Theorem fourierdlem36 46971

Description: 𝐹 is an isomorphism. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem36.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fourierdlem36.assr	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
fourierdlem36.f	⊢ 𝐹 = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴))
fourierdlem36.n	⊢ 𝑁 = ((♯‘𝐴) − 1)

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem36	⊢ (𝜑 → 𝐹 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝑓,𝐹   𝑓,𝑁   𝜑,𝑓

Proof of Theorem fourierdlem36

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem36.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴))
2		fourierdlem36.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
3		fourierdlem36.assr	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
4		ltso 11314	. . . . . . 7 ⊢ < Or ℝ
5		soss 5583	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → ( < Or ℝ → < Or 𝐴))
6	3, 4, 5	mpisyl 22	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → < Or 𝐴)
7		0zd 12627	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
8		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐴) + (0 − 1)) = ((♯‘𝐴) + (0 − 1))
9	2, 6, 7, 8	fzisoeu 46133	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑓 𝑓 Isom < , < ((0...((♯‘𝐴) + (0 − 1))), 𝐴))
10		hashcl 14420	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
11	2, 10	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
12	11	nn0cnd 12591	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℂ)
13		1cnd 11226	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
14	12, 13	negsubd 11599	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐴) + -1) = ((♯‘𝐴) − 1))
15		df-neg 11468	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -1 = (0 − 1)
16	15	eqcomi 2769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 − 1) = -1
17	16	oveq2i 7424	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝐴) + (0 − 1)) = ((♯‘𝐴) + -1)
18		fourierdlem36.n	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑁 = ((♯‘𝐴) − 1)
19	14, 17, 18	3eqtr4g 2820	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐴) + (0 − 1)) = 𝑁)
20	19	oveq2d 7429	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0...((♯‘𝐴) + (0 − 1))) = (0...𝑁))
21		isoeq4 7321	. . . . . . 7 ⊢ ((0...((♯‘𝐴) + (0 − 1))) = (0...𝑁) → (𝑓 Isom < , < ((0...((♯‘𝐴) + (0 − 1))), 𝐴) ↔ 𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴)))
22	20, 21	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑓 Isom < , < ((0...((♯‘𝐴) + (0 − 1))), 𝐴) ↔ 𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴)))
23	22	eubidv 2611	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃!𝑓 𝑓 Isom < , < ((0...((♯‘𝐴) + (0 − 1))), 𝐴) ↔ ∃!𝑓 𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴)))
24	9, 23	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑓 𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴))
25		iotacl 6519	. . . 4 ⊢ (∃!𝑓 𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴) → (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴)) ∈ {𝑓 ∣ 𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴)})
26	24, 25	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴)) ∈ {𝑓 ∣ 𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴)})
27	1, 26	eqeltrid 2864	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ {𝑓 ∣ 𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴)})
28		iotaex 6509	. . . 4 ⊢ (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴)) ∈ V
29	1, 28	eqeltri 2856	. . 3 ⊢ 𝐹 ∈ V
30		isoeq1 7318	. . 3 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴) ↔ 𝐹 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴)))
31	29, 30	elab 3633	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ {𝑓 ∣ 𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴)} ↔ 𝐹 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴))
32	27, 31	sylib 221	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃!weu 2593  {cab 2738  Vcvv 3450   ⊆ wss 3899   Or wor 5562  ℩cio 6487  ‘cfv 6533   Isom wiso 6534  (class class class)co 7413  Fincfn 8952  ℝcr 11123  0cc0 11124  1c1 11125   + caddc 11127   < clt 11267   − cmin 11465  -cneg 11466  ℕ₀cn0 12528  ...cfz 13561  ♯chash 14394

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-inf2 9620  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-oi 9482  df-card 9944  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-nn 12258  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12888  df-fz 13562  df-hash 14395

This theorem is used by:  fourierdlem50  46984  fourierdlem51  46985  fourierdlem52  46986  fourierdlem54  46988  fourierdlem76  47010  fourierdlem102  47036  fourierdlem103  47037  fourierdlem104  47038  fourierdlem114  47048