Theorem rngcid 43639

Description: The identity arrow in the category of non-unital rings is the identity function. (Contributed by AV, 27-Feb-2020.) (Revised by AV, 10-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
rngccat.c	⊢ 𝐶 = (RngCat‘𝑈)
rngcid.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
rngcid.o	⊢ 1 = (Id‘𝐶)
rngcid.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
rngcid.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
rngcid.s	⊢ 𝑆 = (Base‘𝑋)

Assertion

Ref	Expression
rngcid	⊢ (𝜑 → ( 1 ‘𝑋) = ( I ↾ 𝑆))

Proof of Theorem rngcid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rngcid.o	. . . 4 ⊢ 1 = (Id‘𝐶)
2		rngccat.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = (RngCat‘𝑈)
3		rngcid.u	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
4		eqidd 2773	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∩ Rng) = (𝑈 ∩ Rng))
5		eqidd 2773	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ( RngHomo ↾ ((𝑈 ∩ Rng) × (𝑈 ∩ Rng))) = ( RngHomo ↾ ((𝑈 ∩ Rng) × (𝑈 ∩ Rng))))
6	2, 3, 4, 5	rngcval 43622	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = ((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RngHomo ↾ ((𝑈 ∩ Rng) × (𝑈 ∩ Rng)))))
7	6	fveq2d 6500	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Id‘𝐶) = (Id‘((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RngHomo ↾ ((𝑈 ∩ Rng) × (𝑈 ∩ Rng))))))
8	1, 7	syl5eq 2820	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 = (Id‘((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RngHomo ↾ ((𝑈 ∩ Rng) × (𝑈 ∩ Rng))))))
9	8	fveq1d 6498	. 2 ⊢ (𝜑 → ( 1 ‘𝑋) = ((Id‘((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RngHomo ↾ ((𝑈 ∩ Rng) × (𝑈 ∩ Rng)))))‘𝑋))
10		eqid 2772	. . 3 ⊢ ((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RngHomo ↾ ((𝑈 ∩ Rng) × (𝑈 ∩ Rng)))) = ((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RngHomo ↾ ((𝑈 ∩ Rng) × (𝑈 ∩ Rng))))
11		eqid 2772	. . . 4 ⊢ (ExtStrCat‘𝑈) = (ExtStrCat‘𝑈)
12		incom 4060	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∩ Rng) = (Rng ∩ 𝑈)
13	12	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∩ Rng) = (Rng ∩ 𝑈))
14	11, 3, 13, 5	rnghmsubcsetc 43637	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( RngHomo ↾ ((𝑈 ∩ Rng) × (𝑈 ∩ Rng))) ∈ (Subcat‘(ExtStrCat‘𝑈)))
15	4, 5	rnghmresfn 43623	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( RngHomo ↾ ((𝑈 ∩ Rng) × (𝑈 ∩ Rng))) Fn ((𝑈 ∩ Rng) × (𝑈 ∩ Rng)))
16		eqid 2772	. . 3 ⊢ (Id‘(ExtStrCat‘𝑈)) = (Id‘(ExtStrCat‘𝑈))
17		rngcid.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
18		rngcid.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
19	2, 18, 3	rngcbas 43625	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝑈 ∩ Rng))
20	19	eleq2d 2845	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐵 ↔ 𝑋 ∈ (𝑈 ∩ Rng)))
21	17, 20	mpbid 224	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑈 ∩ Rng))
22	10, 14, 15, 16, 21	subcid 16987	. 2 ⊢ (𝜑 → ((Id‘(ExtStrCat‘𝑈))‘𝑋) = ((Id‘((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RngHomo ↾ ((𝑈 ∩ Rng) × (𝑈 ∩ Rng)))))‘𝑋))
23		elinel1 4054	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ (𝑈 ∩ Rng) → 𝑋 ∈ 𝑈)
24	20, 23	syl6bi 245	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 ∈ 𝑈))
25	17, 24	mpd 15	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)
26	11, 16, 3, 25	estrcid 17254	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((Id‘(ExtStrCat‘𝑈))‘𝑋) = ( I ↾ (Base‘𝑋)))
27		rngcid.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (Base‘𝑋)
28	27	eqcomi 2781	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑋) = 𝑆
29	28	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑋) = 𝑆)
30	29	reseq2d 5692	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ (Base‘𝑋)) = ( I ↾ 𝑆))
31	26, 30	eqtrd 2808	. 2 ⊢ (𝜑 → ((Id‘(ExtStrCat‘𝑈))‘𝑋) = ( I ↾ 𝑆))
32	9, 22, 31	3eqtr2d 2814	1 ⊢ (𝜑 → ( 1 ‘𝑋) = ( I ↾ 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1507   ∈ wcel 2050   ∩ cin 3822   I cid 5307   × cxp 5401   ↾ cres 5405  ‘cfv 6185  (class class class)co 6974  Basecbs 16337  Idccid 16806   ↾_cat cresc 16948  ExtStrCatcestrc 17242  Rngcrng 43534   RngHomo crngh 43545  RngCatcrngc 43617

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2744  ax-rep 5045  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277  ax-cnex 10389  ax-resscn 10390  ax-1cn 10391  ax-icn 10392  ax-addcl 10393  ax-addrcl 10394  ax-mulcl 10395  ax-mulrcl 10396  ax-mulcom 10397  ax-addass 10398  ax-mulass 10399  ax-distr 10400  ax-i2m1 10401  ax-1ne0 10402  ax-1rid 10403  ax-rnegex 10404  ax-rrecex 10405  ax-cnre 10406  ax-pre-lttri 10407  ax-pre-lttrn 10408  ax-pre-ltadd 10409  ax-pre-mulgt0 10410

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-fal 1520  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2753  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rmo 3090  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3676  df-csb 3781  df-dif 3826  df-un 3828  df-in 3830  df-ss 3837  df-pss 3839  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4709  df-int 4746  df-iun 4790  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-tr 5027  df-id 5308  df-eprel 5313  df-po 5322  df-so 5323  df-fr 5362  df-we 5364  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-pred 5983  df-ord 6029  df-on 6030  df-lim 6031  df-suc 6032  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-riota 6935  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-om 7395  df-1st 7499  df-2nd 7500  df-wrecs 7748  df-recs 7810  df-rdg 7848  df-1o 7903  df-oadd 7907  df-er 8087  df-map 8206  df-pm 8207  df-ixp 8258  df-en 8305  df-dom 8306  df-sdom 8307  df-fin 8308  df-pnf 10474  df-mnf 10475  df-xr 10476  df-ltxr 10477  df-le 10478  df-sub 10670  df-neg 10671  df-nn 11438  df-2 11501  df-3 11502  df-4 11503  df-5 11504  df-6 11505  df-7 11506  df-8 11507  df-9 11508  df-n0 11706  df-z 11792  df-dec 11910  df-uz 12057  df-fz 12707  df-struct 16339  df-ndx 16340  df-slot 16341  df-base 16343  df-sets 16344  df-ress 16345  df-plusg 16432  df-hom 16443  df-cco 16444  df-0g 16569  df-cat 16809  df-cid 16810  df-homf 16811  df-ssc 16950  df-resc 16951  df-subc 16952  df-estrc 17243  df-mgm 17722  df-sgrp 17764  df-mnd 17775  df-mhm 17815  df-grp 17906  df-ghm 18139  df-abl 18681  df-mgp 18975  df-mgmhm 43439  df-rng0 43535  df-rnghomo 43547  df-rngc 43619

This theorem is referenced by:  rngcsect  43640  rhmsubcrngclem1  43687  rhmsubclem3  43748