Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rngcid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rngcid 43639
Description: The identity arrow in the category of non-unital rings is the identity function. (Contributed by AV, 27-Feb-2020.) (Revised by AV, 10-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
rngccat.c 𝐶 = (RngCat‘𝑈)
rngcid.b 𝐵 = (Base‘𝐶)
rngcid.o 1 = (Id‘𝐶)
rngcid.u (𝜑𝑈𝑉)
rngcid.x (𝜑𝑋𝐵)
rngcid.s 𝑆 = (Base‘𝑋)
Assertion
Ref Expression
rngcid (𝜑 → ( 1𝑋) = ( I ↾ 𝑆))

Proof of Theorem rngcid
StepHypRef Expression
1 rngcid.o . . . 4 1 = (Id‘𝐶)
2 rngccat.c . . . . . 6 𝐶 = (RngCat‘𝑈)
3 rngcid.u . . . . . 6 (𝜑𝑈𝑉)
4 eqidd 2773 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑈 ∩ Rng) = (𝑈 ∩ Rng))
5 eqidd 2773 . . . . . 6 (𝜑 → ( RngHomo ↾ ((𝑈 ∩ Rng) × (𝑈 ∩ Rng))) = ( RngHomo ↾ ((𝑈 ∩ Rng) × (𝑈 ∩ Rng))))
62, 3, 4, 5rngcval 43622 . . . . 5 (𝜑𝐶 = ((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RngHomo ↾ ((𝑈 ∩ Rng) × (𝑈 ∩ Rng)))))
76fveq2d 6500 . . . 4 (𝜑 → (Id‘𝐶) = (Id‘((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RngHomo ↾ ((𝑈 ∩ Rng) × (𝑈 ∩ Rng))))))
81, 7syl5eq 2820 . . 3 (𝜑1 = (Id‘((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RngHomo ↾ ((𝑈 ∩ Rng) × (𝑈 ∩ Rng))))))
98fveq1d 6498 . 2 (𝜑 → ( 1𝑋) = ((Id‘((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RngHomo ↾ ((𝑈 ∩ Rng) × (𝑈 ∩ Rng)))))‘𝑋))
10 eqid 2772 . . 3 ((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RngHomo ↾ ((𝑈 ∩ Rng) × (𝑈 ∩ Rng)))) = ((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RngHomo ↾ ((𝑈 ∩ Rng) × (𝑈 ∩ Rng))))
11 eqid 2772 . . . 4 (ExtStrCat‘𝑈) = (ExtStrCat‘𝑈)
12 incom 4060 . . . . 5 (𝑈 ∩ Rng) = (Rng ∩ 𝑈)
1312a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝑈 ∩ Rng) = (Rng ∩ 𝑈))
1411, 3, 13, 5rnghmsubcsetc 43637 . . 3 (𝜑 → ( RngHomo ↾ ((𝑈 ∩ Rng) × (𝑈 ∩ Rng))) ∈ (Subcat‘(ExtStrCat‘𝑈)))
154, 5rnghmresfn 43623 . . 3 (𝜑 → ( RngHomo ↾ ((𝑈 ∩ Rng) × (𝑈 ∩ Rng))) Fn ((𝑈 ∩ Rng) × (𝑈 ∩ Rng)))
16 eqid 2772 . . 3 (Id‘(ExtStrCat‘𝑈)) = (Id‘(ExtStrCat‘𝑈))
17 rngcid.x . . . 4 (𝜑𝑋𝐵)
18 rngcid.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐶)
192, 18, 3rngcbas 43625 . . . . 5 (𝜑𝐵 = (𝑈 ∩ Rng))
2019eleq2d 2845 . . . 4 (𝜑 → (𝑋𝐵𝑋 ∈ (𝑈 ∩ Rng)))
2117, 20mpbid 224 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ (𝑈 ∩ Rng))
2210, 14, 15, 16, 21subcid 16987 . 2 (𝜑 → ((Id‘(ExtStrCat‘𝑈))‘𝑋) = ((Id‘((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RngHomo ↾ ((𝑈 ∩ Rng) × (𝑈 ∩ Rng)))))‘𝑋))
23 elinel1 4054 . . . . . 6 (𝑋 ∈ (𝑈 ∩ Rng) → 𝑋𝑈)
2420, 23syl6bi 245 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋𝐵𝑋𝑈))
2517, 24mpd 15 . . . 4 (𝜑𝑋𝑈)
2611, 16, 3, 25estrcid 17254 . . 3 (𝜑 → ((Id‘(ExtStrCat‘𝑈))‘𝑋) = ( I ↾ (Base‘𝑋)))
27 rngcid.s . . . . . 6 𝑆 = (Base‘𝑋)
2827eqcomi 2781 . . . . 5 (Base‘𝑋) = 𝑆
