MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rhmsubcsetclem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rhmsubcsetclem1 20582
Description: Lemma 1 for rhmsubcsetc 20584. (Contributed by AV, 9-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
rhmsubcsetc.c 𝐢 = (ExtStrCatβ€˜π‘ˆ)
rhmsubcsetc.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
rhmsubcsetc.b (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Ring ∩ π‘ˆ))
rhmsubcsetc.h (πœ‘ β†’ 𝐻 = ( RingHom β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)))
Assertion
Ref Expression
rhmsubcsetclem1 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ ((Idβ€˜πΆ)β€˜π‘₯) ∈ (π‘₯𝐻π‘₯))

Proof of Theorem rhmsubcsetclem1
StepHypRef Expression
1 rhmsubcsetc.b . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Ring ∩ π‘ˆ))
21eleq2d 2814 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↔ π‘₯ ∈ (Ring ∩ π‘ˆ)))
3 elin 3960 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (Ring ∩ π‘ˆ) ↔ (π‘₯ ∈ Ring ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ))
43simplbi 497 . . . . 5 (π‘₯ ∈ (Ring ∩ π‘ˆ) β†’ π‘₯ ∈ Ring)
52, 4biimtrdi 252 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 β†’ π‘₯ ∈ Ring))
65imp 406 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ Ring)
7 eqid 2727 . . . 4 (Baseβ€˜π‘₯) = (Baseβ€˜π‘₯)
87idrhm 20418 . . 3 (π‘₯ ∈ Ring β†’ ( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘₯)) ∈ (π‘₯ RingHom π‘₯))
96, 8syl 17 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ ( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘₯)) ∈ (π‘₯ RingHom π‘₯))
10 rhmsubcsetc.c . . 3 𝐢 = (ExtStrCatβ€˜π‘ˆ)
11 eqid 2727 . . 3 (Idβ€˜πΆ) = (Idβ€˜πΆ)
12 rhmsubcsetc.u . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
1312adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
143simprbi 496 . . . . 5 (π‘₯ ∈ (Ring ∩ π‘ˆ) β†’ π‘₯ ∈ π‘ˆ)
152, 14biimtrdi 252 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 β†’ π‘₯ ∈ π‘ˆ))
1615imp 406 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ π‘ˆ)
1710, 11, 13, 16estrcid 18115 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ ((Idβ€˜πΆ)β€˜π‘₯) = ( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘₯)))
18 rhmsubcsetc.h . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐻 = ( RingHom β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)))
1918oveqdr 7442 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯𝐻π‘₯) = (π‘₯( RingHom β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))π‘₯))
20 eqid 2727 . . . . . . . 8 (RingCatβ€˜π‘ˆ) = (RingCatβ€˜π‘ˆ)
21 eqid 2727 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜(RingCatβ€˜π‘ˆ)) = (Baseβ€˜(RingCatβ€˜π‘ˆ))
22 eqid 2727 . . . . . . . 8 (Hom β€˜(RingCatβ€˜π‘ˆ)) = (Hom β€˜(RingCatβ€˜π‘ˆ))
2320, 21, 12, 22ringchomfval 20573 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (Hom β€˜(RingCatβ€˜π‘ˆ)) = ( RingHom β†Ύ ((Baseβ€˜(RingCatβ€˜π‘ˆ)) Γ— (Baseβ€˜(RingCatβ€˜π‘ˆ)))))
2420, 21, 12ringcbas 20572 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜(RingCatβ€˜π‘ˆ)) = (π‘ˆ ∩ Ring))
25 incom 4197 . . . . . . . . . . . 12 (Ring ∩ π‘ˆ) = (π‘ˆ ∩ Ring)
261, 25eqtrdi 2783 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (π‘ˆ ∩ Ring))
2726eqcomd 2733 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ ∩ Ring) = 𝐡)
2824, 27eqtrd 2767 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜(RingCatβ€˜π‘ˆ)) = 𝐡)
2928sqxpeqd 5704 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((Baseβ€˜(RingCatβ€˜π‘ˆ)) Γ— (Baseβ€˜(RingCatβ€˜π‘ˆ))) = (𝐡 Γ— 𝐡))
3029reseq2d 5979 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ( RingHom β†Ύ ((Baseβ€˜(RingCatβ€˜π‘ˆ)) Γ— (Baseβ€˜(RingCatβ€˜π‘ˆ)))) = ( RingHom β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)))
3123, 30eqtrd 2767 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (Hom β€˜(RingCatβ€˜π‘ˆ)) = ( RingHom β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)))
3231adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (Hom β€˜(RingCatβ€˜π‘ˆ)) = ( RingHom β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)))
3332eqcomd 2733 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ ( RingHom β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)) = (Hom β€˜(RingCatβ€˜π‘ˆ)))
3433oveqd 7431 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯( RingHom β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))π‘₯) = (π‘₯(Hom β€˜(RingCatβ€˜π‘ˆ))π‘₯))
3526eleq2d 2814 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↔ π‘₯ ∈ (π‘ˆ ∩ Ring)))
3635biimpa 476 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ (π‘ˆ ∩ Ring))
3724adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (Baseβ€˜(RingCatβ€˜π‘ˆ)) = (π‘ˆ ∩ Ring))
3836, 37eleqtrrd 2831 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(RingCatβ€˜π‘ˆ)))
3920, 21, 13, 22, 38, 38ringchom 20574 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯(Hom β€˜(RingCatβ€˜π‘ˆ))π‘₯) = (π‘₯ RingHom π‘₯))
4019, 34, 393eqtrd 2771 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯𝐻π‘₯) = (π‘₯ RingHom π‘₯))
419, 17, 403eltr4d 2843 1 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ ((Idβ€˜πΆ)β€˜π‘₯) ∈ (π‘₯𝐻π‘₯))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ∩ cin 3943   I cid 5569   Γ— cxp 5670   β†Ύ cres 5674  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  Basecbs 17171  Hom chom 17235  Idccid 17636  ExtStrCatcestrc 18103  Ringcrg 20164   RingHom crh 20397  RingCatcringc 20567
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8838  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-6 12301  df-7 12302  df-8 12303  df-9 12304  df-n0 12495  df-z 12581  df-dec 12700  df-uz 12845  df-fz 13509  df-struct 17107  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-ress 17201  df-plusg 17237  df-hom 17248  df-cco 17249  df-0g 17414  df-cat 17639  df-cid 17640  df-resc 17785  df-estrc 18104  df-mgm 18591  df-sgrp 18670  df-mnd 18686  df-mhm 18731  df-grp 18884  df-ghm 19159  df-mgp 20066  df-ur 20113  df-ring 20166  df-rhm 20400  df-ringc 20568
This theorem is referenced by:  rhmsubcsetc  20584
  Copyright terms: Public domain W3C validator