Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem36 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem36 40878
Description: 𝐹 is an isomorphism. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem36.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fourierdlem36.assr (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
fourierdlem36.f 𝐹 = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴))
fourierdlem36.n 𝑁 = ((♯‘𝐴) − 1)
Assertion
Ref Expression
fourierdlem36 (𝜑𝐹 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝑓,𝐹   𝑓,𝑁   𝜑,𝑓

Proof of Theorem fourierdlem36
StepHypRef Expression
1 fourierdlem36.f . . 3 𝐹 = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴))
2 fourierdlem36.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
3 fourierdlem36.assr . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
4 ltso 10321 . . . . . . 7 < Or ℝ
5 soss 5189 . . . . . . 7 (𝐴 ⊆ ℝ → ( < Or ℝ → < Or 𝐴))
63, 4, 5mpisyl 21 . . . . . 6 (𝜑 → < Or 𝐴)
7 0zd 11592 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
8 eqid 2771 . . . . . 6 ((♯‘𝐴) + (0 − 1)) = ((♯‘𝐴) + (0 − 1))
92, 6, 7, 8fzisoeu 40032 . . . . 5 (𝜑 → ∃!𝑓 𝑓 Isom < , < ((0...((♯‘𝐴) + (0 − 1))), 𝐴))
10 hashcl 13350 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
112, 10syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
1211nn0cnd 11556 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℂ)
13 1cnd 10259 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
1412, 13negsubd 10601 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((♯‘𝐴) + -1) = ((♯‘𝐴) − 1))
15 df-neg 10472 . . . . . . . . . . 11 -1 = (0 − 1)
1615eqcomi 2780 . . . . . . . . . 10 (0 − 1) = -1
1716oveq2i 6805 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝐴) + (0 − 1)) = ((♯‘𝐴) + -1)
18 fourierdlem36.n . . . . . . . . 9 𝑁 = ((♯‘𝐴) − 1)
1914, 17, 183eqtr4g 2830 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((♯‘𝐴) + (0 − 1)) = 𝑁)
2019oveq2d 6810 . . . . . . 7 (𝜑 → (0...((♯‘𝐴) + (0 − 1))) = (0...𝑁))
21 isoeq4 6714 . . . . . . 7 ((0...((♯‘𝐴) + (0 − 1))) = (0...𝑁) → (𝑓 Isom < , < ((0...((♯‘𝐴) + (0 − 1))), 𝐴) ↔ 𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴)))
2220, 21syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑓 Isom < , < ((0...((♯‘𝐴) + (0 − 1))), 𝐴) ↔ 𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴)))
2322eubidv 2638 . . . . 5 (𝜑 → (∃!𝑓 𝑓 Isom < , < ((0...((♯‘𝐴) + (0 − 1))), 𝐴) ↔ ∃!𝑓 𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴)))
249, 23mpbid 222 . . . 4 (𝜑 → ∃!𝑓 𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴))
25 iotacl 6018 . . . 4 (∃!𝑓 𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴) → (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴)) ∈ {𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴)})
2624, 25syl 17 . . 3 (𝜑 → (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴)) ∈ {𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴)})
271, 26syl5eqel 2854 . 2 (𝜑𝐹 ∈ {𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴)})
28 iotaex 6012 . . . 4 (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴)) ∈ V
291, 28eqeltri 2846 . . 3 𝐹 ∈ V
30 isoeq1 6711 . . 3 (𝑓 = 𝐹 → (𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴) ↔ 𝐹 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴)))
3129, 30elab 3502 . 2 (𝐹 ∈ {𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴)} ↔ 𝐹 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴))
3227, 31sylib 208 1 (𝜑𝐹 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196   = wceq 1631  wcel 2145  ∃!weu 2618  {cab 2757  Vcvv 3351  wss 3724   Or wor 5170  cio 5993  cfv 6032   Isom wiso 6033  (class class class)co 6794  Fincfn 8110  cr 10138  0cc0 10139  1c1 10140   + caddc 10142   < clt 10277  cmin 10469  -cneg 10470  0cn0 11495  ...cfz 12534  chash 13322
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7097  ax-inf2 8703  ax-cnex 10195  ax-resscn 10196  ax-1cn 10197  ax-icn 10198  ax-addcl 10199  ax-addrcl 10200  ax-mulcl 10201  ax-mulrcl 10202  ax-mulcom 10203  ax-addass 10204  ax-mulass 10205  ax-distr 10206  ax-i2m1 10207  ax-1ne0 10208  ax-1rid 10209  ax-rnegex 10210  ax-rrecex 10211  ax-cnre 10212  ax-pre-lttri 10213  ax-pre-lttrn 10214  ax-pre-ltadd 10215  ax-pre-mulgt0 10216
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 829  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3589  df-csb 3684  df-dif 3727  df-un 3729  df-in 3731  df-ss 3738  df-pss 3740  df-nul 4065  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-se 5210  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5824  df-ord 5870  df-on 5871  df-lim 5872  df-suc 5873  df-iota 5995  df-fun 6034  df-fn 6035  df-f 6036  df-f1 6037  df-fo 6038  df-f1o 6039  df-fv 6040  df-isom 6041  df-riota 6755  df-ov 6797  df-oprab 6798  df-mpt2 6799  df-om 7214  df-1st 7316  df-2nd 7317  df-wrecs 7560  df-recs 7622  df-rdg 7660  df-1o 7714  df-er 7897  df-en 8111  df-dom 8112  df-sdom 8113  df-fin 8114  df-oi 8572  df-card 8966  df-pnf 10279  df-mnf 10280  df-xr 10281  df-ltxr 10282  df-le 10283  df-sub 10471  df-neg 10472  df-nn 11224  df-n0 11496  df-z 11581  df-uz 11890  df-fz 12535  df-hash 13323
This theorem is referenced by:  fourierdlem50  40891  fourierdlem51  40892  fourierdlem52  40893  fourierdlem54  40895  fourierdlem76  40917  fourierdlem102  40943  fourierdlem103  40944  fourierdlem104  40945  fourierdlem114  40955
  Copyright terms: Public domain W3C validator