Theorem elsymgbas 19595

Description: Two ways of saying a function is a 1-1-onto mapping of A to itself. (Contributed by Paul Chapman, 25-Feb-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
symgbas.1	⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
symgbas.2	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
elsymgbas	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐹 ∈ 𝐵 ↔ 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐴))

Proof of Theorem elsymgbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3471	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐹 ∈ V)
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐹 ∈ V))
3		f1of 6827	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐴 → 𝐹:𝐴⟶𝐴)
4		fex 7234	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐹 ∈ V)
5	4	expcom 419	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐹:𝐴⟶𝐴 → 𝐹 ∈ V))
6	3, 5	syl5 35	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐴 → 𝐹 ∈ V))
7		symgbas.1	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
8		symgbas.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
9	7, 8	elsymgbas2 19594	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ V → (𝐹 ∈ 𝐵 ↔ 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐴))
10	9	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐹 ∈ V → (𝐹 ∈ 𝐵 ↔ 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐴)))
11	2, 6, 10	pm5.21ndd 382	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐹 ∈ 𝐵 ↔ 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450  ⟶wf 6537  –1-1-onto→wf1o 6540  ‘cfv 6541  Basecbs 17394  SymGrpcsymg 19590

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7753  ax-cnex 11261  ax-resscn 11262  ax-1cn 11263  ax-icn 11264  ax-addcl 11265  ax-addrcl 11266  ax-mulcl 11267  ax-mulrcl 11268  ax-mulcom 11269  ax-addass 11270  ax-mulass 11271  ax-distr 11272  ax-i2m1 11273  ax-1ne0 11274  ax-1rid 11275  ax-rnegex 11276  ax-rrecex 11277  ax-cnre 11278  ax-pre-lttri 11279  ax-pre-lttrn 11280  ax-pre-ltadd 11281  ax-pre-mulgt0 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7379  df-ov 7425  df-oprab 7426  df-mpo 7427  df-om 7880  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8384  df-rdg 8423  df-1o 8481  df-er 8722  df-map 8854  df-en 8979  df-dom 8980  df-sdom 8981  df-fin 8982  df-pnf 11350  df-mnf 11351  df-xr 11352  df-ltxr 11353  df-le 11354  df-sub 11548  df-neg 11549  df-nn 12341  df-2 12410  df-3 12411  df-4 12412  df-5 12413  df-6 12414  df-7 12415  df-8 12416  df-9 12417  df-n0 12612  df-z 12699  df-uz 12971  df-fz 13645  df-struct 17332  df-sets 17349  df-slot 17367  df-ndx 17379  df-base 17395  df-ress 17416  df-plusg 17448  df-tset 17454  df-efmnd 19072  df-symg 19591

This theorem is used by:  idresperm  19607  symgpssefmnd  19617  symggrp  19621  galactghm  19625  lactghmga  19626  symgextsymg  19645  mdetunilem7  22940  mdetunilem8  22941  symgtgp  24432  cycpmconjv  33751  cycpmrn  33752  cycpmconjs  33765  cyc3conja  33766