Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem36 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem36 44279
Description: 𝐹 is an isomorphism. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem36.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fourierdlem36.assr (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
fourierdlem36.f 𝐹 = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴))
fourierdlem36.n 𝑁 = ((♯‘𝐴) − 1)
Assertion
Ref Expression
fourierdlem36 (𝜑𝐹 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝑓,𝐹   𝑓,𝑁   𝜑,𝑓

Proof of Theorem fourierdlem36
StepHypRef Expression
1 fourierdlem36.f . . 3 𝐹 = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴))
2 fourierdlem36.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
3 fourierdlem36.assr . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
4 ltso 11193 . . . . . . 7 < Or ℝ
5 soss 5563 . . . . . . 7 (𝐴 ⊆ ℝ → ( < Or ℝ → < Or 𝐴))
63, 4, 5mpisyl 21 . . . . . 6 (𝜑 → < Or 𝐴)
7 0zd 12469 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
8 eqid 2736 . . . . . 6 ((♯‘𝐴) + (0 − 1)) = ((♯‘𝐴) + (0 − 1))
92, 6, 7, 8fzisoeu 43433 . . . . 5 (𝜑 → ∃!𝑓 𝑓 Isom < , < ((0...((♯‘𝐴) + (0 − 1))), 𝐴))
10 hashcl 14210 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
112, 10syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
1211nn0cnd 12433 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℂ)
13 1cnd 11108 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
1412, 13negsubd 11476 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((♯‘𝐴) + -1) = ((♯‘𝐴) − 1))
15 df-neg 11346 . . . . . . . . . . 11 -1 = (0 − 1)
1615eqcomi 2745 . . . . . . . . . 10 (0 − 1) = -1
1716oveq2i 7362 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝐴) + (0 − 1)) = ((♯‘𝐴) + -1)
18 fourierdlem36.n . . . . . . . . 9 𝑁 = ((♯‘𝐴) − 1)
1914, 17, 183eqtr4g 2801 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((♯‘𝐴) + (0 − 1)) = 𝑁)
2019oveq2d 7367 . . . . . . 7 (𝜑 → (0...((♯‘𝐴) + (0 − 1))) = (0...𝑁))
21 isoeq4 7261 . . . . . . 7 ((0...((♯‘𝐴) + (0 − 1))) = (0...𝑁) → (𝑓 Isom < , < ((0...((♯‘𝐴) + (0 − 1))), 𝐴) ↔ 𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴)))
2220, 21syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑓 Isom < , < ((0...((♯‘𝐴) + (0 − 1))), 𝐴) ↔ 𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴)))
2322eubidv 2584 . . . . 5 (𝜑 → (∃!𝑓 𝑓 Isom < , < ((0...((♯‘𝐴) + (0 − 1))), 𝐴) ↔ ∃!𝑓 𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴)))
249, 23mpbid 231 . . . 4 (𝜑 → ∃!𝑓 𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴))
25 iotacl 6479 . . . 4 (∃!𝑓 𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴) → (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴)) ∈ {𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴)})
2624, 25syl 17 . . 3 (𝜑 → (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴)) ∈ {𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴)})
271, 26eqeltrid 2842 . 2 (𝜑𝐹 ∈ {𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴)})
28 iotaex 6466 . . . 4 (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴)) ∈ V
291, 28eqeltri 2834 . . 3 𝐹 ∈ V
30 isoeq1 7258 . . 3 (𝑓 = 𝐹 → (𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴) ↔ 𝐹 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴)))
3129, 30elab 3628 . 2 (𝐹 ∈ {𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴)} ↔ 𝐹 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴))
3227, 31sylib 217 1 (𝜑𝐹 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205   = wceq 1541  wcel 2106  ∃!weu 2566  {cab 2713  Vcvv 3443  wss 3908   Or wor 5542  cio 6443  cfv 6493   Isom wiso 6494  (class class class)co 7351  Fincfn 8841  cr 11008  0cc0 11009  1c1 11010   + caddc 11012   < clt 11147  cmin 11343  -cneg 11344  0cn0 12371  ...cfz 13378  chash 14184
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-inf2 9535  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-se 5587  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7307  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-om 7795  df-1st 7913  df-2nd 7914  df-frecs 8204  df-wrecs 8235  df-recs 8309  df-rdg 8348  df-1o 8404  df-er 8606  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-fin 8845  df-oi 9404  df-card 9833  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-xr 11151  df-ltxr 11152  df-le 11153  df-sub 11345  df-neg 11346  df-nn 12112  df-n0 12372  df-z 12458  df-uz 12722  df-fz 13379  df-hash 14185
This theorem is referenced by:  fourierdlem50  44292  fourierdlem51  44293  fourierdlem52  44294  fourierdlem54  44296  fourierdlem76  44318  fourierdlem102  44344  fourierdlem103  44345  fourierdlem104  44346  fourierdlem114  44356
  Copyright terms: Public domain W3C validator