Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rngcid Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem rngcid 46430
Description: The identity arrow in the category of non-unital rings is the identity function. (Contributed by AV, 27-Feb-2020.) (Revised by AV, 10-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
rngccat.c 𝐢 = (RngCatβ€˜π‘ˆ)
rngcid.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΆ)
rngcid.o 1 = (Idβ€˜πΆ)
rngcid.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
rngcid.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
rngcid.s 𝑆 = (Baseβ€˜π‘‹)
Assertion
Ref Expression
rngcid (πœ‘ β†’ ( 1 β€˜π‘‹) = ( I β†Ύ 𝑆))
Proof of Theorem rngcid
StepHypRef Expression
1 rngcid.o . . . 4 1 = (Idβ€˜πΆ)
2 rngccat.c . . . . . 6 𝐢 = (RngCatβ€˜π‘ˆ)
3 rngcid.u . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
4 eqidd 2732 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ ∩ Rng) = (π‘ˆ ∩ Rng))
5 eqidd 2732 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ( RngHomo β†Ύ ((π‘ˆ ∩ Rng) Γ— (π‘ˆ ∩ Rng))) = ( RngHomo β†Ύ ((π‘ˆ ∩ Rng) Γ— (π‘ˆ ∩ Rng))))
62, 3, 4, 5rngcval 46413 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐢 = ((ExtStrCatβ€˜π‘ˆ) β†Ύcat ( RngHomo β†Ύ ((π‘ˆ ∩ Rng) Γ— (π‘ˆ ∩ Rng)))))
76fveq2d 6866 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Idβ€˜πΆ) = (Idβ€˜((ExtStrCatβ€˜π‘ˆ) β†Ύcat ( RngHomo β†Ύ ((π‘ˆ ∩ Rng) Γ— (π‘ˆ ∩ Rng))))))
81, 7eqtrid 2783 . . 3 (πœ‘ β†’ 1 = (Idβ€˜((ExtStrCatβ€˜π‘ˆ) β†Ύcat ( RngHomo β†Ύ ((π‘ˆ ∩ Rng) Γ— (π‘ˆ ∩ Rng))))))
98fveq1d 6864 . 2 (πœ‘ β†’ ( 1 β€˜π‘‹) = ((Idβ€˜((ExtStrCatβ€˜π‘ˆ) β†Ύcat ( RngHomo β†Ύ ((π‘ˆ ∩ Rng) Γ— (π‘ˆ ∩ Rng)))))β€˜π‘‹))
10 eqid 2731 . . 3 ((ExtStrCatβ€˜π‘ˆ) β†Ύcat ( RngHomo β†Ύ ((π‘ˆ ∩ Rng) Γ— (π‘ˆ ∩ Rng)))) = ((ExtStrCatβ€˜π‘ˆ) β†Ύcat ( RngHomo β†Ύ ((π‘ˆ ∩ Rng) Γ— (π‘ˆ ∩ Rng))))
11 eqid 2731 . . . 4 (ExtStrCatβ€˜π‘ˆ) = (ExtStrCatβ€˜π‘ˆ)
12 incom 4181 . . . . 5 (π‘ˆ ∩ Rng) = (Rng ∩ π‘ˆ)
1312a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ ∩ Rng) = (Rng ∩ π‘ˆ))
1411, 3, 13, 5rnghmsubcsetc 46428 . . 3 (πœ‘ β†’ ( RngHomo β†Ύ ((π‘ˆ ∩ Rng) Γ— (π‘ˆ ∩ Rng))) ∈ (Subcatβ€˜(ExtStrCatβ€˜π‘ˆ)))
154, 5rnghmresfn 46414 . . 3 (πœ‘ β†’ ( RngHomo β†Ύ ((π‘ˆ ∩ Rng) Γ— (π‘ˆ ∩ Rng))) Fn ((π‘ˆ ∩ Rng) Γ— (π‘ˆ ∩ Rng)))
16 eqid 2731 . . 3 (Idβ€˜(ExtStrCatβ€˜π‘ˆ)) = (Idβ€˜(ExtStrCatβ€˜π‘ˆ))
17 rngcid.x . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
18 rngcid.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜πΆ)
192, 18, 3rngcbas 46416 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (π‘ˆ ∩ Rng))
2019eleq2d 2818 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ 𝐡 ↔ 𝑋 ∈ (π‘ˆ ∩ Rng)))
2117, 20mpbid 231 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (π‘ˆ ∩ Rng))
2210, 14, 15, 16, 21subcid 17762 . 2 (πœ‘ β†’ ((Idβ€˜(ExtStrCatβ€˜π‘ˆ))β€˜π‘‹) = ((Idβ€˜((ExtStrCatβ€˜π‘ˆ) β†Ύcat ( RngHomo β†Ύ ((π‘ˆ ∩ Rng) Γ— (π‘ˆ ∩ Rng)))))β€˜π‘‹))
23 elinel1 4175 . . . . . 6 (𝑋 ∈ (π‘ˆ ∩ Rng) β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ)
