Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmapglem7a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hdmapglem7a 39123
 Description: Lemma for hdmapg 39126. (Contributed by NM, 14-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmapglem7.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmapglem7.e 𝐸 = ⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩
hdmapglem7.o 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
hdmapglem7.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmapglem7.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmapglem7.p + = (+g𝑈)
hdmapglem7.q · = ( ·𝑠𝑈)
hdmapglem7.r 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
hdmapglem7.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
hdmapglem7.a = (LSSum‘𝑈)
hdmapglem7.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
hdmapglem7.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
hdmapglem7.x (𝜑𝑋𝑉)
Assertion
Ref Expression
hdmapglem7a (𝜑 → ∃𝑢 ∈ (𝑂‘{𝐸})∃𝑘𝐵 𝑋 = ((𝑘 · 𝐸) + 𝑢))
Distinct variable groups:   𝑢,𝑘, +   𝐵,𝑘,𝑢   𝑘,𝐸,𝑢   𝑘,𝑁,𝑢   𝑘,𝑂,𝑢   · ,𝑘,𝑢   𝑅,𝑘   𝑈,𝑘,𝑢   𝑘,𝑉   𝑘,𝑋,𝑢   𝜑,𝑘,𝑢
Allowed substitution hints:   (𝑢,𝑘)   𝑅(𝑢)   𝐻(𝑢,𝑘)   𝐾(𝑢,𝑘)   𝑉(𝑢)   𝑊(𝑢,𝑘)

Proof of Theorem hdmapglem7a
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hdmapglem7.x . . . 4 (𝜑𝑋𝑉)
2 hdmapglem7.h . . . . . 6 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3 hdmapglem7.o . . . . . 6 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
4 hdmapglem7.u . . . . . 6 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
5 hdmapglem7.v . . . . . 6 𝑉 = (Base‘𝑈)
6 eqid 2824 . . . . . 6 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
7 hdmapglem7.a . . . . . 6 = (LSSum‘𝑈)
8 hdmapglem7.k . . . . . 6 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
92, 4, 8dvhlmod 38306 . . . . . . 7 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
10 eqid 2824 . . . . . . . . 9 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
11 eqid 2824 . . . . . . . . 9 ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
12 eqid 2824 . . . . . . . . 9 (0g𝑈) = (0g𝑈)
13 hdmapglem7.e . . . . . . . . 9 𝐸 = ⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩
142, 10, 11, 4, 5, 12, 13, 8dvheveccl 38308 . . . . . . . 8 (𝜑𝐸 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑈)}))
1514eldifad 3930 . . . . . . 7 (𝜑𝐸𝑉)
16 hdmapglem7.n . . . . . . . 8 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
