Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rngcid Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem rngcid 46965
Description: The identity arrow in the category of non-unital rings is the identity function. (Contributed by AV, 27-Feb-2020.) (Revised by AV, 10-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
rngccat.c 𝐢 = (RngCatβ€˜π‘ˆ)
rngcid.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΆ)
rngcid.o 1 = (Idβ€˜πΆ)
rngcid.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
rngcid.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
rngcid.s 𝑆 = (Baseβ€˜π‘‹)
Assertion
Ref Expression
rngcid (πœ‘ β†’ ( 1 β€˜π‘‹) = ( I β†Ύ 𝑆))
Proof of Theorem rngcid
StepHypRef Expression
1 rngcid.o . . . 4 1 = (Idβ€˜πΆ)
2 rngccat.c . . . . . 6 𝐢 = (RngCatβ€˜π‘ˆ)
3 rngcid.u . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
4 eqidd 2731 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ ∩ Rng) = (π‘ˆ ∩ Rng))
5 eqidd 2731 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ( RngHom β†Ύ ((π‘ˆ ∩ Rng) Γ— (π‘ˆ ∩ Rng))) = ( RngHom β†Ύ ((π‘ˆ ∩ Rng) Γ— (π‘ˆ ∩ Rng))))
62, 3, 4, 5rngcval 46948 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐢 = ((ExtStrCatβ€˜π‘ˆ) β†Ύcat ( RngHom β†Ύ ((π‘ˆ ∩ Rng) Γ— (π‘ˆ ∩ Rng)))))
76fveq2d 6894 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Idβ€˜πΆ) = (Idβ€˜((ExtStrCatβ€˜π‘ˆ) β†Ύcat ( RngHom β†Ύ ((π‘ˆ ∩ Rng) Γ— (π‘ˆ ∩ Rng))))))
81, 7eqtrid 2782 . . 3 (πœ‘ β†’ 1 = (Idβ€˜((ExtStrCatβ€˜π‘ˆ) β†Ύcat ( RngHom β†Ύ ((π‘ˆ ∩ Rng) Γ— (π‘ˆ ∩ Rng))))))
98fveq1d 6892 . 2 (πœ‘ β†’ ( 1 β€˜π‘‹) = ((Idβ€˜((ExtStrCatβ€˜π‘ˆ) β†Ύcat ( RngHom β†Ύ ((π‘ˆ ∩ Rng) Γ— (π‘ˆ ∩ Rng)))))β€˜π‘‹))
10 eqid 2730 . . 3 ((ExtStrCatβ€˜π‘ˆ) β†Ύcat ( RngHom β†Ύ ((π‘ˆ ∩ Rng) Γ— (π‘ˆ ∩ Rng)))) = ((ExtStrCatβ€˜π‘ˆ) β†Ύcat ( RngHom β†Ύ ((π‘ˆ ∩ Rng) Γ— (π‘ˆ ∩ Rng))))
11 eqid 2730 . . . 4 (ExtStrCatβ€˜π‘ˆ) = (ExtStrCatβ€˜π‘ˆ)
12 incom 4200 . . . . 5 (π‘ˆ ∩ Rng) = (Rng ∩ π‘ˆ)
1312a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ ∩ Rng) = (Rng ∩ π‘ˆ))
1411, 3, 13, 5rnghmsubcsetc 46963 . . 3 (πœ‘ β†’ ( RngHom β†Ύ ((π‘ˆ ∩ Rng) Γ— (π‘ˆ ∩ Rng))) ∈ (Subcatβ€˜(ExtStrCatβ€˜π‘ˆ)))
154, 5rnghmresfn 46949 . . 3 (πœ‘ β†’ ( RngHom β†Ύ ((π‘ˆ ∩ Rng) Γ— (π‘ˆ ∩ Rng))) Fn ((π‘ˆ ∩ Rng) Γ— (π‘ˆ ∩ Rng)))
16 eqid 2730 . . 3 (Idβ€˜(ExtStrCatβ€˜π‘ˆ)) = (Idβ€˜(ExtStrCatβ€˜π‘ˆ))
17 rngcid.x . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
18 rngcid.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜πΆ)
192, 18, 3rngcbas 46951 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (π‘ˆ ∩ Rng))
2019eleq2d 2817 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ 𝐡 ↔ 𝑋 ∈ (π‘ˆ ∩ Rng)))
2117, 20mpbid 231 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (π‘ˆ ∩ Rng))
2210, 14, 15, 16, 21subcid 17801 . 2 (πœ‘ β†’ ((Idβ€˜(ExtStrCatβ€˜π‘ˆ))β€˜π‘‹) = ((Idβ€˜((ExtStrCatβ€˜π‘ˆ) β†Ύcat ( RngHom β†Ύ ((π‘ˆ ∩ Rng) Γ— (π‘ˆ ∩ Rng)))))β€˜π‘‹))
23 elinel1 4194 . . . . . 6 (𝑋 ∈ (π‘ˆ ∩ Rng) β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ)
2420, 23syl6bi 252 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ 𝐡 β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ))
2517, 24mpd 15 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ)
2611, 16, 3, 25estrcid 18089 . . 3 (πœ‘ β†’ ((Idβ€˜(ExtStrCatβ€˜π‘ˆ))β€˜π‘‹) = ( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘‹)))
27 rngcid.s . . . . . 6 𝑆 = (Baseβ€˜π‘‹)
2827eqcomi 2739 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘‹) = 𝑆
2928a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π‘‹) = 𝑆)
3029reseq2d 5980 . . 3 (πœ‘ β†’ ( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘‹)) = ( I β†Ύ 𝑆))
3126, 30eqtrd 2770 . 2 (πœ‘ β†’ ((Idβ€˜(ExtStrCatβ€˜π‘ˆ))β€˜π‘‹) = ( I β†Ύ 𝑆))
329, 22, 313eqtr2d 2776 1 (πœ‘ β†’ ( 1 β€˜π‘‹) = ( I β†Ύ 𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   ∩ cin 3946   I cid 5572   Γ— cxp 5673   β†Ύ cres 5677  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  Basecbs 17148  Idccid 17613   β†Ύcat cresc 17759  ExtStrCatcestrc 18077  Rngcrng 20046   RngHom crnghm 20325  RngCatcrngc 46943
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13489  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-hom 17225  df-cco 17226  df-0g 17391  df-cat 17616  df-cid 17617  df-homf 17618  df-ssc 17761  df-resc 17762  df-subc 17763  df-estrc 18078  df-mgm 18565  df-mgmhm 18617  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mhm 18705  df-grp 18858  df-ghm 19128  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-rnghm 20327  df-rngc 46945
This theorem is referenced by:  rngcsect  46966  rhmsubcrngclem1  47013  rhmsubclem3  47074
  Copyright terms: Public domain W3C validator