Theorem elsymgbas 18246

Description: Two ways of saying a function is a 1-1-onto mapping of A to itself. (Contributed by Paul Chapman, 25-Feb-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
symgbas.1	⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
symgbas.2	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
elsymgbas	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐹 ∈ 𝐵 ↔ 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐴))

Proof of Theorem elsymgbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3455	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐹 ∈ V)
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐹 ∈ V))
3		f1of 6488	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐴 → 𝐹:𝐴⟶𝐴)
4		fex 6860	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐹 ∈ V)
5	4	expcom 414	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐹:𝐴⟶𝐴 → 𝐹 ∈ V))
6	3, 5	syl5 34	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐴 → 𝐹 ∈ V))
7		symgbas.1	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
8		symgbas.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
9	7, 8	elsymgbas2 18245	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ V → (𝐹 ∈ 𝐵 ↔ 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐴))
10	9	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐹 ∈ V → (𝐹 ∈ 𝐵 ↔ 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐴)))
11	2, 6, 10	pm5.21ndd 381	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐹 ∈ 𝐵 ↔ 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   = wceq 1522   ∈ wcel 2081  Vcvv 3437  ⟶wf 6226  –1-1-onto→wf1o 6229  ‘cfv 6230  Basecbs 16317  SymGrpcsymg 18241

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5086  ax-sep 5099  ax-nul 5106  ax-pow 5162  ax-pr 5226  ax-un 7324  ax-cnex 10444  ax-resscn 10445  ax-1cn 10446  ax-icn 10447  ax-addcl 10448  ax-addrcl 10449  ax-mulcl 10450  ax-mulrcl 10451  ax-mulcom 10452  ax-addass 10453  ax-mulass 10454  ax-distr 10455  ax-i2m1 10456  ax-1ne0 10457  ax-1rid 10458  ax-rnegex 10459  ax-rrecex 10460  ax-cnre 10461  ax-pre-lttri 10462  ax-pre-lttrn 10463  ax-pre-ltadd 10464  ax-pre-mulgt0 10465

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3710  df-csb 3816  df-dif 3866  df-un 3868  df-in 3870  df-ss 3878  df-pss 3880  df-nul 4216  df-if 4386  df-pw 4459  df-sn 4477  df-pr 4479  df-tp 4481  df-op 4483  df-uni 4750  df-int 4787  df-iun 4831  df-br 4967  df-opab 5029  df-mpt 5046  df-tr 5069  df-id 5353  df-eprel 5358  df-po 5367  df-so 5368  df-fr 5407  df-we 5409  df-xp 5454  df-rel 5455  df-cnv 5456  df-co 5457  df-dm 5458  df-rn 5459  df-res 5460  df-ima 5461  df-pred 6028  df-ord 6074  df-on 6075  df-lim 6076  df-suc 6077  df-iota 6194  df-fun 6232  df-fn 6233  df-f 6234  df-f1 6235  df-fo 6236  df-f1o 6237  df-fv 6238  df-riota 6982  df-ov 7024  df-oprab 7025  df-mpo 7026  df-om 7442  df-1st 7550  df-2nd 7551  df-wrecs 7803  df-recs 7865  df-rdg 7903  df-1o 7958  df-oadd 7962  df-er 8144  df-map 8263  df-en 8363  df-dom 8364  df-sdom 8365  df-fin 8366  df-pnf 10528  df-mnf 10529  df-xr 10530  df-ltxr 10531  df-le 10532  df-sub 10724  df-neg 10725  df-nn 11492  df-2 11553  df-3 11554  df-4 11555  df-5 11556  df-6 11557  df-7 11558  df-8 11559  df-9 11560  df-n0 11751  df-z 11835  df-uz 12099  df-fz 12748  df-struct 16319  df-ndx 16320  df-slot 16321  df-base 16323  df-plusg 16412  df-tset 16418  df-symg 18242

This theorem is referenced by:  symggrp  18264  symgid  18265  galactghm  18267  lactghmga  18268  idresperm  18273  symgextsymg  18288  mdetunilem7  20916  mdetunilem8  20917  symgtgp  22398  cycpmconjv  30426  cycpmrn  30427  cycpmconjs  30441  cyc3conja  30442