Theorem rngcid 20695

Description: The identity arrow in the category of non-unital rings is the identity function. (Contributed by AV, 27-Feb-2020.) (Revised by AV, 10-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
rngccat.c	⊢ 𝐶 = (RngCat‘𝑈)
rngcid.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
rngcid.o	⊢ 1 = (Id‘𝐶)
rngcid.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
rngcid.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
rngcid.s	⊢ 𝑆 = (Base‘𝑋)

Assertion

Ref	Expression
rngcid	⊢ (𝜑 → ( 1 ‘𝑋) = ( I ↾ 𝑆))

Proof of Theorem rngcid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rngcid.o	. . . 4 ⊢ 1 = (Id‘𝐶)
2		rngccat.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = (RngCat‘𝑈)
3		rngcid.u	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
4		eqidd 2764	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∩ Rng) = (𝑈 ∩ Rng))
5		eqidd 2764	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ( RngHom ↾ ((𝑈 ∩ Rng) × (𝑈 ∩ Rng))) = ( RngHom ↾ ((𝑈 ∩ Rng) × (𝑈 ∩ Rng))))
6	2, 3, 4, 5	rngcval 20678	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = ((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RngHom ↾ ((𝑈 ∩ Rng) × (𝑈 ∩ Rng)))))
7	6	fveq2d 6871	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Id‘𝐶) = (Id‘((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RngHom ↾ ((𝑈 ∩ Rng) × (𝑈 ∩ Rng))))))
8	1, 7	eqtrid 2810	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 = (Id‘((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RngHom ↾ ((𝑈 ∩ Rng) × (𝑈 ∩ Rng))))))
9	8	fveq1d 6869	. 2 ⊢ (𝜑 → ( 1 ‘𝑋) = ((Id‘((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RngHom ↾ ((𝑈 ∩ Rng) × (𝑈 ∩ Rng)))))‘𝑋))
10		eqid 2763	. . 3 ⊢ ((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RngHom ↾ ((𝑈 ∩ Rng) × (𝑈 ∩ Rng)))) = ((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RngHom ↾ ((𝑈 ∩ Rng) × (𝑈 ∩ Rng))))
11		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (ExtStrCat‘𝑈) = (ExtStrCat‘𝑈)
12		incom 4162	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∩ Rng) = (Rng ∩ 𝑈)
13	12	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∩ Rng) = (Rng ∩ 𝑈))
14	11, 3, 13, 5	rnghmsubcsetc 20693	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( RngHom ↾ ((𝑈 ∩ Rng) × (𝑈 ∩ Rng))) ∈ (Subcat‘(ExtStrCat‘𝑈)))
15	4, 5	rnghmresfn 20679	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( RngHom ↾ ((𝑈 ∩ Rng) × (𝑈 ∩ Rng))) Fn ((𝑈 ∩ Rng) × (𝑈 ∩ Rng)))
16		eqid 2763	. . 3 ⊢ (Id‘(ExtStrCat‘𝑈)) = (Id‘(ExtStrCat‘𝑈))
17		rngcid.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
18		rngcid.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
19	2, 18, 3	rngcbas 20681	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝑈 ∩ Rng))
20	19	eleq2d 2849	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐵 ↔ 𝑋 ∈ (𝑈 ∩ Rng)))
21	17, 20	mpbid 234	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑈 ∩ Rng))
22	10, 14, 15, 16, 21	subcid 17890	. 2 ⊢ (𝜑 → ((Id‘(ExtStrCat‘𝑈))‘𝑋) = ((Id‘((ExtStrCat‘𝑈) ↾cat ( RngHom ↾ ((𝑈 ∩ Rng) × (𝑈 ∩ Rng)))))‘𝑋))
23		elinel1 4154	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ (𝑈 ∩ Rng) → 𝑋 ∈ 𝑈)
24	20, 23	biimtrdi 255	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 ∈ 𝑈))
25	17, 24	mpd 15	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)
26	11, 16, 3, 25	estrcid 18176	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((Id‘(ExtStrCat‘𝑈))‘𝑋) = ( I ↾ (Base‘𝑋)))
27		rngcid.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (Base‘𝑋)
28	27	eqcomi 2772	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑋) = 𝑆
29	28	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑋) = 𝑆)
30	29	reseq2d 5965	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ (Base‘𝑋)) = ( I ↾ 𝑆))
31	26, 30	eqtrd 2798	. 2 ⊢ (𝜑 → ((Id‘(ExtStrCat‘𝑈))‘𝑋) = ( I ↾ 𝑆))
32	9, 22, 31	3eqtr2d 2804	1 ⊢ (𝜑 → ( 1 ‘𝑋) = ( I ↾ 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1561   ∈ wcel 2143   ∩ cin 3904   I cid 5542   × cxp 5646   ↾ cres 5650  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  Basecbs 17255  Idccid 17707   ↾_cat cresc 17851  ExtStrCatcestrc 18164  Rngcrng 20208   RngHom crnghm 20493  RngCatcrngc 20676

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5228  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7718  ax-cnex 11140  ax-resscn 11141  ax-1cn 11142  ax-icn 11143  ax-addcl 11144  ax-addrcl 11145  ax-mulcl 11146  ax-mulrcl 11147  ax-mulcom 11148  ax-addass 11149  ax-mulass 11150  ax-distr 11151  ax-i2m1 11152  ax-1ne0 11153  ax-1rid 11154  ax-rnegex 11155  ax-rrecex 11156  ax-cnre 11157  ax-pre-lttri 11158  ax-pre-lttrn 11159  ax-pre-ltadd 11160  ax-pre-mulgt0 11161

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-tr 5209  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8678  df-map 8810  df-pm 8811  df-ixp 8880  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-pnf 11229  df-mnf 11230  df-xr 11231  df-ltxr 11232  df-le 11233  df-sub 11427  df-neg 11428  df-nn 12221  df-2 12290  df-3 12291  df-4 12292  df-5 12293  df-6 12294  df-7 12295  df-8 12296  df-9 12297  df-n0 12492  df-z 12579  df-dec 12699  df-uz 12850  df-fz 13523  df-struct 17193  df-sets 17210  df-slot 17228  df-ndx 17240  df-base 17256  df-ress 17277  df-plusg 17309  df-hom 17320  df-cco 17321  df-0g 17480  df-cat 17710  df-cid 17711  df-homf 17712  df-ssc 17853  df-resc 17854  df-subc 17855  df-estrc 18165  df-mgm 18684  df-mgmhm 18736  df-sgrp 18763  df-mnd 18779  df-mhm 18827  df-grp 18988  df-ghm 19264  df-abl 19833  df-mgp 20197  df-rng 20209  df-rnghm 20495  df-rngc 20677

This theorem is referenced by:  rngcsect  20696  rhmsubcrngclem1  20726  rhmsubclem3  20747