Theorem rnghmsubcsetclem1 45533

Description: Lemma 1 for rnghmsubcsetc 45535. (Contributed by AV, 9-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
rnghmsubcsetc.c	⊢ 𝐶 = (ExtStrCat‘𝑈)
rnghmsubcsetc.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
rnghmsubcsetc.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Rng ∩ 𝑈))
rnghmsubcsetc.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 = ( RngHomo ↾ (𝐵 × 𝐵)))

Assertion

Ref	Expression
rnghmsubcsetclem1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((Id‘𝐶)‘𝑥) ∈ (𝑥𝐻𝑥))

Proof of Theorem rnghmsubcsetclem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rnghmsubcsetc.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Rng ∩ 𝑈))
2	1	eleq2d 2824	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑥 ∈ (Rng ∩ 𝑈)))
3		elin 3903	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (Rng ∩ 𝑈) ↔ (𝑥 ∈ Rng ∧ 𝑥 ∈ 𝑈))
4	3	simplbi 498	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (Rng ∩ 𝑈) → 𝑥 ∈ Rng)
5	2, 4	syl6bi 252	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ Rng))
6	5	imp 407	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ Rng)
7		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑥) = (Base‘𝑥)
8	7	idrnghm 45466	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ Rng → ( I ↾ (Base‘𝑥)) ∈ (𝑥 RngHomo 𝑥))
9	6, 8	syl 17	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ( I ↾ (Base‘𝑥)) ∈ (𝑥 RngHomo 𝑥))
10		rnghmsubcsetc.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (ExtStrCat‘𝑈)
11		eqid 2738	. . 3 ⊢ (Id‘𝐶) = (Id‘𝐶)
12		rnghmsubcsetc.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
13	12	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑈 ∈ 𝑉)
14	3	simprbi 497	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (Rng ∩ 𝑈) → 𝑥 ∈ 𝑈)
15	2, 14	syl6bi 252	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ 𝑈))
16	15	imp 407	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝑈)
17	10, 11, 13, 16	estrcid 17850	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((Id‘𝐶)‘𝑥) = ( I ↾ (Base‘𝑥)))
18		rnghmsubcsetc.h	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = ( RngHomo ↾ (𝐵 × 𝐵)))
19	18	oveqdr 7303	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥𝐻𝑥) = (𝑥( RngHomo ↾ (𝐵 × 𝐵))𝑥))
20		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (RngCat‘𝑈) = (RngCat‘𝑈)
21		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(RngCat‘𝑈)) = (Base‘(RngCat‘𝑈))
22		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (Hom ‘(RngCat‘𝑈)) = (Hom ‘(RngCat‘𝑈))
23	20, 21, 12, 22	rngchomfval 45524	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Hom ‘(RngCat‘𝑈)) = ( RngHomo ↾ ((Base‘(RngCat‘𝑈)) × (Base‘(RngCat‘𝑈)))))
24	20, 21, 12	rngcbas 45523	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (Base‘(RngCat‘𝑈)) = (𝑈 ∩ Rng))
25		incom 4135	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Rng ∩ 𝑈) = (𝑈 ∩ Rng)
26	1, 25	eqtrdi 2794	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝑈 ∩ Rng))
27	26	eqcomd 2744	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∩ Rng) = 𝐵)
28	24, 27	eqtrd 2778	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (Base‘(RngCat‘𝑈)) = 𝐵)
29	28	sqxpeqd 5621	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((Base‘(RngCat‘𝑈)) × (Base‘(RngCat‘𝑈))) = (𝐵 × 𝐵))
30	29	reseq2d 5891	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ( RngHomo ↾ ((Base‘(RngCat‘𝑈)) × (Base‘(RngCat‘𝑈)))) = ( RngHomo ↾ (𝐵 × 𝐵)))
31	23, 30	eqtrd 2778	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Hom ‘(RngCat‘𝑈)) = ( RngHomo ↾ (𝐵 × 𝐵)))
32	31	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (Hom ‘(RngCat‘𝑈)) = ( RngHomo ↾ (𝐵 × 𝐵)))
33	32	eqcomd 2744	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ( RngHomo ↾ (𝐵 × 𝐵)) = (Hom ‘(RngCat‘𝑈)))
34	33	oveqd 7292	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥( RngHomo ↾ (𝐵 × 𝐵))𝑥) = (𝑥(Hom ‘(RngCat‘𝑈))𝑥))
35	26	eleq2d 2824	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ Rng)))
36	35	biimpa 477	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ Rng))
37	24	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (Base‘(RngCat‘𝑈)) = (𝑈 ∩ Rng))
38	36, 37	eleqtrrd 2842	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ (Base‘(RngCat‘𝑈)))
39	20, 21, 13, 22, 38, 38	rngchom 45525	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥(Hom ‘(RngCat‘𝑈))𝑥) = (𝑥 RngHomo 𝑥))
40	19, 34, 39	3eqtrd 2782	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥𝐻𝑥) = (𝑥 RngHomo 𝑥))
41	9, 17, 40	3eltr4d 2854	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((Id‘𝐶)‘𝑥) ∈ (𝑥𝐻𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ∩ cin 3886   I cid 5488   × cxp 5587   ↾ cres 5591  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  Basecbs 16912  Hom chom 16973  Idccid 17374  ExtStrCatcestrc 17838  Rngcrng 45432   RngHomo crngh 45443  RngCatcrngc 45515

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-fz 13240  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-hom 16986  df-cco 16987  df-cat 17377  df-cid 17378  df-resc 17523  df-estrc 17839  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-grp 18580  df-ghm 18832  df-abl 19389  df-mgp 19721  df-mgmhm 45333  df-rng0 45433  df-rnghomo 45445  df-rngc 45517

This theorem is referenced by:  rnghmsubcsetc  45535