Theorem funcestrcsetclem7 18212

Description: Lemma 7 for funcestrcsetc 18215. (Contributed by AV, 23-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
funcestrcsetc.e	⊢ 𝐸 = (ExtStrCat‘𝑈)
funcestrcsetc.s	⊢ 𝑆 = (SetCat‘𝑈)
funcestrcsetc.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐸)
funcestrcsetc.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)
funcestrcsetc.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
funcestrcsetc.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (Base‘𝑥)))
funcestrcsetc.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ( I ↾ ((Base‘𝑦) ↑m (Base‘𝑥)))))

Assertion

Ref	Expression
funcestrcsetclem7	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑋𝐺𝑋)‘((Id‘𝐸)‘𝑋)) = ((Id‘𝑆)‘(𝐹‘𝑋)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥   𝑥,𝐶   𝑦,𝐵,𝑥   𝑦,𝑋   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑦)   𝑆(𝑥, 𝑦)   𝑈(𝑥, 𝑦)   𝐸(𝑥, 𝑦)   𝐹(𝑥, 𝑦)   𝐺(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem funcestrcsetclem7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funcestrcsetc.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (ExtStrCat‘𝑈)
2		funcestrcsetc.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (SetCat‘𝑈)
3		funcestrcsetc.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐸)
4		funcestrcsetc.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)
5		funcestrcsetc.u	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
6		funcestrcsetc.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (Base‘𝑥)))
7		funcestrcsetc.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ( I ↾ ((Base‘𝑦) ↑m (Base‘𝑥)))))
8		eqid 2766	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑋) = (Base‘𝑋)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 8	funcestrcsetclem5 18210	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (𝑋𝐺𝑋) = ( I ↾ ((Base‘𝑋) ↑m (Base‘𝑋))))
10	9	anabsan2 687	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋𝐺𝑋) = ( I ↾ ((Base‘𝑋) ↑m (Base‘𝑋))))
11		eqid 2766	. . . 4 ⊢ (Id‘𝐸) = (Id‘𝐸)
12	5	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑈 ∈ WUni)
13	1, 5	estrcbas 18191	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Base‘𝐸))
14	3, 13	eqtr4id 2820	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝑈)
15	14	eleq2d 2852	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐵 ↔ 𝑋 ∈ 𝑈))
16	15	biimpa 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝑈)
17	1, 11, 12, 16	estrcid 18200	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((Id‘𝐸)‘𝑋) = ( I ↾ (Base‘𝑋)))
18	10, 17	fveq12d 6892	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑋𝐺𝑋)‘((Id‘𝐸)‘𝑋)) = (( I ↾ ((Base‘𝑋) ↑m (Base‘𝑋)))‘( I ↾ (Base‘𝑋))))
19		fvex 6898	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑋) ∈ V
20	19, 19	pm3.2i 476	. . . 4 ⊢ ((Base‘𝑋) ∈ V ∧ (Base‘𝑋) ∈ V)
21	20	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((Base‘𝑋) ∈ V ∧ (Base‘𝑋) ∈ V))
22		f1oi 6863	. . . . 5 ⊢ ( I ↾ (Base‘𝑋)):(Base‘𝑋)–1-1-onto→(Base‘𝑋)
23		f1of 6824	. . . . 5 ⊢ (( I ↾ (Base‘𝑋)):(Base‘𝑋)–1-1-onto→(Base‘𝑋) → ( I ↾ (Base‘𝑋)):(Base‘𝑋)⟶(Base‘𝑋))
24	22, 23	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ( I ↾ (Base‘𝑋)):(Base‘𝑋)⟶(Base‘𝑋)
25		elmapg 8838	. . . 4 ⊢ (((Base‘𝑋) ∈ V ∧ (Base‘𝑋) ∈ V) → (( I ↾ (Base‘𝑋)) ∈ ((Base‘𝑋) ↑m (Base‘𝑋)) ↔ ( I ↾ (Base‘𝑋)):(Base‘𝑋)⟶(Base‘𝑋)))
26	24, 25	mpbiri 261	. . 3 ⊢ (((Base‘𝑋) ∈ V ∧ (Base‘𝑋) ∈ V) → ( I ↾ (Base‘𝑋)) ∈ ((Base‘𝑋) ↑m (Base‘𝑋)))
27		fvresi 7175	. . 3 ⊢ (( I ↾ (Base‘𝑋)) ∈ ((Base‘𝑋) ↑m (Base‘𝑋)) → (( I ↾ ((Base‘𝑋) ↑m (Base‘𝑋)))‘( I ↾ (Base‘𝑋))) = ( I ↾ (Base‘𝑋)))
28	21, 26, 27	3syl 19	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (( I ↾ ((Base‘𝑋) ↑m (Base‘𝑋)))‘( I ↾ (Base‘𝑋))) = ( I ↾ (Base‘𝑋)))
29	1, 2, 3, 4, 5, 6	funcestrcsetclem1 18206	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑋) = (Base‘𝑋))
30	29	fveq2d 6889	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((Id‘𝑆)‘(𝐹‘𝑋)) = ((Id‘𝑆)‘(Base‘𝑋)))
31		eqid 2766	. . . 4 ⊢ (Id‘𝑆) = (Id‘𝑆)
32	1, 3, 5	estrcbasbas 18197	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (Base‘𝑋) ∈ 𝑈)
33	2, 31, 12, 32	setcid 18153	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((Id‘𝑆)‘(Base‘𝑋)) = ( I ↾ (Base‘𝑋)))
34	30, 33	eqtr2d 2802	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( I ↾ (Base‘𝑋)) = ((Id‘𝑆)‘(𝐹‘𝑋)))
35	18, 28, 34	3eqtrd 2805	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑋𝐺𝑋)‘((Id‘𝐸)‘𝑋)) = ((Id‘𝑆)‘(𝐹‘𝑋)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  Vcvv 3458   ↦ cmpt 5195   I cid 5558   ↾ cres 5666  ⟶wf 6536  –1-1-onto→wf1o 6539  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416   ∈ cmpo 7418   ↑_m cmap 8826  WUnicwun 10695  Basecbs 17279  Idccid 17731  SetCatcsetc 18142  ExtStrCatcestrc 18188

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5241  ax-sep 5260  ax-nul 5272  ax-pow 5339  ax-pr 5407  ax-un 7738  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4876  df-iun 4961  df-br 5113  df-opab 5177  df-mpt 5196  df-tr 5222  df-id 5559  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5670  df-rel 5671  df-cnv 5672  df-co 5673  df-dm 5674  df-rn 5675  df-res 5676  df-ima 5677  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-er 8696  df-map 8828  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-wun 10697  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12244  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12515  df-z 12602  df-dec 12722  df-uz 12873  df-fz 13546  df-struct 17217  df-slot 17252  df-ndx 17264  df-base 17280  df-hom 17344  df-cco 17345  df-cat 17734  df-cid 17735  df-setc 18143  df-estrc 18189

This theorem is used by:  funcestrcsetc  18215