Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rnghmsubcsetclem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rnghmsubcsetclem1 44660
 Description: Lemma 1 for rnghmsubcsetc 44662. (Contributed by AV, 9-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
rnghmsubcsetc.c 𝐶 = (ExtStrCat‘𝑈)
rnghmsubcsetc.u (𝜑𝑈𝑉)
rnghmsubcsetc.b (𝜑𝐵 = (Rng ∩ 𝑈))
rnghmsubcsetc.h (𝜑𝐻 = ( RngHomo ↾ (𝐵 × 𝐵)))
Assertion
Ref Expression
rnghmsubcsetclem1 ((𝜑𝑥𝐵) → ((Id‘𝐶)‘𝑥) ∈ (𝑥𝐻𝑥))

Proof of Theorem rnghmsubcsetclem1
StepHypRef Expression
1 rnghmsubcsetc.b . . . . . 6 (𝜑𝐵 = (Rng ∩ 𝑈))
21eleq2d 2875 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐵𝑥 ∈ (Rng ∩ 𝑈)))
3 elin 3897 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (Rng ∩ 𝑈) ↔ (𝑥 ∈ Rng ∧ 𝑥𝑈))
43simplbi 501 . . . . 5 (𝑥 ∈ (Rng ∩ 𝑈) → 𝑥 ∈ Rng)
52, 4syl6bi 256 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐵𝑥 ∈ Rng))
65imp 410 . . 3 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑥 ∈ Rng)
7 eqid 2798 . . . 4 (Base‘𝑥) = (Base‘𝑥)
87idrnghm 44593 . . 3 (𝑥 ∈ Rng → ( I ↾ (Base‘𝑥)) ∈ (𝑥 RngHomo 𝑥))
96, 8syl 17 . 2 ((𝜑𝑥𝐵) → ( I ↾ (Base‘𝑥)) ∈ (𝑥 RngHomo 𝑥))
10 rnghmsubcsetc.c . . 3 𝐶 = (ExtStrCat‘𝑈)
11 eqid 2798 . . 3 (Id‘𝐶) = (Id‘𝐶)
12 rnghmsubcsetc.u . . . 4 (𝜑𝑈𝑉)
1312adantr 484 . . 3 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑈𝑉)
143simprbi 500 . . . . 5 (𝑥 ∈ (Rng ∩ 𝑈) → 𝑥𝑈)
152, 14syl6bi 256 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐵𝑥𝑈))
1615imp 410 . . 3 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑥𝑈)
1710, 11, 13, 16estrcid 17383 . 2 ((𝜑𝑥𝐵) → ((Id‘𝐶)‘𝑥) = ( I ↾ (Base‘𝑥)))
18 rnghmsubcsetc.h . . . 4 (𝜑𝐻 = ( RngHomo ↾ (𝐵 × 𝐵)))
1918oveqdr 7168 . . 3 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑥𝐻𝑥) = (𝑥( RngHomo ↾ (𝐵 × 𝐵))𝑥))
20 eqid 2798 . . . . . . . 8 (RngCat‘𝑈) = (RngCat‘𝑈)
21 eqid 2798 . . . . . . . 8 (Base‘(RngCat‘𝑈)) = (Base‘(RngCat‘𝑈))
22 eqid 2798 . . . . . . . 8 (Hom ‘(RngCat‘𝑈)) = (Hom ‘(RngCat‘𝑈))
2320, 21, 12, 22rngchomfval 44651 . . . . . . 7 (𝜑 → (Hom ‘(RngCat‘𝑈)) = ( RngHomo ↾ ((Base‘(RngCat‘𝑈)) × (Base‘(RngCat‘𝑈)))))
2420, 21, 12rngcbas 44650 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (Base‘(RngCat‘𝑈)) = (𝑈 ∩ Rng))
25 incom 4128 . . . . . . . . . . . 12 (Rng ∩ 𝑈) = (𝑈 ∩ Rng)
261, 25eqtrdi 2849 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 = (𝑈 ∩ Rng))
2726eqcomd 2804 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑈 ∩ Rng) = 𝐵)
2824, 27eqtrd 2833 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (Base‘(RngCat‘𝑈)) = 𝐵)
2928sqxpeqd 5552 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((Base‘(RngCat‘𝑈)) × (Base‘(RngCat‘𝑈))) = (𝐵 × 𝐵))
3029reseq2d 5819 . . . . . . 7 (𝜑 → ( RngHomo ↾ ((Base‘(RngCat‘𝑈)) × (Base‘(RngCat‘𝑈)))) = ( RngHomo ↾ (𝐵 × 𝐵)))
3123, 30eqtrd 2833 . . . . . 6 (𝜑 → (Hom ‘(RngCat‘𝑈)) = ( RngHomo ↾ (𝐵 × 𝐵)))
3231adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐵) → (Hom ‘(RngCat‘𝑈)) = ( RngHomo ↾ (𝐵 × 𝐵)))
