Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rhmsubcsetclem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rhmsubcsetclem1 44293
Description: Lemma 1 for rhmsubcsetc 44295. (Contributed by AV, 9-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
rhmsubcsetc.c 𝐶 = (ExtStrCat‘𝑈)
rhmsubcsetc.u (𝜑𝑈𝑉)
rhmsubcsetc.b (𝜑𝐵 = (Ring ∩ 𝑈))
rhmsubcsetc.h (𝜑𝐻 = ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))
Assertion
Ref Expression
rhmsubcsetclem1 ((𝜑𝑥𝐵) → ((Id‘𝐶)‘𝑥) ∈ (𝑥𝐻𝑥))

Proof of Theorem rhmsubcsetclem1
StepHypRef Expression
1 rhmsubcsetc.b . . . . . 6 (𝜑𝐵 = (Ring ∩ 𝑈))
21eleq2d 2898 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐵𝑥 ∈ (Ring ∩ 𝑈)))
3 elin 4168 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (Ring ∩ 𝑈) ↔ (𝑥 ∈ Ring ∧ 𝑥𝑈))
43simplbi 500 . . . . 5 (𝑥 ∈ (Ring ∩ 𝑈) → 𝑥 ∈ Ring)
52, 4syl6bi 255 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐵𝑥 ∈ Ring))
65imp 409 . . 3 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑥 ∈ Ring)
7 eqid 2821 . . . 4 (Base‘𝑥) = (Base‘𝑥)
87idrhm 19482 . . 3 (𝑥 ∈ Ring → ( I ↾ (Base‘𝑥)) ∈ (𝑥 RingHom 𝑥))
96, 8syl 17 . 2 ((𝜑𝑥𝐵) → ( I ↾ (Base‘𝑥)) ∈ (𝑥 RingHom 𝑥))
10 rhmsubcsetc.c . . 3 𝐶 = (ExtStrCat‘𝑈)
11 eqid 2821 . . 3 (Id‘𝐶) = (Id‘𝐶)
12 rhmsubcsetc.u . . . 4 (𝜑𝑈𝑉)
1312adantr 483 . . 3 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑈𝑉)
143simprbi 499 . . . . 5 (𝑥 ∈ (Ring ∩ 𝑈) → 𝑥𝑈)
152, 14syl6bi 255 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐵𝑥𝑈))
1615imp 409 . . 3 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑥𝑈)
1710, 11, 13, 16estrcid 17383 . 2 ((𝜑𝑥𝐵) → ((Id‘𝐶)‘𝑥) = ( I ↾ (Base‘𝑥)))
18 rhmsubcsetc.h . . . 4 (𝜑𝐻 = ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))
1918oveqdr 7183 . . 3 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑥𝐻𝑥) = (𝑥( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵))𝑥))
20 eqid 2821 . . . . . . . 8 (RingCat‘𝑈) = (RingCat‘𝑈)
21 eqid 2821 . . . . . . . 8 (Base‘(RingCat‘𝑈)) = (Base‘(RingCat‘𝑈))
22 eqid 2821 . . . . . . . 8 (Hom ‘(RingCat‘𝑈)) = (Hom ‘(RingCat‘𝑈))
2320, 21, 12, 22ringchomfval 44284 . . . . . . 7 (𝜑 → (Hom ‘(RingCat‘𝑈)) = ( RingHom ↾ ((Base‘(RingCat‘𝑈)) × (Base‘(RingCat‘𝑈)))))
2420, 21, 12ringcbas 44283 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (Base‘(RingCat‘𝑈)) = (𝑈 ∩ Ring))
25 incom 4177 . . . . . . . . . . . 12 (Ring ∩ 𝑈) = (𝑈 ∩ Ring)
261, 25syl6eq 2872 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 = (𝑈 ∩ Ring))
2726eqcomd 2827 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑈 ∩ Ring) = 𝐵)
2824, 27eqtrd 2856 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (Base‘(RingCat‘𝑈)) = 𝐵)
2928sqxpeqd 5586 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((Base‘(RingCat‘𝑈)) × (Base‘(RingCat‘𝑈))) = (𝐵 × 𝐵))
3029reseq2d 5852 . . . . . . 7 (𝜑 → ( RingHom ↾ ((Base‘(RingCat‘𝑈)) × (Base‘(RingCat‘𝑈)))) = ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))
3123, 30eqtrd 2856 . . . . . 6 (𝜑 → (Hom ‘(RingCat‘𝑈)) = ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))
3231adantr 483 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐵) → (Hom ‘(RingCat‘𝑈)) = ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))
3332eqcomd 2827 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐵) → ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)) = (Hom ‘(RingCat‘𝑈)))
3433oveqd 7172 . . 3 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑥( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵))𝑥) = (𝑥(Hom ‘(RingCat‘𝑈))𝑥))
3526eleq2d 2898 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐵𝑥 ∈ (𝑈 ∩ Ring)))
3635biimpa 479 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ Ring))
3724adantr 483 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐵) → (Base‘(RingCat‘𝑈)) = (𝑈 ∩ Ring))
3836, 37eleqtrrd 2916 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑥 ∈ (Base‘(RingCat‘𝑈)))
3920, 21, 13, 22, 38, 38ringchom 44285 . . 3 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑥(Hom ‘(RingCat‘𝑈))𝑥) = (𝑥 RingHom 𝑥))
4019, 34, 393eqtrd 2860 . 2 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑥𝐻𝑥) = (𝑥 RingHom 𝑥))
419, 17, 403eltr4d 2928 1 ((𝜑𝑥𝐵) → ((Id‘𝐶)‘𝑥) ∈ (𝑥𝐻𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398   = wceq 1533  wcel 2110  cin 3934   I cid 5458   × cxp 5552  cres 5556  cfv 6354  (class class class)co 7155  Basecbs 16482  Hom chom 16575  Idccid 16935  ExtStrCatcestrc 17371  Ringcrg 19296   RingHom crh 19463  RingCatcringc 44275
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5189  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-int 4876  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7580  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-1o 8101  df-oadd 8105  df-er 8288  df-map 8407  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-fin 8512  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-nn 11638  df-2 11699  df-3 11700  df-4 11701  df-5 11702  df-6 11703  df-7 11704  df-8 11705  df-9 11706  df-n0 11897  df-z 11981  df-dec 12098  df-uz 12243  df-fz 12892  df-struct 16484  df-ndx 16485  df-slot 16486  df-base 16488  df-sets 16489  df-ress 16490  df-plusg 16577  df-hom 16588  df-cco 16589  df-0g 16714  df-cat 16938  df-cid 16939  df-resc 17080  df-estrc 17372  df-mgm 17851  df-sgrp 17900  df-mnd 17911  df-mhm 17955  df-grp 18105  df-ghm 18355  df-mgp 19239  df-ur 19251  df-ring 19298  df-rnghom 19466  df-ringc 44277
This theorem is referenced by:  rhmsubcsetc  44295
  Copyright terms: Public domain W3C validator