MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rngcid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rngcid 20523
Description: The identity arrow in the category of non-unital rings is the identity function. (Contributed by AV, 27-Feb-2020.) (Revised by AV, 10-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
rngccat.c 𝐶 = (RngCat‘𝑈)
rngcid.b 𝐵 = (Base‘𝐶)
rngcid.o 1 = (Id‘𝐶)
rngcid.u (𝜑𝑈𝑉)
rngcid.x (𝜑𝑋𝐵)
rngcid.s 𝑆 = (Base‘𝑋)
Assertion
Ref Expression
rngcid (𝜑 → ( 1𝑋) = ( I ↾ 𝑆))

Proof of Theorem rngcid
StepHypRef Expression
1 rngcid.o . . . 4 1 = (Id‘𝐶)
2 rngccat.c . . . . . 6 𝐶 = (RngCat‘𝑈)
3 rngcid.u . . . . . 6 (𝜑𝑈𝑉)
4 eqidd 2725 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑈 ∩ Rng) = (𝑈 ∩ Rng))
5 eqidd 2725 . . . . . 6 (𝜑 → ( RngHom ↾ ((𝑈 ∩ Rng) × (𝑈 ∩ Rng))) = ( RngHom ↾ ((𝑈 ∩ Rng) × (𝑈 ∩ Rng))))
62, 3, 4, 5rngcval 20506 . . . . 5 (𝜑𝐶 = ((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RngHom ↾ ((𝑈 ∩ Rng) × (𝑈 ∩ Rng)))))
76fveq2d 6886 . . . 4 (𝜑 → (Id‘𝐶) = (Id‘((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RngHom ↾ ((𝑈 ∩ Rng) × (𝑈 ∩ Rng))))))
81, 7eqtrid 2776 . . 3 (𝜑1 = (Id‘((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RngHom ↾ ((𝑈 ∩ Rng) × (𝑈 ∩ Rng))))))
98fveq1d 6884 . 2 (𝜑 → ( 1𝑋) = ((Id‘((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RngHom ↾ ((𝑈 ∩ Rng) × (𝑈 ∩ Rng)))))‘𝑋))
10 eqid 2724 . . 3 ((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RngHom ↾ ((𝑈 ∩ Rng) × (𝑈 ∩ Rng)))) = ((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RngHom ↾ ((𝑈 ∩ Rng) × (𝑈 ∩ Rng))))
11 eqid 2724 . . . 4 (ExtStrCat‘𝑈) = (ExtStrCat‘𝑈)
12 incom 4194 . . . . 5 (𝑈 ∩ Rng) = (Rng ∩ 𝑈)
1312a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝑈 ∩ Rng) = (Rng ∩ 𝑈))
1411, 3, 13, 5rnghmsubcsetc 20521 . . 3 (𝜑 → ( RngHom ↾ ((𝑈 ∩ Rng) × (𝑈 ∩ Rng))) ∈ (Subcat‘(ExtStrCat‘𝑈)))
154, 5rnghmresfn 20507 . . 3 (𝜑 → ( RngHom ↾ ((𝑈 ∩ Rng) × (𝑈 ∩ Rng))) Fn ((𝑈 ∩ Rng) × (𝑈 ∩ Rng)))
16 eqid 2724 . . 3 (Id‘(ExtStrCat‘𝑈)) = (Id‘(ExtStrCat‘𝑈))
17 rngcid.x . . . 4 (𝜑𝑋𝐵)
18 rngcid.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐶)
192, 18, 3rngcbas 20509 . . . . 5 (𝜑𝐵 = (𝑈 ∩ Rng))
2019eleq2d 2811 . . . 4 (𝜑 → (𝑋𝐵𝑋 ∈ (𝑈 ∩ Rng)))
2117, 20mpbid 231 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ (𝑈 ∩ Rng))
2210, 14, 15, 16, 21subcid 17798 . 2 (𝜑 → ((Id‘(ExtStrCat‘𝑈))‘𝑋) = ((Id‘((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RngHom ↾ ((𝑈 ∩ Rng) × (𝑈 ∩ Rng)))))‘𝑋))
23 elinel1 4188 . . . . . 6 (𝑋 ∈ (𝑈 ∩ Rng) → 𝑋𝑈)
2420, 23syl6bi 253 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋𝐵𝑋𝑈))
2517, 24mpd 15 . . . 4 (𝜑𝑋𝑈)
2611, 16, 3, 25estrcid 18089 . . 3 (𝜑 → ((Id‘(ExtStrCat‘𝑈))‘𝑋) = ( I ↾ (Base‘𝑋)))
27 rngcid.s . . . . . 6 𝑆 = (Base‘𝑋)
2827eqcomi 2733 . . . . 5 (Base‘𝑋) = 𝑆
2928a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (Base‘𝑋) = 𝑆)
3029reseq2d 5972 . . 3 (𝜑 → ( I ↾ (Base‘𝑋)) = ( I ↾ 𝑆))
3126, 30eqtrd 2764 . 2 (𝜑 → ((Id‘(ExtStrCat‘𝑈))‘𝑋) = ( I ↾ 𝑆))
329, 22, 313eqtr2d 2770 1 (𝜑 → ( 1𝑋) = ( I ↾ 𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1533  wcel 2098  cin 3940   I cid 5564   × cxp 5665  cres 5669  cfv 6534  (class class class)co 7402  Basecbs 17145  Idccid 17610  cat cresc 17756  ExtStrCatcestrc 18077  Rngcrng 20049   RngHom crnghm 20328  RngCatcrngc 20504
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-tp 4626  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8700  df-map 8819  df-pm 8820  df-ixp 8889  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12211  df-2 12273  df-3 12274  df-4 12275  df-5 12276  df-6 12277  df-7 12278  df-8 12279  df-9 12280  df-n0 12471  df-z 12557  df-dec 12676  df-uz 12821  df-fz 13483  df-struct 17081  df-sets 17098  df-slot 17116  df-ndx 17128  df-base 17146  df-ress 17175  df-plusg 17211  df-hom 17222  df-cco 17223  df-0g 17388  df-cat 17613  df-cid 17614  df-homf 17615  df-ssc 17758  df-resc 17759  df-subc 17760  df-estrc 18078  df-mgm 18565  df-mgmhm 18617  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mhm 18705  df-grp 18858  df-ghm 19131  df-abl 19695  df-mgp 20032  df-rng 20050  df-rnghm 20330  df-rngc 20505
This theorem is referenced by:  rngcsect  20524  rhmsubcrngclem1  20554  rhmsubclem3  20575
  Copyright terms: Public domain W3C validator