2928a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (Base‘𝑋) = 𝑆)
3029reseq2d 5692 . . 3 (𝜑 → ( I ↾ (Base‘𝑋)) = ( I ↾ 𝑆))
3126, 30eqtrd 2808 . 2 (𝜑 → ((Id‘(ExtStrCat‘𝑈))‘𝑋) = ( I ↾ 𝑆))
329, 22, 313eqtr2d 2814 1 (𝜑 → ( 1𝑋) = ( I ↾ 𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1507  wcel 2050  cin 3822   I cid 5307   × cxp 5401  cres 5405  cfv 6185  (class class class)co 6974  Basecbs 16337  Idccid 16806  cat cresc 16948  ExtStrCatcestrc 17242  Rngcrng 43534   RngHomo crngh 43545  RngCatcrngc 43617
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2744  ax-rep 5045  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277  ax-cnex 10389  ax-resscn 10390  ax-1cn 10391  ax-icn 10392  ax-addcl 10393  ax-addrcl 10394  ax-mulcl 10395  ax-mulrcl 10396  ax-mulcom 10397  ax-addass 10398  ax-mulass 10399  ax-distr 10400  ax-i2m1 10401  ax-1ne0 10402  ax-1rid 10403  ax-rnegex 10404  ax-rrecex 10405  ax-cnre 10406  ax-pre-lttri 10407  ax-pre-lttrn 10408  ax-pre-ltadd 10409  ax-pre-mulgt0 10410
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-fal 1520  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2753  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rmo 3090  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3676  df-csb 3781  df-dif 3826  df-un 3828  df-in 3830  df-ss 3837  df-pss 3839  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4709  df-int 4746  df-iun 4790  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-tr 5027  df-id 5308  df-eprel 5313  df-po 5322  df-so 5323  df-fr 5362  df-we 5364  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-pred 5983  df-ord 6029  df-on 6030  df-lim 6031  df-suc 6032  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-riota 6935  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-om 7395  df-1st 7499  df-2nd 7500  df-wrecs 7748  df-recs 7810  df-rdg 7848  df-1o 7903  df-oadd 7907  df-er 8087  df-map 8206  df-pm 8207  df-ixp 8258  df-en 8305  df-dom 8306  df-sdom 8307  df-fin 8308  df-pnf 10474  df-mnf 10475  df-xr 10476  df-ltxr 10477  df-le 10478  df-sub 10670  df-neg 10671  df-nn 11438  df-2 11501  df-3 11502  df-4 11503  df-5 11504  df-6 11505  df-7 11506  df-8 11507  df-9 11508  df-n0 11706  df-z 11792  df-dec 11910  df-uz 12057  df-fz 12707  df-struct 16339  df-ndx 16340  df-slot 16341  df-base 16343  df-sets 16344  df-ress 16345  df-plusg 16432  df-hom 16443  df-cco 16444  df-0g 16569  df-cat 16809  df-cid 16810  df-homf 16811  df-ssc 16950  df-resc 16951  df-subc 16952  df-estrc 17243  df-mgm 17722  df-sgrp 17764  df-mnd 17775  df-mhm 17815  df-grp 17906  df-ghm 18139  df-abl 18681  df-mgp 18975  df-mgmhm 43439  df-rng0 43535  df-rnghomo 43547  df-rngc 43619
This theorem is referenced by:  rngcsect  43640  rhmsubcrngclem1  43687  rhmsubclem3  43748
  Copyright terms: Public domain W3C validator