright terms: Public domain W3C validator