MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elsymgbas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elsymgbas 19283
Description: Two ways of saying a function is a 1-1-onto mapping of A to itself. (Contributed by Paul Chapman, 25-Feb-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
symgbas.1 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
symgbas.2 𝐵 = (Base‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
elsymgbas (𝐴𝑉 → (𝐹𝐵𝐹:𝐴1-1-onto𝐴))

Proof of Theorem elsymgbas
StepHypRef Expression
1 elex 3492 . . 3 (𝐹𝐵𝐹 ∈ V)
21a1i 11 . 2 (𝐴𝑉 → (𝐹𝐵𝐹 ∈ V))
3 f1of 6833 . . 3 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐹:𝐴𝐴)
4 fex 7230 . . . 4 ((𝐹:𝐴𝐴𝐴𝑉) → 𝐹 ∈ V)
54expcom 413 . . 3 (𝐴𝑉 → (𝐹:𝐴𝐴𝐹 ∈ V))
63, 5syl5 34 . 2 (𝐴𝑉 → (𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐹 ∈ V))
7 symgbas.1 . . . 4 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
8 symgbas.2 . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐺)
97, 8elsymgbas2 19282 . . 3 (𝐹 ∈ V → (𝐹𝐵𝐹:𝐴1-1-onto𝐴))
109a1i 11 . 2 (𝐴𝑉 → (𝐹 ∈ V → (𝐹𝐵𝐹:𝐴1-1-onto𝐴)))
112, 6, 10pm5.21ndd 379 1 (𝐴𝑉 → (𝐹𝐵𝐹:𝐴1-1-onto𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205   = wceq 1540  wcel 2105  Vcvv 3473  wf 6539  1-1-ontowf1o 6542  cfv 6543  Basecbs 17149  SymGrpcsymg 19276
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-er 8707  df-map 8826  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-fz 13490  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-tset 17221  df-efmnd 18787  df-symg 19277
This theorem is referenced by:  idresperm  19295  symgpssefmnd  19305  symggrp  19310  galactghm  19314  lactghmga  19315  symgextsymg  19334  mdetunilem7  22341  mdetunilem8  22342  symgtgp  23831  cycpmconjv  32572  cycpmrn  32573  cycpmconjs  32586  cyc3conja  32587
  Copyright terms: Public domain W3C validator