Theorem rngcid 20601

Description: The identity arrow in the category of non-unital rings is the identity function. (Contributed by AV, 27-Feb-2020.) (Revised by AV, 10-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
rngccat.c	⊢ 𝐶 = (RngCat‘𝑈)
rngcid.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
rngcid.o	⊢ 1 = (Id‘𝐶)
rngcid.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
rngcid.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
rngcid.s	⊢ 𝑆 = (Base‘𝑋)

Assertion

Ref	Expression
rngcid	⊢ (𝜑 → ( 1 ‘𝑋) = ( I ↾ 𝑆))

Proof of Theorem rngcid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rngcid.o	. . . 4 ⊢ 1 = (Id‘𝐶)
2		rngccat.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = (RngCat‘𝑈)
3		rngcid.u	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
4		eqidd 2736	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∩ Rng) = (𝑈 ∩ Rng))
5		eqidd 2736	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ( RngHom ↾ ((𝑈 ∩ Rng) × (𝑈 ∩ Rng))) = ( RngHom ↾ ((𝑈 ∩ Rng) × (𝑈 ∩ Rng))))
6	2, 3, 4, 5	rngcval 20584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = ((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RngHom ↾ ((𝑈 ∩ Rng) × (𝑈 ∩ Rng)))))
7	6	fveq2d 6833	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Id‘𝐶) = (Id‘((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RngHom ↾ ((𝑈 ∩ Rng) × (𝑈 ∩ Rng))))))
8	1, 7	eqtrid 2782	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 = (Id‘((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RngHom ↾ ((𝑈 ∩ Rng) × (𝑈 ∩ Rng))))))
9	8	fveq1d 6831	. 2 ⊢ (𝜑 → ( 1 ‘𝑋) = ((Id‘((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RngHom ↾ ((𝑈 ∩ Rng) × (𝑈 ∩ Rng)))))‘𝑋))
10		eqid 2735	. . 3 ⊢ ((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RngHom ↾ ((𝑈 ∩ Rng) × (𝑈 ∩ Rng)))) = ((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RngHom ↾ ((𝑈 ∩ Rng) × (𝑈 ∩ Rng))))
11		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (ExtStrCat‘𝑈) = (ExtStrCat‘𝑈)
12		incom 4140	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∩ Rng) = (Rng ∩ 𝑈)
13	12	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∩ Rng) = (Rng ∩ 𝑈))
14	11, 3, 13, 5	rnghmsubcsetc 20599	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( RngHom ↾ ((𝑈 ∩ Rng) × (𝑈 ∩ Rng))) ∈ (Subcat‘(ExtStrCat‘𝑈)))
15	4, 5	rnghmresfn 20585	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( RngHom ↾ ((𝑈 ∩ Rng) × (𝑈 ∩ Rng))) Fn ((𝑈 ∩ Rng) × (𝑈 ∩ Rng)))
16		eqid 2735	. . 3 ⊢ (Id‘(ExtStrCat‘𝑈)) = (Id‘(ExtStrCat‘𝑈))
17		rngcid.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
18		rngcid.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
19	2, 18, 3	rngcbas 20587	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝑈 ∩ Rng))
20	19	eleq2d 2821	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐵 ↔ 𝑋 ∈ (𝑈 ∩ Rng)))
21	17, 20	mpbid 232	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑈 ∩ Rng))
22	10, 14, 15, 16, 21	subcid 17803	. 2 ⊢ (𝜑 → ((Id‘(ExtStrCat‘𝑈))‘𝑋) = ((Id‘((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RngHom ↾ ((𝑈 ∩ Rng) × (𝑈 ∩ Rng)))))‘𝑋))
23		elinel1 4132	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ (𝑈 ∩ Rng) → 𝑋 ∈ 𝑈)
24	20, 23	biimtrdi 253	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 ∈ 𝑈))
25	17, 24	mpd 15	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)
26	11, 16, 3, 25	estrcid 18089	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((Id‘(ExtStrCat‘𝑈))‘𝑋) = ( I ↾ (Base‘𝑋)))
27		rngcid.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (Base‘𝑋)
28	27	eqcomi 2744	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑋) = 𝑆
29	28	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑋) = 𝑆)
30	29	reseq2d 5933	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ (Base‘𝑋)) = ( I ↾ 𝑆))
31	26, 30	eqtrd 2770	. 2 ⊢ (𝜑 → ((Id‘(ExtStrCat‘𝑈))‘𝑋) = ( I ↾ 𝑆))
32	9, 22, 31	3eqtr2d 2776	1 ⊢ (𝜑 → ( 1 ‘𝑋) = ( I ↾ 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∩ cin 3884   I cid 5514   × cxp 5618   ↾ cres 5622  ‘cfv 6487  (class class class)co 7356  Basecbs 17168  Idccid 17620   ↾_cat cresc 17764  ExtStrCatcestrc 18077  Rngcrng 20122   RngHom crnghm 20403  RngCatcrngc 20582

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2184  ax-ext 2707  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7678  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3060  df-rmo 3340  df-reu 3341  df-rab 3388  df-v 3429  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4841  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-er 8632  df-map 8764  df-pm 8765  df-ixp 8835  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-fin 8886  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12164  df-2 12233  df-3 12234  df-4 12235  df-5 12236  df-6 12237  df-7 12238  df-8 12239  df-9 12240  df-n0 12427  df-z 12514  df-dec 12634  df-uz 12778  df-fz 13451  df-struct 17106  df-sets 17123  df-slot 17141  df-ndx 17153  df-base 17169  df-ress 17190  df-plusg 17222  df-hom 17233  df-cco 17234  df-0g 17393  df-cat 17623  df-cid 17624  df-homf 17625  df-ssc 17766  df-resc 17767  df-subc 17768  df-estrc 18078  df-mgm 18597  df-mgmhm 18649  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-mhm 18740  df-grp 18901  df-ghm 19177  df-abl 19747  df-mgp 20111  df-rng 20123  df-rnghm 20405  df-rngc 20583

This theorem is referenced by:  rngcsect  20602  rhmsubcrngclem1  20632  rhmsubclem3  20653