3332eqcomd 2804 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐵) → ( RngHomo ↾ (𝐵 × 𝐵)) = (Hom ‘(RngCat‘𝑈)))
3433oveqd 7157 . . 3 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑥( RngHomo ↾ (𝐵 × 𝐵))𝑥) = (𝑥(Hom ‘(RngCat‘𝑈))𝑥))
3526eleq2d 2875 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐵𝑥 ∈ (𝑈 ∩ Rng)))
3635biimpa 480 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ Rng))
3724adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐵) → (Base‘(RngCat‘𝑈)) = (𝑈 ∩ Rng))
3836, 37eleqtrrd 2893 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑥 ∈ (Base‘(RngCat‘𝑈)))
3920, 21, 13, 22, 38, 38rngchom 44652 . . 3 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑥(Hom ‘(RngCat‘𝑈))𝑥) = (𝑥 RngHomo 𝑥))
4019, 34, 393eqtrd 2837 . 2 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑥𝐻𝑥) = (𝑥 RngHomo 𝑥))
419, 17, 403eltr4d 2905 1 ((𝜑𝑥𝐵) → ((Id‘𝐶)‘𝑥) ∈ (𝑥𝐻𝑥))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ∩ cin 3880   I cid 5425   × cxp 5518   ↾ cres 5522  ‘cfv 6327  (class class class)co 7140  Basecbs 16482  Hom chom 16575  Idccid 16935  ExtStrCatcestrc 17371  Rngcrng 44559   RngHomo crngh 44570  RngCatcrngc 44642 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7448  ax-cnex 10589  ax-resscn 10590  ax-1cn 10591  ax-icn 10592  ax-addcl 10593  ax-addrcl 10594  ax-mulcl 10595  ax-mulrcl 10596  ax-mulcom 10597  ax-addass 10598  ax-mulass 10599  ax-distr 10600  ax-i2m1 10601  ax-1ne0 10602  ax-1rid 10603  ax-rnegex 10604  ax-rrecex 10605  ax-cnre 10606  ax-pre-lttri 10607  ax-pre-lttrn 10608  ax-pre-ltadd 10609  ax-pre-mulgt0 10610 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4840  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5426  df-eprel 5431  df-po 5439  df-so 5440  df-fr 5479  df-we 5481  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-pred 6119  df-ord 6165  df-on 6166  df-lim 6167  df-suc 6168  df-iota 6286  df-fun 6329  df-fn 6330  df-f 6331  df-f1 6332  df-fo 6333  df-f1o 6334  df-fv 6335  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7568  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7937  df-recs 7998  df-rdg 8036  df-1o 8092  df-oadd 8096  df-er 8279  df-map 8398  df-en 8500  df-dom 8501  df-sdom 8502  df-fin 8503  df-pnf 10673  df-mnf 10674  df-xr 10675  df-ltxr 10676  df-le 10677  df-sub 10868  df-neg 10869  df-nn 11633  df-2 11695  df-3 11696  df-4 11697  df-5 11698  df-6 11699  df-7 11700  df-8 11701  df-9 11702  df-n0 11893  df-z 11977  df-dec 12094  df-uz 12239  df-fz 12893  df-struct 16484  df-ndx 16485  df-slot 16486  df-base 16488  df-sets 16489  df-ress 16490  df-plusg 16577  df-hom 16588  df-cco 16589  df-cat 16938  df-cid 16939  df-resc 17080  df-estrc 17372  df-mgm 17851  df-sgrp 17900  df-mnd 17911  df-grp 18105  df-ghm 18356  df-abl 18909  df-mgp 19241  df-mgmhm 44460  df-rng0 44560  df-rnghomo 44572  df-rngc 44644 This theorem is referenced by:  rnghmsubcsetc  44662
 Copyright terms: Public domain W3C validator