Theorem fourierdlem36 46163

Description: 𝐹 is an isomorphism. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem36.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fourierdlem36.assr	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
fourierdlem36.f	⊢ 𝐹 = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴))
fourierdlem36.n	⊢ 𝑁 = ((♯‘𝐴) − 1)

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem36	⊢ (𝜑 → 𝐹 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝑓,𝐹   𝑓,𝑁   𝜑,𝑓

Proof of Theorem fourierdlem36

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem36.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴))
2		fourierdlem36.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
3		fourierdlem36.assr	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
4		ltso 11342	. . . . . . 7 ⊢ < Or ℝ
5		soss 5611	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → ( < Or ℝ → < Or 𝐴))
6	3, 4, 5	mpisyl 21	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → < Or 𝐴)
7		0zd 12627	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
8		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐴) + (0 − 1)) = ((♯‘𝐴) + (0 − 1))
9	2, 6, 7, 8	fzisoeu 45317	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑓 𝑓 Isom < , < ((0...((♯‘𝐴) + (0 − 1))), 𝐴))
10		hashcl 14396	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
11	2, 10	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
12	11	nn0cnd 12591	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℂ)
13		1cnd 11257	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
14	12, 13	negsubd 11627	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐴) + -1) = ((♯‘𝐴) − 1))
15		df-neg 11496	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -1 = (0 − 1)
16	15	eqcomi 2745	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 − 1) = -1
17	16	oveq2i 7443	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝐴) + (0 − 1)) = ((♯‘𝐴) + -1)
18		fourierdlem36.n	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑁 = ((♯‘𝐴) − 1)
19	14, 17, 18	3eqtr4g 2801	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐴) + (0 − 1)) = 𝑁)
20	19	oveq2d 7448	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0...((♯‘𝐴) + (0 − 1))) = (0...𝑁))
21		isoeq4 7341	. . . . . . 7 ⊢ ((0...((♯‘𝐴) + (0 − 1))) = (0...𝑁) → (𝑓 Isom < , < ((0...((♯‘𝐴) + (0 − 1))), 𝐴) ↔ 𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴)))
22	20, 21	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑓 Isom < , < ((0...((♯‘𝐴) + (0 − 1))), 𝐴) ↔ 𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴)))
23	22	eubidv 2585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃!𝑓 𝑓 Isom < , < ((0...((♯‘𝐴) + (0 − 1))), 𝐴) ↔ ∃!𝑓 𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴)))
24	9, 23	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑓 𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴))
25		iotacl 6546	. . . 4 ⊢ (∃!𝑓 𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴) → (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴)) ∈ {𝑓 ∣ 𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴)})
26	24, 25	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴)) ∈ {𝑓 ∣ 𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴)})
27	1, 26	eqeltrid 2844	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ {𝑓 ∣ 𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴)})
28		iotaex 6533	. . . 4 ⊢ (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴)) ∈ V
29	1, 28	eqeltri 2836	. . 3 ⊢ 𝐹 ∈ V
30		isoeq1 7338	. . 3 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴) ↔ 𝐹 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴)))
31	29, 30	elab 3678	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ {𝑓 ∣ 𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴)} ↔ 𝐹 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴))
32	27, 31	sylib 218	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ∃!weu 2567  {cab 2713  Vcvv 3479   ⊆ wss 3950   Or wor 5590  ℩cio 6511  ‘cfv 6560   Isom wiso 6561  (class class class)co 7432  Fincfn 8986  ℝcr 11155  0cc0 11156  1c1 11157   + caddc 11159   < clt 11296   − cmin 11493  -cneg 11494  ℕ₀cn0 12528  ...cfz 13548  ♯chash 14370

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-inf2 9682  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-oi 9551  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-fz 13549  df-hash 14371

This theorem is referenced by:  fourierdlem50  46176  fourierdlem51  46177  fourierdlem52  46178  fourierdlem54  46180  fourierdlem76  46202  fourierdlem102  46228  fourierdlem103  46229  fourierdlem104  46230  fourierdlem114  46240