Theorem rngcid 20593

Description: The identity arrow in the category of non-unital rings is the identity function. (Contributed by AV, 27-Feb-2020.) (Revised by AV, 10-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
rngccat.c	⊢ 𝐶 = (RngCat‘𝑈)
rngcid.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
rngcid.o	⊢ 1 = (Id‘𝐶)
rngcid.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
rngcid.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
rngcid.s	⊢ 𝑆 = (Base‘𝑋)

Assertion

Ref	Expression
rngcid	⊢ (𝜑 → ( 1 ‘𝑋) = ( I ↾ 𝑆))

Proof of Theorem rngcid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rngcid.o	. . . 4 ⊢ 1 = (Id‘𝐶)
2		rngccat.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = (RngCat‘𝑈)
3		rngcid.u	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
4		eqidd 2736	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∩ Rng) = (𝑈 ∩ Rng))
5		eqidd 2736	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ( RngHom ↾ ((𝑈 ∩ Rng) × (𝑈 ∩ Rng))) = ( RngHom ↾ ((𝑈 ∩ Rng) × (𝑈 ∩ Rng))))
6	2, 3, 4, 5	rngcval 20576	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = ((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RngHom ↾ ((𝑈 ∩ Rng) × (𝑈 ∩ Rng)))))
7	6	fveq2d 6879	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Id‘𝐶) = (Id‘((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RngHom ↾ ((𝑈 ∩ Rng) × (𝑈 ∩ Rng))))))
8	1, 7	eqtrid 2782	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 = (Id‘((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RngHom ↾ ((𝑈 ∩ Rng) × (𝑈 ∩ Rng))))))
9	8	fveq1d 6877	. 2 ⊢ (𝜑 → ( 1 ‘𝑋) = ((Id‘((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RngHom ↾ ((𝑈 ∩ Rng) × (𝑈 ∩ Rng)))))‘𝑋))
10		eqid 2735	. . 3 ⊢ ((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RngHom ↾ ((𝑈 ∩ Rng) × (𝑈 ∩ Rng)))) = ((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RngHom ↾ ((𝑈 ∩ Rng) × (𝑈 ∩ Rng))))
11		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (ExtStrCat‘𝑈) = (ExtStrCat‘𝑈)
12		incom 4184	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∩ Rng) = (Rng ∩ 𝑈)
13	12	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∩ Rng) = (Rng ∩ 𝑈))
14	11, 3, 13, 5	rnghmsubcsetc 20591	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( RngHom ↾ ((𝑈 ∩ Rng) × (𝑈 ∩ Rng))) ∈ (Subcat‘(ExtStrCat‘𝑈)))
15	4, 5	rnghmresfn 20577	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( RngHom ↾ ((𝑈 ∩ Rng) × (𝑈 ∩ Rng))) Fn ((𝑈 ∩ Rng) × (𝑈 ∩ Rng)))
16		eqid 2735	. . 3 ⊢ (Id‘(ExtStrCat‘𝑈)) = (Id‘(ExtStrCat‘𝑈))
17		rngcid.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
18		rngcid.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
19	2, 18, 3	rngcbas 20579	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝑈 ∩ Rng))
20	19	eleq2d 2820	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐵 ↔ 𝑋 ∈ (𝑈 ∩ Rng)))
21	17, 20	mpbid 232	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑈 ∩ Rng))
22	10, 14, 15, 16, 21	subcid 17858	. 2 ⊢ (𝜑 → ((Id‘(ExtStrCat‘𝑈))‘𝑋) = ((Id‘((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RngHom ↾ ((𝑈 ∩ Rng) × (𝑈 ∩ Rng)))))‘𝑋))
23		elinel1 4176	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ (𝑈 ∩ Rng) → 𝑋 ∈ 𝑈)
24	20, 23	biimtrdi 253	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 ∈ 𝑈))
25	17, 24	mpd 15	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)
26	11, 16, 3, 25	estrcid 18144	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((Id‘(ExtStrCat‘𝑈))‘𝑋) = ( I ↾ (Base‘𝑋)))
27		rngcid.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (Base‘𝑋)
28	27	eqcomi 2744	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑋) = 𝑆
29	28	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑋) = 𝑆)
30	29	reseq2d 5966	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ (Base‘𝑋)) = ( I ↾ 𝑆))
31	26, 30	eqtrd 2770	. 2 ⊢ (𝜑 → ((Id‘(ExtStrCat‘𝑈))‘𝑋) = ( I ↾ 𝑆))
32	9, 22, 31	3eqtr2d 2776	1 ⊢ (𝜑 → ( 1 ‘𝑋) = ( I ↾ 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ∩ cin 3925   I cid 5547   × cxp 5652   ↾ cres 5656  ‘cfv 6530  (class class class)co 7403  Basecbs 17226  Idccid 17675   ↾_cat cresc 17819  ExtStrCatcestrc 18132  Rngcrng 20110   RngHom crnghm 20392  RngCatcrngc 20574

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7860  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-er 8717  df-map 8840  df-pm 8841  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11466  df-neg 11467  df-nn 12239  df-2 12301  df-3 12302  df-4 12303  df-5 12304  df-6 12305  df-7 12306  df-8 12307  df-9 12308  df-n0 12500  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12851  df-fz 13523  df-struct 17164  df-sets 17181  df-slot 17199  df-ndx 17211  df-base 17227  df-ress 17250  df-plusg 17282  df-hom 17293  df-cco 17294  df-0g 17453  df-cat 17678  df-cid 17679  df-homf 17680  df-ssc 17821  df-resc 17822  df-subc 17823  df-estrc 18133  df-mgm 18616  df-mgmhm 18668  df-sgrp 18695  df-mnd 18711  df-mhm 18759  df-grp 18917  df-ghm 19194  df-abl 19762  df-mgp 20099  df-rng 20111  df-rnghm 20394  df-rngc 20575

This theorem is referenced by:  rngcsect  20594  rhmsubcrngclem1  20624  rhmsubclem3  20645