Theorem funcestrcsetclem7 18240

Description: Lemma 7 for funcestrcsetc 18243. (Contributed by AV, 23-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
funcestrcsetc.e	⊢ 𝐸 = (ExtStrCat‘𝑈)
funcestrcsetc.s	⊢ 𝑆 = (SetCat‘𝑈)
funcestrcsetc.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐸)
funcestrcsetc.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)
funcestrcsetc.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
funcestrcsetc.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (Base‘𝑥)))
funcestrcsetc.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ( I ↾ ((Base‘𝑦) ↑m (Base‘𝑥)))))

Assertion

Ref	Expression
funcestrcsetclem7	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑋𝐺𝑋)‘((Id‘𝐸)‘𝑋)) = ((Id‘𝑆)‘(𝐹‘𝑋)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥   𝑥,𝐶   𝑦,𝐵,𝑥   𝑦,𝑋   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑦)   𝑆(𝑥, 𝑦)   𝑈(𝑥, 𝑦)   𝐸(𝑥, 𝑦)   𝐹(𝑥, 𝑦)   𝐺(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem funcestrcsetclem7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funcestrcsetc.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (ExtStrCat‘𝑈)
2		funcestrcsetc.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (SetCat‘𝑈)
3		funcestrcsetc.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐸)
4		funcestrcsetc.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)
5		funcestrcsetc.u	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
6		funcestrcsetc.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (Base‘𝑥)))
7		funcestrcsetc.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ( I ↾ ((Base‘𝑦) ↑m (Base‘𝑥)))))
8		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑋) = (Base‘𝑋)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 8	funcestrcsetclem5 18238	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (𝑋𝐺𝑋) = ( I ↾ ((Base‘𝑋) ↑m (Base‘𝑋))))
10	9	anabsan2 687	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋𝐺𝑋) = ( I ↾ ((Base‘𝑋) ↑m (Base‘𝑋))))
11		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (Id‘𝐸) = (Id‘𝐸)
12	5	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑈 ∈ WUni)
13	1, 5	estrcbas 18219	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Base‘𝐸))
14	3, 13	eqtr4id 2816	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝑈)
15	14	eleq2d 2848	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐵 ↔ 𝑋 ∈ 𝑈))
16	15	biimpa 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝑈)
17	1, 11, 12, 16	estrcid 18228	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((Id‘𝐸)‘𝑋) = ( I ↾ (Base‘𝑋)))
18	10, 17	fveq12d 6889	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑋𝐺𝑋)‘((Id‘𝐸)‘𝑋)) = (( I ↾ ((Base‘𝑋) ↑m (Base‘𝑋)))‘( I ↾ (Base‘𝑋))))
19		fvex 6895	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑋) ∈ V
20	19, 19	pm3.2i 476	. . . 4 ⊢ ((Base‘𝑋) ∈ V ∧ (Base‘𝑋) ∈ V)
21	20	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((Base‘𝑋) ∈ V ∧ (Base‘𝑋) ∈ V))
22		f1oi 6860	. . . . 5 ⊢ ( I ↾ (Base‘𝑋)):(Base‘𝑋)–1-1-onto→(Base‘𝑋)
23		f1of 6821	. . . . 5 ⊢ (( I ↾ (Base‘𝑋)):(Base‘𝑋)–1-1-onto→(Base‘𝑋) → ( I ↾ (Base‘𝑋)):(Base‘𝑋)⟶(Base‘𝑋))
24	22, 23	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ( I ↾ (Base‘𝑋)):(Base‘𝑋)⟶(Base‘𝑋)
25		elmapg 8842	. . . 4 ⊢ (((Base‘𝑋) ∈ V ∧ (Base‘𝑋) ∈ V) → (( I ↾ (Base‘𝑋)) ∈ ((Base‘𝑋) ↑m (Base‘𝑋)) ↔ ( I ↾ (Base‘𝑋)):(Base‘𝑋)⟶(Base‘𝑋)))
26	24, 25	mpbiri 261	. . 3 ⊢ (((Base‘𝑋) ∈ V ∧ (Base‘𝑋) ∈ V) → ( I ↾ (Base‘𝑋)) ∈ ((Base‘𝑋) ↑m (Base‘𝑋)))
27		fvresi 7175	. . 3 ⊢ (( I ↾ (Base‘𝑋)) ∈ ((Base‘𝑋) ↑m (Base‘𝑋)) → (( I ↾ ((Base‘𝑋) ↑m (Base‘𝑋)))‘( I ↾ (Base‘𝑋))) = ( I ↾ (Base‘𝑋)))
28	21, 26, 27	3syl 19	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (( I ↾ ((Base‘𝑋) ↑m (Base‘𝑋)))‘( I ↾ (Base‘𝑋))) = ( I ↾ (Base‘𝑋)))
29	1, 2, 3, 4, 5, 6	funcestrcsetclem1 18234	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑋) = (Base‘𝑋))
30	29	fveq2d 6886	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((Id‘𝑆)‘(𝐹‘𝑋)) = ((Id‘𝑆)‘(Base‘𝑋)))
31		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (Id‘𝑆) = (Id‘𝑆)
32	1, 3, 5	estrcbasbas 18225	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (Base‘𝑋) ∈ 𝑈)
33	2, 31, 12, 32	setcid 18181	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((Id‘𝑆)‘(Base‘𝑋)) = ( I ↾ (Base‘𝑋)))
34	30, 33	eqtr2d 2798	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( I ↾ (Base‘𝑋)) = ((Id‘𝑆)‘(𝐹‘𝑋)))
35	18, 28, 34	3eqtrd 2801	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑋𝐺𝑋)‘((Id‘𝐸)‘𝑋)) = ((Id‘𝑆)‘(𝐹‘𝑋)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3453   ↦ cmpt 5190   I cid 5553   ↾ cres 5661  ⟶wf 6533  –1-1-onto→wf1o 6536  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417   ∈ cmpo 7419   ↑_m cmap 8830  WUnicwun 10713  Basecbs 17307  Idccid 17759  SetCatcsetc 18170  ExtStrCatcestrc 18216

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-map 8832  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-wun 10715  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-4 12333  df-5 12334  df-6 12335  df-7 12336  df-8 12337  df-9 12338  df-n0 12533  df-z 12620  df-dec 12741  df-uz 12892  df-fz 13566  df-struct 17245  df-slot 17280  df-ndx 17292  df-base 17308  df-hom 17372  df-cco 17373  df-cat 17762  df-cid 17763  df-setc 18171  df-estrc 18217

This theorem is used by:  funcestrcsetc  18243