Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rnghmsubcsetclem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rnghmsubcsetclem1 46245
Description: Lemma 1 for rnghmsubcsetc 46247. (Contributed by AV, 9-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
rnghmsubcsetc.c 𝐶 = (ExtStrCat‘𝑈)
rnghmsubcsetc.u (𝜑𝑈𝑉)
rnghmsubcsetc.b (𝜑𝐵 = (Rng ∩ 𝑈))
rnghmsubcsetc.h (𝜑𝐻 = ( RngHomo ↾ (𝐵 × 𝐵)))
Assertion
Ref Expression
rnghmsubcsetclem1 ((𝜑𝑥𝐵) → ((Id‘𝐶)‘𝑥) ∈ (𝑥𝐻𝑥))

Proof of Theorem rnghmsubcsetclem1
StepHypRef Expression
1 rnghmsubcsetc.b . . . . . 6 (𝜑𝐵 = (Rng ∩ 𝑈))
21eleq2d 2823 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐵𝑥 ∈ (Rng ∩ 𝑈)))
3 elin 3926 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (Rng ∩ 𝑈) ↔ (𝑥 ∈ Rng ∧ 𝑥𝑈))
43simplbi 498 . . . . 5 (𝑥 ∈ (Rng ∩ 𝑈) → 𝑥 ∈ Rng)
52, 4syl6bi 252 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐵𝑥 ∈ Rng))
65imp 407 . . 3 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑥 ∈ Rng)
7 eqid 2736 . . . 4 (Base‘𝑥) = (Base‘𝑥)
87idrnghm 46178 . . 3 (𝑥 ∈ Rng → ( I ↾ (Base‘𝑥)) ∈ (𝑥 RngHomo 𝑥))
96, 8syl 17 . 2 ((𝜑𝑥𝐵) → ( I ↾ (Base‘𝑥)) ∈ (𝑥 RngHomo 𝑥))
10 rnghmsubcsetc.c . . 3 𝐶 = (ExtStrCat‘𝑈)
11 eqid 2736 . . 3 (Id‘𝐶) = (Id‘𝐶)
12 rnghmsubcsetc.u . . . 4 (𝜑𝑈𝑉)
1312adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑈𝑉)
143simprbi 497 . . . . 5 (𝑥 ∈ (Rng ∩ 𝑈) → 𝑥𝑈)
152, 14syl6bi 252 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐵𝑥𝑈))
1615imp 407 . . 3 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑥𝑈)
1710, 11, 13, 16estrcid 18020 . 2 ((𝜑𝑥𝐵) → ((Id‘𝐶)‘𝑥) = ( I ↾ (Base‘𝑥)))
18 rnghmsubcsetc.h . . . 4 (𝜑𝐻 = ( RngHomo ↾ (𝐵 × 𝐵)))
1918oveqdr 7384 . . 3 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑥𝐻𝑥) = (𝑥( RngHomo ↾ (𝐵 × 𝐵))𝑥))
20 eqid 2736 . . . . . . . 8 (RngCat‘𝑈) = (RngCat‘𝑈)
21 eqid 2736 . . . . . . . 8 (Base‘(RngCat‘𝑈)) = (Base‘(RngCat‘𝑈))
22 eqid 2736 . . . . . . . 8 (Hom ‘(RngCat‘𝑈)) = (Hom ‘(RngCat‘𝑈))
2320, 21, 12, 22rngchomfval 46236 . . . . . . 7 (𝜑 → (Hom ‘(RngCat‘𝑈)) = ( RngHomo ↾ ((Base‘(RngCat‘𝑈)) × (Base‘(RngCat‘𝑈)))))
2420, 21, 12rngcbas 46235 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (Base‘(RngCat‘𝑈)) = (𝑈 ∩ Rng))
25 incom 4161 . . . . . . . . . . . 12 (Rng ∩ 𝑈) = (𝑈 ∩ Rng)
261, 25eqtrdi 2792 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 = (𝑈 ∩ Rng))
2726eqcomd 2742 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑈 ∩ Rng) = 𝐵)
2824, 27eqtrd 2776 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (Base‘(RngCat‘𝑈)) = 𝐵)
2928sqxpeqd 5665 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((Base‘(RngCat‘𝑈)) × (Base‘(RngCat‘𝑈))) = (𝐵 × 𝐵))
3029reseq2d 5937 . . . . . . 7 (𝜑 → ( RngHomo ↾ ((Base‘(RngCat‘𝑈)) × (Base‘(RngCat‘𝑈)))) = ( RngHomo ↾ (𝐵 × 𝐵)))
3123, 30eqtrd 2776 . . . . . 6 (𝜑 → (Hom ‘(RngCat‘𝑈)) = ( RngHomo ↾ (𝐵 × 𝐵)))