2420, 23syl6bi 252 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ 𝐡 β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ))
2517, 24mpd 15 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ)
2611, 16, 3, 25estrcid 18050 . . 3 (πœ‘ β†’ ((Idβ€˜(ExtStrCatβ€˜π‘ˆ))β€˜π‘‹) = ( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘‹)))
27 rngcid.s . . . . . 6 𝑆 = (Baseβ€˜π‘‹)
2827eqcomi 2740 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘‹) = 𝑆
2928a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π‘‹) = 𝑆)
3029reseq2d 5957 . . 3 (πœ‘ β†’ ( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘‹)) = ( I β†Ύ 𝑆))
3126, 30eqtrd 2771 . 2 (πœ‘ β†’ ((Idβ€˜(ExtStrCatβ€˜π‘ˆ))β€˜π‘‹) = ( I β†Ύ 𝑆))
329, 22, 313eqtr2d 2777 1 (πœ‘ β†’ ( 1 β€˜π‘‹) = ( I β†Ύ 𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ∩ cin 3927   I cid 5550   Γ— cxp 5651   β†Ύ cres 5655  β€˜cfv 6516  (class class class)co 7377  Basecbs 17109  Idccid 17574   β†Ύcat cresc 17720  ExtStrCatcestrc 18038  Rngcrng 46325   RngHomo crngh 46336  RngCatcrngc 46408
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5262  ax-sep 5276  ax-nul 5283  ax-pow 5340  ax-pr 5404  ax-un 7692  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3419  df-v 3461  df-sbc 3758  df-csb 3874  df-dif 3931  df-un 3933  df-in 3935  df-ss 3945  df-pss 3947  df-nul 4303  df-if 4507  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4886  df-iun 4976  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5209  df-tr 5243  df-id 5551  df-eprel 5557  df-po 5565  df-so 5566  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5659  df-rel 5660  df-cnv 5661  df-co 5662  df-dm 5663  df-rn 5664  df-res 5665  df-ima 5666  df-pred 6273  df-ord 6340  df-on 6341  df-lim 6342  df-suc 6343  df-iota 6468  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7333  df-ov 7380  df-oprab 7381  df-mpo 7382  df-om 7823  df-1st 7941  df-2nd 7942  df-frecs 8232  df-wrecs 8263  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-er 8670  df-map 8789  df-pm 8790  df-ixp 8858  df-en 8906  df-dom 8907  df-sdom 8908  df-fin 8909  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11411  df-neg 11412  df-nn 12178  df-2 12240  df-3 12241  df-4 12242  df-5 12243  df-6 12244  df-7 12245  df-8 12246  df-9 12247  df-n0 12438  df-z 12524  df-dec 12643  df-uz 12788  df-fz 13450  df-struct 17045  df-sets 17062  df-slot 17080  df-ndx 17092  df-base 17110  df-ress 17139  df-plusg 17175  df-hom 17186  df-cco 17187  df-0g 17352  df-cat 17577  df-cid 17578  df-homf 17579  df-ssc 17722  df-resc 17723  df-subc 17724  df-estrc 18039  df-mgm 18526  df-sgrp 18575  df-mnd 18586  df-mhm 18630  df-grp 18780  df-ghm 19035  df-abl 19594  df-mgp 19926  df-mgmhm 46226  df-rng 46326  df-rnghomo 46338  df-rngc 46410
This theorem is referenced by:  rngcsect  46431  rhmsubcrngclem1  46478  rhmsubclem3  46539
  Copyright terms: Public domain W3C validator