175, 6, 16lspsncl 19735 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝐸𝑉) → (𝑁‘{𝐸}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
189, 15, 17syl2anc 587 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁‘{𝐸}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
1915snssd 4723 . . . . . . . . 9 (𝜑 → {𝐸} ⊆ 𝑉)
202, 4, 3, 5, 16, 8, 19dochocsp 38575 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑂‘(𝑁‘{𝐸})) = (𝑂‘{𝐸}))
2120fveq2d 6655 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑂‘(𝑂‘(𝑁‘{𝐸}))) = (𝑂‘(𝑂‘{𝐸})))
222, 4, 3, 5, 16, 8, 15dochocsn 38577 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑂‘(𝑂‘{𝐸})) = (𝑁‘{𝐸}))
2321, 22eqtrd 2859 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑂‘(𝑂‘(𝑁‘{𝐸}))) = (𝑁‘{𝐸}))
242, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 18, 23dochexmid 38664 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑁‘{𝐸}) (𝑂‘(𝑁‘{𝐸}))) = 𝑉)
2520oveq2d 7154 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑁‘{𝐸}) (𝑂‘(𝑁‘{𝐸}))) = ((𝑁‘{𝐸}) (𝑂‘{𝐸})))
2624, 25eqtr3d 2861 . . . 4 (𝜑𝑉 = ((𝑁‘{𝐸}) (𝑂‘{𝐸})))
271, 26eleqtrd 2918 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ ((𝑁‘{𝐸}) (𝑂‘{𝐸})))
286lsssssubg 19716 . . . . . 6 (𝑈 ∈ LMod → (LSubSp‘𝑈) ⊆ (SubGrp‘𝑈))
299, 28syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (LSubSp‘𝑈) ⊆ (SubGrp‘𝑈))
3029, 18sseldd 3952 . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{𝐸}) ∈ (SubGrp‘𝑈))
312, 4, 5, 6, 3dochlss 38550 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ {𝐸} ⊆ 𝑉) → (𝑂‘{𝐸}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
328, 19, 31syl2anc 587 . . . . 5 (𝜑 → (𝑂‘{𝐸}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
3329, 32sseldd 3952 . . . 4 (𝜑 → (𝑂‘{𝐸}) ∈ (SubGrp‘𝑈))
34 hdmapglem7.p . . . . 5 + = (+g𝑈)
3534, 7lsmelval 18763 . . . 4 (((𝑁‘{𝐸}) ∈ (SubGrp‘𝑈) ∧ (𝑂‘{𝐸}) ∈ (SubGrp‘𝑈)) → (𝑋 ∈ ((𝑁‘{𝐸}) (𝑂‘{𝐸})) ↔ ∃𝑎 ∈ (𝑁‘{𝐸})∃𝑢 ∈ (𝑂‘{𝐸})𝑋 = (𝑎 + 𝑢)))
3630, 33, 35syl2anc 587 . . 3 (𝜑 → (𝑋 ∈ ((𝑁‘{𝐸}) (𝑂‘{𝐸})) ↔ ∃𝑎 ∈ (𝑁‘{𝐸})∃𝑢 ∈ (𝑂‘{𝐸})𝑋 = (𝑎 + 𝑢)))
3727, 36mpbid 235 . 2 (𝜑 → ∃𝑎 ∈ (𝑁‘{𝐸})∃𝑢 ∈ (𝑂‘{𝐸})𝑋 = (𝑎 + 𝑢))
38 rexcom 3346 . . 3 (∃𝑎 ∈ (𝑁‘{𝐸})∃𝑢 ∈ (𝑂‘{𝐸})𝑋 = (𝑎 + 𝑢) ↔ ∃𝑢 ∈ (𝑂‘{𝐸})∃𝑎 ∈ (𝑁‘{𝐸})𝑋 = (𝑎 + 𝑢))
39 df-rex 3138 . . . . 5 (∃𝑎 ∈ (𝑁‘{𝐸})𝑋 = (𝑎 + 𝑢) ↔ ∃𝑎(𝑎 ∈ (𝑁‘{𝐸}) ∧ 𝑋 = (𝑎 + 𝑢)))
40 hdmapglem7.r . . . . . . . . . . 11 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
41 hdmapglem7.b . . . . . . . . . . 11 𝐵 = (Base‘𝑅)
42 hdmapglem7.q . . . . . . . . . . 11 · = ( ·𝑠𝑈)