3231adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐵) → (Hom ‘(RngCat‘𝑈)) = ( RngHomo ↾ (𝐵 × 𝐵)))
3332eqcomd 2742 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐵) → ( RngHomo ↾ (𝐵 × 𝐵)) = (Hom ‘(RngCat‘𝑈)))
3433oveqd 7373 . . 3 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑥( RngHomo ↾ (𝐵 × 𝐵))𝑥) = (𝑥(Hom ‘(RngCat‘𝑈))𝑥))
3526eleq2d 2823 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐵𝑥 ∈ (𝑈 ∩ Rng)))
3635biimpa 477 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ Rng))
3724adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐵) → (Base‘(RngCat‘𝑈)) = (𝑈 ∩ Rng))
3836, 37eleqtrrd 2841 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑥 ∈ (Base‘(RngCat‘𝑈)))
3920, 21, 13, 22, 38, 38rngchom 46237 . . 3 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑥(Hom ‘(RngCat‘𝑈))𝑥) = (𝑥 RngHomo 𝑥))
4019, 34, 393eqtrd 2780 . 2 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑥𝐻𝑥) = (𝑥 RngHomo 𝑥))
419, 17, 403eltr4d 2853 1 ((𝜑𝑥𝐵) → ((Id‘𝐶)‘𝑥) ∈ (𝑥𝐻𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  cin 3909   I cid 5530   × cxp 5631  cres 5635  cfv 6496  (class class class)co 7356  Basecbs 17082  Hom chom 17143  Idccid 17544  ExtStrCatcestrc 18008  Rngcrng 46144   RngHomo crngh 46155  RngCatcrngc 46227
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7671  ax-cnex 11106  ax-resscn 11107  ax-1cn 11108  ax-icn 11109  ax-addcl 11110  ax-addrcl 11111  ax-mulcl 11112  ax-mulrcl 11113  ax-mulcom 11114  ax-addass 11115  ax-mulass 11116  ax-distr 11117  ax-i2m1 11118  ax-1ne0 11119  ax-1rid 11120  ax-rnegex 11121  ax-rrecex 11122  ax-cnre 11123  ax-pre-lttri 11124  ax-pre-lttrn 11125  ax-pre-ltadd 11126  ax-pre-mulgt0 11127
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7312  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7802  df-1st 7920  df-2nd 7921  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8316  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8647  df-map 8766  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-fin 8886  df-pnf 11190  df-mnf 11191  df-xr 11192  df-ltxr 11193  df-le 11194  df-sub 11386  df-neg 11387  df-nn 12153  df-2 12215  df-3 12216  df-4 12217  df-5 12218  df-6 12219  df-7 12220  df-8 12221  df-9 12222  df-n0 12413  df-z 12499  df-dec 12618  df-uz 12763  df-fz 13424  df-struct 17018  df-sets 17035  df-slot 17053  df-ndx 17065  df-base 17083  df-ress 17112  df-plusg 17145  df-hom 17156  df-cco 17157  df-cat 17547  df-cid 17548  df-resc 17693  df-estrc 18009  df-mgm 18496  df-sgrp 18545  df-mnd 18556  df-grp 18750  df-ghm 19004  df-abl 19563  df-mgp 19895  df-mgmhm 46045  df-rng 46145  df-rnghomo 46157  df-rngc 46229
This theorem is referenced by:  rnghmsubcsetc  46247
  Copyright terms: Public domain W3C validator