Theorem rnghmsubcsetclem1 20591

Description: Lemma 1 for rnghmsubcsetc 20593. (Contributed by AV, 9-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
rnghmsubcsetc.c	⊢ 𝐶 = (ExtStrCat‘𝑈)
rnghmsubcsetc.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
rnghmsubcsetc.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Rng ∩ 𝑈))
rnghmsubcsetc.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 = ( RngHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))

Assertion

Ref	Expression
rnghmsubcsetclem1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((Id‘𝐶)‘𝑥) ∈ (𝑥𝐻𝑥))

Proof of Theorem rnghmsubcsetclem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rnghmsubcsetc.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Rng ∩ 𝑈))
2	1	eleq2d 2820	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑥 ∈ (Rng ∩ 𝑈)))
3		elin 3942	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (Rng ∩ 𝑈) ↔ (𝑥 ∈ Rng ∧ 𝑥 ∈ 𝑈))
4	3	simplbi 497	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (Rng ∩ 𝑈) → 𝑥 ∈ Rng)
5	2, 4	biimtrdi 253	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ Rng))
6	5	imp 406	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ Rng)
7		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑥) = (Base‘𝑥)
8	7	idrnghm 20418	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ Rng → ( I ↾ (Base‘𝑥)) ∈ (𝑥 RngHom 𝑥))
9	6, 8	syl 17	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ( I ↾ (Base‘𝑥)) ∈ (𝑥 RngHom 𝑥))
10		rnghmsubcsetc.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (ExtStrCat‘𝑈)
11		eqid 2735	. . 3 ⊢ (Id‘𝐶) = (Id‘𝐶)
12		rnghmsubcsetc.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
13	12	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑈 ∈ 𝑉)
14	3	simprbi 496	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (Rng ∩ 𝑈) → 𝑥 ∈ 𝑈)
15	2, 14	biimtrdi 253	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ 𝑈))
16	15	imp 406	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝑈)
17	10, 11, 13, 16	estrcid 18146	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((Id‘𝐶)‘𝑥) = ( I ↾ (Base‘𝑥)))
18		rnghmsubcsetc.h	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = ( RngHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))
19	18	oveqdr 7433	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥𝐻𝑥) = (𝑥( RngHom ↾ (𝐵 × 𝐵))𝑥))
20		eqid 2735	. . . . . . . 8 ⊢ (RngCat‘𝑈) = (RngCat‘𝑈)
21		eqid 2735	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(RngCat‘𝑈)) = (Base‘(RngCat‘𝑈))
22		eqid 2735	. . . . . . . 8 ⊢ (Hom ‘(RngCat‘𝑈)) = (Hom ‘(RngCat‘𝑈))
23	20, 21, 12, 22	rngchomfval 20582	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Hom ‘(RngCat‘𝑈)) = ( RngHom ↾ ((Base‘(RngCat‘𝑈)) × (Base‘(RngCat‘𝑈)))))
24	20, 21, 12	rngcbas 20581	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (Base‘(RngCat‘𝑈)) = (𝑈 ∩ Rng))
25		incom 4184	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Rng ∩ 𝑈) = (𝑈 ∩ Rng)
26	1, 25	eqtrdi 2786	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝑈 ∩ Rng))
27	26	eqcomd 2741	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∩ Rng) = 𝐵)
28	24, 27	eqtrd 2770	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (Base‘(RngCat‘𝑈)) = 𝐵)
29	28	sqxpeqd 5686	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((Base‘(RngCat‘𝑈)) × (Base‘(RngCat‘𝑈))) = (𝐵 × 𝐵))
30	29	reseq2d 5966	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ( RngHom ↾ ((Base‘(RngCat‘𝑈)) × (Base‘(RngCat‘𝑈)))) = ( RngHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))
31	23, 30	eqtrd 2770	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Hom ‘(RngCat‘𝑈)) = ( RngHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))
32	31	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (Hom ‘(RngCat‘𝑈)) = ( RngHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))
33	32	eqcomd 2741	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ( RngHom ↾ (𝐵 × 𝐵)) = (Hom ‘(RngCat‘𝑈)))
34	33	oveqd 7422	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥( RngHom ↾ (𝐵 × 𝐵))𝑥) = (𝑥(Hom ‘(RngCat‘𝑈))𝑥))
35	26	eleq2d 2820	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ Rng)))
36	35	biimpa 476	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ Rng))
37	24	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (Base‘(RngCat‘𝑈)) = (𝑈 ∩ Rng))
38	36, 37	eleqtrrd 2837	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ (Base‘(RngCat‘𝑈)))
39	20, 21, 13, 22, 38, 38	rngchom 20583	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥(Hom ‘(RngCat‘𝑈))𝑥) = (𝑥 RngHom 𝑥))
40	19, 34, 39	3eqtrd 2774	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥𝐻𝑥) = (𝑥 RngHom 𝑥))
41	9, 17, 40	3eltr4d 2849	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((Id‘𝐶)‘𝑥) ∈ (𝑥𝐻𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ∩ cin 3925   I cid 5547   × cxp 5652   ↾ cres 5656  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  Basecbs 17228  Hom chom 17282  Idccid 17677  ExtStrCatcestrc 18134  Rngcrng 20112   RngHom crnghm 20394  RngCatcrngc 20576

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8719  df-map 8842  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12502  df-z 12589  df-dec 12709  df-uz 12853  df-fz 13525  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17252  df-plusg 17284  df-hom 17295  df-cco 17296  df-cat 17680  df-cid 17681  df-resc 17824  df-estrc 18135  df-mgm 18618  df-mgmhm 18670  df-sgrp 18697  df-mnd 18713  df-grp 18919  df-ghm 19196  df-abl 19764  df-mgp 20101  df-rng 20113  df-rnghm 20396  df-rngc 20577

This theorem is referenced by:  rnghmsubcsetc  20593