Theorem rnghmsubcsetclem1 20610

Description: Lemma 1 for rnghmsubcsetc 20612. (Contributed by AV, 9-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
rnghmsubcsetc.c	⊢ 𝐶 = (ExtStrCat‘𝑈)
rnghmsubcsetc.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
rnghmsubcsetc.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Rng ∩ 𝑈))
rnghmsubcsetc.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 = ( RngHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))

Assertion

Ref	Expression
rnghmsubcsetclem1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((Id‘𝐶)‘𝑥) ∈ (𝑥𝐻𝑥))

Proof of Theorem rnghmsubcsetclem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rnghmsubcsetc.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Rng ∩ 𝑈))
2	1	eleq2d 2826	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑥 ∈ (Rng ∩ 𝑈)))
3		elin 3906	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (Rng ∩ 𝑈) ↔ (𝑥 ∈ Rng ∧ 𝑥 ∈ 𝑈))
4	3	simplbi 497	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (Rng ∩ 𝑈) → 𝑥 ∈ Rng)
5	2, 4	biimtrdi 254	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ Rng))
6	5	imp 407	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ Rng)
7		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑥) = (Base‘𝑥)
8	7	idrnghm 20436	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ Rng → ( I ↾ (Base‘𝑥)) ∈ (𝑥 RngHom 𝑥))
9	6, 8	syl 17	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ( I ↾ (Base‘𝑥)) ∈ (𝑥 RngHom 𝑥))
10		rnghmsubcsetc.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (ExtStrCat‘𝑈)
11		eqid 2740	. . 3 ⊢ (Id‘𝐶) = (Id‘𝐶)
12		rnghmsubcsetc.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
13	12	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑈 ∈ 𝑉)
14	3	simprbi 498	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (Rng ∩ 𝑈) → 𝑥 ∈ 𝑈)
15	2, 14	biimtrdi 254	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ 𝑈))
16	15	imp 407	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝑈)
17	10, 11, 13, 16	estrcid 18098	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((Id‘𝐶)‘𝑥) = ( I ↾ (Base‘𝑥)))
18		rnghmsubcsetc.h	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = ( RngHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))
19	18	oveqdr 7391	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥𝐻𝑥) = (𝑥( RngHom ↾ (𝐵 × 𝐵))𝑥))
20		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (RngCat‘𝑈) = (RngCat‘𝑈)
21		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(RngCat‘𝑈)) = (Base‘(RngCat‘𝑈))
22		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (Hom ‘(RngCat‘𝑈)) = (Hom ‘(RngCat‘𝑈))
23	20, 21, 12, 22	rngchomfval 20601	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Hom ‘(RngCat‘𝑈)) = ( RngHom ↾ ((Base‘(RngCat‘𝑈)) × (Base‘(RngCat‘𝑈)))))
24	20, 21, 12	rngcbas 20600	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (Base‘(RngCat‘𝑈)) = (𝑈 ∩ Rng))
25		incom 4145	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Rng ∩ 𝑈) = (𝑈 ∩ Rng)
26	1, 25	eqtrdi 2791	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝑈 ∩ Rng))
27	26	eqcomd 2746	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∩ Rng) = 𝐵)
28	24, 27	eqtrd 2775	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (Base‘(RngCat‘𝑈)) = 𝐵)
29	28	sqxpeqd 5657	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((Base‘(RngCat‘𝑈)) × (Base‘(RngCat‘𝑈))) = (𝐵 × 𝐵))
30	29	reseq2d 5938	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ( RngHom ↾ ((Base‘(RngCat‘𝑈)) × (Base‘(RngCat‘𝑈)))) = ( RngHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))
31	23, 30	eqtrd 2775	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Hom ‘(RngCat‘𝑈)) = ( RngHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))
32	31	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (Hom ‘(RngCat‘𝑈)) = ( RngHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))
33	32	eqcomd 2746	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ( RngHom ↾ (𝐵 × 𝐵)) = (Hom ‘(RngCat‘𝑈)))
34	33	oveqd 7380	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥( RngHom ↾ (𝐵 × 𝐵))𝑥) = (𝑥(Hom ‘(RngCat‘𝑈))𝑥))
35	26	eleq2d 2826	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ Rng)))
36	35	biimpa 477	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ Rng))
37	24	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (Base‘(RngCat‘𝑈)) = (𝑈 ∩ Rng))
38	36, 37	eleqtrrd 2843	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ (Base‘(RngCat‘𝑈)))
39	20, 21, 13, 22, 38, 38	rngchom 20602	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥(Hom ‘(RngCat‘𝑈))𝑥) = (𝑥 RngHom 𝑥))
40	19, 34, 39	3eqtrd 2779	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥𝐻𝑥) = (𝑥 RngHom 𝑥))
41	9, 17, 40	3eltr4d 2855	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((Id‘𝐶)‘𝑥) ∈ (𝑥𝐻𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ∩ cin 3889   I cid 5519   × cxp 5623   ↾ cres 5627  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  Basecbs 17177  Hom chom 17229  Idccid 17629  ExtStrCatcestrc 18086  Rngcrng 20131   RngHom crnghm 20412  RngCatcrngc 20595

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-tp 4567  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-er 8640  df-map 8772  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-4 12244  df-5 12245  df-6 12246  df-7 12247  df-8 12248  df-9 12249  df-n0 12436  df-z 12523  df-dec 12643  df-uz 12787  df-fz 13460  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17178  df-ress 17199  df-plusg 17231  df-hom 17242  df-cco 17243  df-cat 17632  df-cid 17633  df-resc 17776  df-estrc 18087  df-mgm 18606  df-mgmhm 18658  df-sgrp 18685  df-mnd 18701  df-grp 18910  df-ghm 19186  df-abl 19756  df-mgp 20120  df-rng 20132  df-rnghm 20414  df-rngc 20596

This theorem is referenced by:  rnghmsubcsetc  20612