Theorem funcestrcsetclem7 18349

Description: Lemma 7 for funcestrcsetc 18352. (Contributed by AV, 23-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
funcestrcsetc.e	⊢ 𝐸 = (ExtStrCat‘𝑈)
funcestrcsetc.s	⊢ 𝑆 = (SetCat‘𝑈)
funcestrcsetc.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐸)
funcestrcsetc.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)
funcestrcsetc.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
funcestrcsetc.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (Base‘𝑥)))
funcestrcsetc.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ( I ↾ ((Base‘𝑦) ↑m (Base‘𝑥)))))

Assertion

Ref	Expression
funcestrcsetclem7	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑋𝐺𝑋)‘((Id‘𝐸)‘𝑋)) = ((Id‘𝑆)‘(𝐹‘𝑋)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥   𝑥,𝐶   𝑦,𝐵,𝑥   𝑦,𝑋   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑦)   𝑆(𝑥, 𝑦)   𝑈(𝑥, 𝑦)   𝐸(𝑥, 𝑦)   𝐹(𝑥, 𝑦)   𝐺(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem funcestrcsetclem7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funcestrcsetc.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (ExtStrCat‘𝑈)
2		funcestrcsetc.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (SetCat‘𝑈)
3		funcestrcsetc.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐸)
4		funcestrcsetc.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)
5		funcestrcsetc.u	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
6		funcestrcsetc.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (Base‘𝑥)))
7		funcestrcsetc.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐵, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ( I ↾ ((Base‘𝑦) ↑m (Base‘𝑥)))))
8		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑋) = (Base‘𝑋)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 8	funcestrcsetclem5 18347	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (𝑋𝐺𝑋) = ( I ↾ ((Base‘𝑋) ↑m (Base‘𝑋))))
10	9	anabsan2 687	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋𝐺𝑋) = ( I ↾ ((Base‘𝑋) ↑m (Base‘𝑋))))
11		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Id‘𝐸) = (Id‘𝐸)
12	5	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑈 ∈ WUni)
13	1, 5	estrcbas 18328	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Base‘𝐸))
14	3, 13	eqtr4id 2817	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝑈)
15	14	eleq2d 2850	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐵 ↔ 𝑋 ∈ 𝑈))
16	15	biimpa 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝑈)
17	1, 11, 12, 16	estrcid 18337	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((Id‘𝐸)‘𝑋) = ( I ↾ (Base‘𝑋)))
18	10, 17	fveq12d 6915	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑋𝐺𝑋)‘((Id‘𝐸)‘𝑋)) = (( I ↾ ((Base‘𝑋) ↑m (Base‘𝑋)))‘( I ↾ (Base‘𝑋))))
19		fvex 6921	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑋) ∈ V
20	19, 19	pm3.2i 476	. . . 4 ⊢ ((Base‘𝑋) ∈ V ∧ (Base‘𝑋) ∈ V)
21	20	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((Base‘𝑋) ∈ V ∧ (Base‘𝑋) ∈ V))
22		f1oi 6886	. . . . 5 ⊢ ( I ↾ (Base‘𝑋)):(Base‘𝑋)⟶1-1onto(Base‘𝑋)
23		f1of 6846	. . . . 5 ⊢ (( I ↾ (Base‘𝑋)):(Base‘𝑋)⟶1-1onto(Base‘𝑋) → ( I ↾ (Base‘𝑋)):(Base‘𝑋)⟶(Base‘𝑋))
24	22, 23	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ( I ↾ (Base‘𝑋)):(Base‘𝑋)⟶(Base‘𝑋)
25		elmapg 8887	. . . 4 ⊢ (((Base‘𝑋) ∈ V ∧ (Base‘𝑋) ∈ V) → (( I ↾ (Base‘𝑋)) ∈ ((Base‘𝑋) ↑m (Base‘𝑋)) ↔ ( I ↾ (Base‘𝑋)):(Base‘𝑋)⟶(Base‘𝑋)))
26	24, 25	mpbiri 261	. . 3 ⊢ (((Base‘𝑋) ∈ V ∧ (Base‘𝑋) ∈ V) → ( I ↾ (Base‘𝑋)) ∈ ((Base‘𝑋) ↑m (Base‘𝑋)))
27		fvresi 7201	. . 3 ⊢ (( I ↾ (Base‘𝑋)) ∈ ((Base‘𝑋) ↑m (Base‘𝑋)) → (( I ↾ ((Base‘𝑋) ↑m (Base‘𝑋)))‘( I ↾ (Base‘𝑋))) = ( I ↾ (Base‘𝑋)))
28	21, 26, 27	3syl 19	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (( I ↾ ((Base‘𝑋) ↑m (Base‘𝑋)))‘( I ↾ (Base‘𝑋))) = ( I ↾ (Base‘𝑋)))
29	1, 2, 3, 4, 5, 6	funcestrcsetclem1 18343	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑋) = (Base‘𝑋))
30	29	fveq2d 6912	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((Id‘𝑆)‘(𝐹‘𝑋)) = ((Id‘𝑆)‘(Base‘𝑋)))
31		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Id‘𝑆) = (Id‘𝑆)
32	1, 3, 5	estrcbasbas 18334	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (Base‘𝑋) ∈ 𝑈)
33	2, 31, 12, 32	setcid 18290	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((Id‘𝑆)‘(Base‘𝑋)) = ( I ↾ (Base‘𝑋)))
34	30, 33	eqtr2d 2799	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( I ↾ (Base‘𝑋)) = ((Id‘𝑆)‘(𝐹‘𝑋)))
35	18, 28, 34	3eqtrd 2802	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑋𝐺𝑋)‘((Id‘𝐸)‘𝑋)) = ((Id‘𝑆)‘(𝐹‘𝑋)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454   ↦ cmpt 5189   I cid 5549   ↾ cres 5657  ⟶wf 6554  ⟶1-1ontowf1o 6557  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443   ∈ cmpo 7445   ↑_m cmap 8875  WUnicwun 10812  Basecbs 17416  Idccid 17868  SetCatcsetc 18279  ExtStrCatcestrc 18325

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-er 8745  df-map 8877  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-wun 10814  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-4 12434  df-5 12435  df-6 12436  df-7 12437  df-8 12438  df-9 12439  df-n0 12634  df-z 12721  df-dec 12842  df-uz 12993  df-fz 13667  df-struct 17354  df-slot 17389  df-ndx 17401  df-base 17417  df-hom 17481  df-cco 17482  df-cat 17871  df-cid 17872  df-setc 18280  df-estrc 18326

This theorem is used by:  funcestrcsetc  18352