Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rnghmsubcsetclem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rnghmsubcsetclem1 46426
Description: Lemma 1 for rnghmsubcsetc 46428. (Contributed by AV, 9-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
rnghmsubcsetc.c 𝐢 = (ExtStrCatβ€˜π‘ˆ)
rnghmsubcsetc.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
rnghmsubcsetc.b (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Rng ∩ π‘ˆ))
rnghmsubcsetc.h (πœ‘ β†’ 𝐻 = ( RngHomo β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)))
Assertion
Ref Expression
rnghmsubcsetclem1 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ ((Idβ€˜πΆ)β€˜π‘₯) ∈ (π‘₯𝐻π‘₯))

Proof of Theorem rnghmsubcsetclem1
StepHypRef Expression
1 rnghmsubcsetc.b . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Rng ∩ π‘ˆ))
21eleq2d 2818 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↔ π‘₯ ∈ (Rng ∩ π‘ˆ)))
3 elin 3944 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (Rng ∩ π‘ˆ) ↔ (π‘₯ ∈ Rng ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ))
43simplbi 498 . . . . 5 (π‘₯ ∈ (Rng ∩ π‘ˆ) β†’ π‘₯ ∈ Rng)
52, 4syl6bi 252 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 β†’ π‘₯ ∈ Rng))
65imp 407 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ Rng)
7 eqid 2731 . . . 4 (Baseβ€˜π‘₯) = (Baseβ€˜π‘₯)
87idrnghm 46359 . . 3 (π‘₯ ∈ Rng β†’ ( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘₯)) ∈ (π‘₯ RngHomo π‘₯))
96, 8syl 17 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ ( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘₯)) ∈ (π‘₯ RngHomo π‘₯))
10 rnghmsubcsetc.c . . 3 𝐢 = (ExtStrCatβ€˜π‘ˆ)
11 eqid 2731 . . 3 (Idβ€˜πΆ) = (Idβ€˜πΆ)
12 rnghmsubcsetc.u . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
1312adantr 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
143simprbi 497 . . . . 5 (π‘₯ ∈ (Rng ∩ π‘ˆ) β†’ π‘₯ ∈ π‘ˆ)
152, 14syl6bi 252 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 β†’ π‘₯ ∈ π‘ˆ))
1615imp 407 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ π‘ˆ)
1710, 11, 13, 16estrcid 18050 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ ((Idβ€˜πΆ)β€˜π‘₯) = ( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘₯)))
18 rnghmsubcsetc.h . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐻 = ( RngHomo β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)))
1918oveqdr 7405 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯𝐻π‘₯) = (π‘₯( RngHomo β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))π‘₯))
20 eqid 2731 . . . . . . . 8 (RngCatβ€˜π‘ˆ) = (RngCatβ€˜π‘ˆ)
21 eqid 2731 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜(RngCatβ€˜π‘ˆ)) = (Baseβ€˜(RngCatβ€˜π‘ˆ))
22 eqid 2731 . . . . . . . 8 (Hom β€˜(RngCatβ€˜π‘ˆ)) = (Hom β€˜(RngCatβ€˜π‘ˆ))
2320, 21, 12, 22rngchomfval 46417 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (Hom β€˜(RngCatβ€˜π‘ˆ)) = ( RngHomo β†Ύ ((Baseβ€˜(RngCatβ€˜π‘ˆ)) Γ— (Baseβ€˜(RngCatβ€˜π‘ˆ)))))
2420, 21, 12rngcbas 46416 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜(RngCatβ€˜π‘ˆ)) = (π‘ˆ ∩ Rng))
25 incom 4181 . . . . . . . . . . . 12 (Rng ∩ π‘ˆ) = (π‘ˆ ∩ Rng)
261, 25eqtrdi 2787 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (π‘ˆ ∩ Rng))
2726eqcomd 2737 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ ∩ Rng) = 𝐡)
2824, 27eqtrd 2771 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜(RngCatβ€˜π‘ˆ)) = 𝐡)
2928sqxpeqd 5685 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((Baseβ€˜(RngCatβ€˜π‘ˆ)) Γ— (Baseβ€˜(RngCatβ€˜π‘ˆ))) = (𝐡 Γ— 𝐡))
