Theorem rhmsubcsetclem1 20919

Description: Lemma 1 for rhmsubcsetc 20921. (Contributed by AV, 9-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
rhmsubcsetc.c	⊢ 𝐶 = (ExtStrCat‘𝑈)
rhmsubcsetc.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
rhmsubcsetc.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Ring ∩ 𝑈))
rhmsubcsetc.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 = ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))

Assertion

Ref	Expression
rhmsubcsetclem1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((Id‘𝐶)‘𝑥) ∈ (𝑥𝐻𝑥))

Proof of Theorem rhmsubcsetclem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rhmsubcsetc.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Ring ∩ 𝑈))
2	1	eleq2d 2846	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑥 ∈ (Ring ∩ 𝑈)))
3		elin 4092	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (Ring ∩ 𝑈) ↔ (𝑥 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈))
4	3	simplbi 502	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (Ring ∩ 𝑈) → 𝑥 ∈ Ring)
5	2, 4	biimtrdi 256	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ Ring))
6	5	imp 412	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ Ring)
7		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑥) = (Base‘𝑥)
8	7	idrhm 20732	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ Ring → ( I ↾ (Base‘𝑥)) ∈ (𝑥 RingHom 𝑥))
9	6, 8	syl 18	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ( I ↾ (Base‘𝑥)) ∈ (𝑥 RingHom 𝑥))
10		rhmsubcsetc.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (ExtStrCat‘𝑈)
11		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Id‘𝐶) = (Id‘𝐶)
12		rhmsubcsetc.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
13	12	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑈 ∈ 𝑉)
14	3	simprbi 503	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (Ring ∩ 𝑈) → 𝑥 ∈ 𝑈)
15	2, 14	biimtrdi 256	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ 𝑈))
16	15	imp 412	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝑈)
17	10, 11, 13, 16	estrcid 18315	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((Id‘𝐶)‘𝑥) = ( I ↾ (Base‘𝑥)))
18		rhmsubcsetc.h	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))
19	18	oveqdr 7450	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥𝐻𝑥) = (𝑥( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵))𝑥))
20		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (RingCat‘𝑈) = (RingCat‘𝑈)
21		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(RingCat‘𝑈)) = (Base‘(RingCat‘𝑈))
22		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (Hom ‘(RingCat‘𝑈)) = (Hom ‘(RingCat‘𝑈))
23	20, 21, 12, 22	ringchomfval 20910	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Hom ‘(RingCat‘𝑈)) = ( RingHom ↾ ((Base‘(RingCat‘𝑈)) × (Base‘(RingCat‘𝑈)))))
24	20, 21, 12	ringcbas 20909	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (Base‘(RingCat‘𝑈)) = (𝑈 ∩ Ring))
25		incom 4105	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Ring ∩ 𝑈) = (𝑈 ∩ Ring)
26	1, 25	eqtrdi 2811	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝑈 ∩ Ring))
27	26	eqcomd 2766	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∩ Ring) = 𝐵)
28	24, 27	eqtrd 2795	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (Base‘(RingCat‘𝑈)) = 𝐵)
29	28	sqxpeqd 5682	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((Base‘(RingCat‘𝑈)) × (Base‘(RingCat‘𝑈))) = (𝐵 × 𝐵))
30	29	reseq2d 5970	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ( RingHom ↾ ((Base‘(RingCat‘𝑈)) × (Base‘(RingCat‘𝑈)))) = ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))
31	23, 30	eqtrd 2795	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Hom ‘(RingCat‘𝑈)) = ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))
32	31	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (Hom ‘(RingCat‘𝑈)) = ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))
33	32	eqcomd 2766	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)) = (Hom ‘(RingCat‘𝑈)))
34	33	oveqd 7439	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵))𝑥) = (𝑥(Hom ‘(RingCat‘𝑈))𝑥))
35	26	eleq2d 2846	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ Ring)))
36	35	biimpa 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ Ring))
37	24	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (Base‘(RingCat‘𝑈)) = (𝑈 ∩ Ring))
38	36, 37	eleqtrrd 2863	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ (Base‘(RingCat‘𝑈)))
39	20, 21, 13, 22, 38, 38	ringchom 20911	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥(Hom ‘(RingCat‘𝑈))𝑥) = (𝑥 RingHom 𝑥))
40	19, 34, 39	3eqtrd 2799	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥𝐻𝑥) = (𝑥 RingHom 𝑥))
41	9, 17, 40	3eltr4d 2875	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((Id‘𝐶)‘𝑥) ∈ (𝑥𝐻𝑥))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ∩ cin 4088   I cid 5544   × cxp 5648   ↾ cres 5652  ‘cfv 6541  (class class class)co 7422  Basecbs 17394  Hom chom 17446  Idccid 17846  ExtStrCatcestrc 18303  Ringcrg 20466   RingHom crh 20706  RingCatcringc 20904

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7753  ax-cnex 11261  ax-resscn 11262  ax-1cn 11263  ax-icn 11264  ax-addcl 11265  ax-addrcl 11266  ax-mulcl 11267  ax-mulrcl 11268  ax-mulcom 11269  ax-addass 11270  ax-mulass 11271  ax-distr 11272  ax-i2m1 11273  ax-1ne0 11274  ax-1rid 11275  ax-rnegex 11276  ax-rrecex 11277  ax-cnre 11278  ax-pre-lttri 11279  ax-pre-lttrn 11280  ax-pre-ltadd 11281  ax-pre-mulgt0 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7379  df-ov 7425  df-oprab 7426  df-mpo 7427  df-om 7880  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8384  df-rdg 8423  df-1o 8481  df-er 8722  df-map 8854  df-en 8979  df-dom 8980  df-sdom 8981  df-fin 8982  df-pnf 11350  df-mnf 11351  df-xr 11352  df-ltxr 11353  df-le 11354  df-sub 11548  df-neg 11549  df-nn 12341  df-2 12410  df-3 12411  df-4 12412  df-5 12413  df-6 12414  df-7 12415  df-8 12416  df-9 12417  df-n0 12612  df-z 12699  df-dec 12820  df-uz 12971  df-fz 13645  df-struct 17332  df-sets 17349  df-slot 17367  df-ndx 17379  df-base 17395  df-ress 17416  df-plusg 17448  df-hom 17459  df-cco 17460  df-0g 17619  df-cat 17849  df-cid 17850  df-resc 17993  df-estrc 18304  df-mgm 18823  df-sgrp 18915  df-mnd 18931  df-mhm 18985  df-grp 19154  df-ghm 19435  df-mgp 20368  df-ur 20415  df-ring 20468  df-rhm 20709  df-ringc 20905

This theorem is used by:  rhmsubcsetc  20921