4340, 41, 5, 42, 16lspsnel 19761 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝐸𝑉) → (𝑎 ∈ (𝑁‘{𝐸}) ↔ ∃𝑘𝐵 𝑎 = (𝑘 · 𝐸)))
449, 15, 43syl2anc 587 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑎 ∈ (𝑁‘{𝐸}) ↔ ∃𝑘𝐵 𝑎 = (𝑘 · 𝐸)))
4544anbi1d 632 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑎 ∈ (𝑁‘{𝐸}) ∧ 𝑋 = (𝑎 + 𝑢)) ↔ (∃𝑘𝐵 𝑎 = (𝑘 · 𝐸) ∧ 𝑋 = (𝑎 + 𝑢))))
46 r19.41v 3338 . . . . . . . 8 (∃𝑘𝐵 (𝑎 = (𝑘 · 𝐸) ∧ 𝑋 = (𝑎 + 𝑢)) ↔ (∃𝑘𝐵 𝑎 = (𝑘 · 𝐸) ∧ 𝑋 = (𝑎 + 𝑢)))
4745, 46syl6bbr 292 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑎 ∈ (𝑁‘{𝐸}) ∧ 𝑋 = (𝑎 + 𝑢)) ↔ ∃𝑘𝐵 (𝑎 = (𝑘 · 𝐸) ∧ 𝑋 = (𝑎 + 𝑢))))
4847exbidv 1923 . . . . . 6 (𝜑 → (∃𝑎(𝑎 ∈ (𝑁‘{𝐸}) ∧ 𝑋 = (𝑎 + 𝑢)) ↔ ∃𝑎𝑘𝐵 (𝑎 = (𝑘 · 𝐸) ∧ 𝑋 = (𝑎 + 𝑢))))
49 rexcom4 3243 . . . . . . 7 (∃𝑘𝐵𝑎(𝑎 = (𝑘 · 𝐸) ∧ 𝑋 = (𝑎 + 𝑢)) ↔ ∃𝑎𝑘𝐵 (𝑎 = (𝑘 · 𝐸) ∧ 𝑋 = (𝑎 + 𝑢)))
50 ovex 7171 . . . . . . . . 9 (𝑘 · 𝐸) ∈ V
51 oveq1 7145 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = (𝑘 · 𝐸) → (𝑎 + 𝑢) = ((𝑘 · 𝐸) + 𝑢))
5251eqeq2d 2835 . . . . . . . . 9 (𝑎 = (𝑘 · 𝐸) → (𝑋 = (𝑎 + 𝑢) ↔ 𝑋 = ((𝑘 · 𝐸) + 𝑢)))
5350, 52ceqsexv 3526 . . . . . . . 8 (∃𝑎(𝑎 = (𝑘 · 𝐸) ∧ 𝑋 = (𝑎 + 𝑢)) ↔ 𝑋 = ((𝑘 · 𝐸) + 𝑢))
5453rexbii 3241 . . . . . . 7 (∃𝑘𝐵𝑎(𝑎 = (𝑘 · 𝐸) ∧ 𝑋 = (𝑎 + 𝑢)) ↔ ∃𝑘𝐵 𝑋 = ((𝑘 · 𝐸) + 𝑢))
5549, 54bitr3i 280 . . . . . 6 (∃𝑎𝑘𝐵 (𝑎 = (𝑘 · 𝐸) ∧ 𝑋 = (𝑎 + 𝑢)) ↔ ∃𝑘𝐵 𝑋 = ((𝑘 · 𝐸) + 𝑢))
5648, 55syl6bb 290 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑎(𝑎 ∈ (𝑁‘{𝐸}) ∧ 𝑋 = (𝑎 + 𝑢)) ↔ ∃𝑘𝐵 𝑋 = ((𝑘 · 𝐸) + 𝑢)))
5739, 56syl5bb 286 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑎 ∈ (𝑁‘{𝐸})𝑋 = (𝑎 + 𝑢) ↔ ∃𝑘𝐵 𝑋 = ((𝑘 · 𝐸) + 𝑢)))
5857rexbidv 3289 . . 3 (𝜑 → (∃𝑢 ∈ (𝑂‘{𝐸})∃𝑎 ∈ (𝑁‘{𝐸})𝑋 = (𝑎 + 𝑢) ↔ ∃𝑢 ∈ (𝑂‘{𝐸})∃𝑘𝐵 𝑋 = ((𝑘 · 𝐸) + 𝑢)))
5938, 58syl5bb 286 . 2 (𝜑 → (∃𝑎 ∈ (𝑁‘{𝐸})∃𝑢 ∈ (𝑂‘{𝐸})𝑋 = (𝑎 + 𝑢) ↔ ∃𝑢 ∈ (𝑂‘{𝐸})∃𝑘𝐵 𝑋 = ((𝑘 · 𝐸) + 𝑢)))
6037, 59mpbid 235 1 (𝜑 → ∃𝑢 ∈ (𝑂‘{𝐸})∃𝑘𝐵 𝑋 = ((𝑘 · 𝐸) + 𝑢))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538  ∃wex 1781   ∈ wcel 2115  ∃wrex 3133   ⊆ wss 3918  {csn 4548  ⟨cop 4554   I cid 5440   ↾ cres 5538  ‘cfv 6336  (class class class)co 7138  Basecbs 16472  +gcplusg 16554  Scalarcsca 16557   ·𝑠 cvsca 16558  0gc0g 16702  SubGrpcsubg 18262  LSSumclsm 18748  LModclmod 19620  LSubSpclss 19689  LSpanclspn 19729  HLchlt 36546  LHypclh 37180  LTrncltrn 37297  DVecHcdvh 38274  ocHcoch 38543 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5171  ax-sep 5184  ax-nul 5191  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7444  ax-cnex 10578  ax-resscn 10579  