3029reseq2d 5957 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ( RngHomo β†Ύ ((Baseβ€˜(RngCatβ€˜π‘ˆ)) Γ— (Baseβ€˜(RngCatβ€˜π‘ˆ)))) = ( RngHomo β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)))
3123, 30eqtrd 2771 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (Hom β€˜(RngCatβ€˜π‘ˆ)) = ( RngHomo β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)))
3231adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (Hom β€˜(RngCatβ€˜π‘ˆ)) = ( RngHomo β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)))
3332eqcomd 2737 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ ( RngHomo β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)) = (Hom β€˜(RngCatβ€˜π‘ˆ)))
3433oveqd 7394 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯( RngHomo β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))π‘₯) = (π‘₯(Hom β€˜(RngCatβ€˜π‘ˆ))π‘₯))
3526eleq2d 2818 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↔ π‘₯ ∈ (π‘ˆ ∩ Rng)))
3635biimpa 477 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ (π‘ˆ ∩ Rng))
3724adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (Baseβ€˜(RngCatβ€˜π‘ˆ)) = (π‘ˆ ∩ Rng))
3836, 37eleqtrrd 2835 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(RngCatβ€˜π‘ˆ)))
3920, 21, 13, 22, 38, 38rngchom 46418 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯(Hom β€˜(RngCatβ€˜π‘ˆ))π‘₯) = (π‘₯ RngHomo π‘₯))
4019, 34, 393eqtrd 2775 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯𝐻π‘₯) = (π‘₯ RngHomo π‘₯))
419, 17, 403eltr4d 2847 1 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ ((Idβ€˜πΆ)β€˜π‘₯) ∈ (π‘₯𝐻π‘₯))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ∩ cin 3927   I cid 5550   Γ— cxp 5651   β†Ύ cres 5655  β€˜cfv 6516  (class class class)co 7377  Basecbs 17109  Hom chom 17173  Idccid 17574  ExtStrCatcestrc 18038  Rngcrng 46325   RngHomo crngh 46336  RngCatcrngc 46408
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5262  ax-sep 5276  ax-nul 5283  ax-pow 5340  ax-pr 5404  ax-un 7692  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3419  df-v 3461  df-sbc 3758  df-csb 3874  df-dif 3931  df-un 3933  df-in 3935  df-ss 3945  df-pss 3947  df-nul 4303  df-if 4507  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4886  df-iun 4976  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5209  df-tr 5243  df-id 5551  df-eprel 5557  df-po 5565  df-so 5566  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5659  df-rel 5660  df-cnv 5661  df-co 5662  df-dm 5663  df-rn 5664  df-res 5665  df-ima 5666  df-pred 6273  df-ord 6340  df-on 6341  df-lim 6342  df-suc 6343  df-iota 6468  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7333  df-ov 7380  df-oprab 7381  df-mpo 7382  df-om 7823  df-1st 7941  df-2nd 7942  df-frecs 8232  df-wrecs 8263  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-er 8670  df-map 8789  df-en 8906  df-dom 8907  df-sdom 8908  df-fin 8909  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11411  df-neg 11412  df-nn 12178  df-2 12240  df-3 12241  df-4 12242  df-5 12243  df-6 12244  df-7 12245  df-8 12246  df-9 12247  df-n0 12438  df-z 12524  df-dec 12643  df-uz 12788  df-fz 13450  df-struct 17045  df-sets 17062  df-slot 17080  df-ndx 17092  df-base 17110  df-ress 17139  df-plusg 17175  df-hom 17186  df-cco 17187  df-cat 17577  df-cid 17578  df-resc 17723  df-estrc 18039  df-mgm 18526  df-sgrp 18575  df-mnd 18586  df-grp 18780  df-ghm 19035  df-abl 19594  df-mgp 19926  df-mgmhm 46226  df-rng 46326  df-rnghomo 46338  df-rngc 46410
This theorem is referenced by:  rnghmsubcsetc  46428
  Copyright terms: Public domain W3C validator