Theorem rnghmsubcsetclem1 20631

Description: Lemma 1 for rnghmsubcsetc 20633. (Contributed by AV, 9-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
rnghmsubcsetc.c	⊢ 𝐶 = (ExtStrCat‘𝑈)
rnghmsubcsetc.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
rnghmsubcsetc.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Rng ∩ 𝑈))
rnghmsubcsetc.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 = ( RngHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))

Assertion

Ref	Expression
rnghmsubcsetclem1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((Id‘𝐶)‘𝑥) ∈ (𝑥𝐻𝑥))

Proof of Theorem rnghmsubcsetclem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rnghmsubcsetc.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Rng ∩ 𝑈))
2	1	eleq2d 2827	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑥 ∈ (Rng ∩ 𝑈)))
3		elin 3967	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (Rng ∩ 𝑈) ↔ (𝑥 ∈ Rng ∧ 𝑥 ∈ 𝑈))
4	3	simplbi 497	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (Rng ∩ 𝑈) → 𝑥 ∈ Rng)
5	2, 4	biimtrdi 253	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ Rng))
6	5	imp 406	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ Rng)
7		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑥) = (Base‘𝑥)
8	7	idrnghm 20458	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ Rng → ( I ↾ (Base‘𝑥)) ∈ (𝑥 RngHom 𝑥))
9	6, 8	syl 17	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ( I ↾ (Base‘𝑥)) ∈ (𝑥 RngHom 𝑥))
10		rnghmsubcsetc.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (ExtStrCat‘𝑈)
11		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Id‘𝐶) = (Id‘𝐶)
12		rnghmsubcsetc.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
13	12	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑈 ∈ 𝑉)
14	3	simprbi 496	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (Rng ∩ 𝑈) → 𝑥 ∈ 𝑈)
15	2, 14	biimtrdi 253	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ 𝑈))
16	15	imp 406	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝑈)
17	10, 11, 13, 16	estrcid 18178	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((Id‘𝐶)‘𝑥) = ( I ↾ (Base‘𝑥)))
18		rnghmsubcsetc.h	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = ( RngHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))
19	18	oveqdr 7459	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥𝐻𝑥) = (𝑥( RngHom ↾ (𝐵 × 𝐵))𝑥))
20		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (RngCat‘𝑈) = (RngCat‘𝑈)
21		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(RngCat‘𝑈)) = (Base‘(RngCat‘𝑈))
22		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (Hom ‘(RngCat‘𝑈)) = (Hom ‘(RngCat‘𝑈))
23	20, 21, 12, 22	rngchomfval 20622	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Hom ‘(RngCat‘𝑈)) = ( RngHom ↾ ((Base‘(RngCat‘𝑈)) × (Base‘(RngCat‘𝑈)))))
24	20, 21, 12	rngcbas 20621	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (Base‘(RngCat‘𝑈)) = (𝑈 ∩ Rng))
25		incom 4209	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Rng ∩ 𝑈) = (𝑈 ∩ Rng)
26	1, 25	eqtrdi 2793	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝑈 ∩ Rng))
27	26	eqcomd 2743	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∩ Rng) = 𝐵)
28	24, 27	eqtrd 2777	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (Base‘(RngCat‘𝑈)) = 𝐵)
29	28	sqxpeqd 5717	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((Base‘(RngCat‘𝑈)) × (Base‘(RngCat‘𝑈))) = (𝐵 × 𝐵))
30	29	reseq2d 5997	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ( RngHom ↾ ((Base‘(RngCat‘𝑈)) × (Base‘(RngCat‘𝑈)))) = ( RngHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))
31	23, 30	eqtrd 2777	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Hom ‘(RngCat‘𝑈)) = ( RngHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))
32	31	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (Hom ‘(RngCat‘𝑈)) = ( RngHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))
33	32	eqcomd 2743	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ( RngHom ↾ (𝐵 × 𝐵)) = (Hom ‘(RngCat‘𝑈)))
34	33	oveqd 7448	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥( RngHom ↾ (𝐵 × 𝐵))𝑥) = (𝑥(Hom ‘(RngCat‘𝑈))𝑥))
35	26	eleq2d 2827	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ Rng)))
36	35	biimpa 476	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ Rng))
37	24	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (Base‘(RngCat‘𝑈)) = (𝑈 ∩ Rng))
38	36, 37	eleqtrrd 2844	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ (Base‘(RngCat‘𝑈)))
39	20, 21, 13, 22, 38, 38	rngchom 20623	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥(Hom ‘(RngCat‘𝑈))𝑥) = (𝑥 RngHom 𝑥))
40	19, 34, 39	3eqtrd 2781	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥𝐻𝑥) = (𝑥 RngHom 𝑥))
41	9, 17, 40	3eltr4d 2856	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((Id‘𝐶)‘𝑥) ∈ (𝑥𝐻𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ∩ cin 3950   I cid 5577   × cxp 5683   ↾ cres 5687  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  Hom chom 17308  Idccid 17708  ExtStrCatcestrc 18166  Rngcrng 20149   RngHom crnghm 20434  RngCatcrngc 20616

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-hom 17321  df-cco 17322  df-cat 17711  df-cid 17712  df-resc 17855  df-estrc 18167  df-mgm 18653  df-mgmhm 18705  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-ghm 19231  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-rnghm 20436  df-rngc 20617

This theorem is referenced by:  rnghmsubcsetc  20633