ax-1cn 10580  ax-icn 10581  ax-addcl 10582  ax-addrcl 10583  ax-mulcl 10584  ax-mulrcl 10585  ax-mulcom 10586  ax-addass 10587  ax-mulass 10588  ax-distr 10589  ax-i2m1 10590  ax-1ne0 10591  ax-1rid 10592  ax-rnegex 10593  ax-rrecex 10594  ax-cnre 10595  ax-pre-lttri 10596  ax-pre-lttrn 10597  ax-pre-ltadd 10598  ax-pre-mulgt0 10599  ax-riotaBAD 36149 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rmo 3140  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-uni 4820  df-int 4858  df-iun 4902  df-iin 4903  df-br 5048  df-opab 5110  df-mpt 5128  df-tr 5154  df-id 5441  df-eprel 5446  df-po 5455  df-so 5456  df-fr 5495  df-we 5497  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7096  df-ov 7141  df-oprab 7142  df-mpo 7143  df-om 7564  df-1st 7672  df-2nd 7673  df-tpos 7875  df-undef 7922  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-pnf 10662  df-mnf 10663  df-xr 10664  df-ltxr 10665  df-le 10666  df-sub 10857  df-neg 10858  df-nn 11624  df-2 11686  df-3 11687  df-4 11688  df-5 11689  df-6 11690  df-n0 11884  df-z 11968  df-uz 12230  df-fz 12884  df-struct 16474  df-ndx 16475  df-slot 16476  df-base 16478  df-sets 16479  df-ress 16480  df-plusg 16567  df-mulr 16568  df-sca 16570  df-vsca 16571  df-0g 16704  df-mre 16846  df-mrc 16847  df-acs 16849  df-proset 17527  df-poset 17545  df-plt 17557  df-lub 17573  df-glb 17574  df-join 17575  df-meet 17576  df-p0 17638  df-p1 17639  df-lat 17645  df-clat 17707  df-mgm 17841  df-sgrp 17890  df-mnd 17901  df-submnd 17946  df-grp 18095  df-minusg 18096  df-sbg 18097  df-subg 18265  df-cntz 18436  df-oppg 18463  df-lsm 18750  df-cmn 18897  df-abl 18898  df-mgp 19229  df-ur 19241  df-ring 19288  df-oppr 19362  df-dvdsr 19380  df-unit 19381  df-invr 19411  df-dvr 19422  df-drng 19490  df-lmod 19622  df-lss 19690  df-lsp 19730  df-lvec 19861  df-lsatoms 36172  df-lcv 36215  df-oposet 36372  df-ol 36374  df-oml 36375  df-covers 36462  df-ats 36463  df-atl 36494  df-cvlat 36518  df-hlat 36547  df-llines 36694  df-lplanes 36695  df-lvols 36696  df-lines 36697  df-psubsp 36699  df-pmap 36700  df-padd 36992  df-lhyp 37184  df-laut 37185  df-ldil 37300  df-ltrn 37301  df-trl 37355  df-tgrp 37939  df-tendo 37951  df-edring 37953  df-dveca 38199  df-disoa 38225  df-dvech 38275  df-dib 38335  df-dic 38369  df-dih 38425  df-doch 38544  df-djh 38591 This theorem is referenced by:  hdmapglem7  39125
 Copyright terms: Public domain W3C validator