Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem36 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem36 44470
Description: 𝐹 is an isomorphism. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem36.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fourierdlem36.assr (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
fourierdlem36.f 𝐹 = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴))
fourierdlem36.n 𝑁 = ((♯‘𝐴) − 1)
Assertion
Ref Expression
fourierdlem36 (𝜑𝐹 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝑓,𝐹   𝑓,𝑁   𝜑,𝑓

Proof of Theorem fourierdlem36
StepHypRef Expression
1 fourierdlem36.f . . 3 𝐹 = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴))
2 fourierdlem36.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
3 fourierdlem36.assr . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
4 ltso 11240 . . . . . . 7 < Or ℝ
5 soss 5566 . . . . . . 7 (𝐴 ⊆ ℝ → ( < Or ℝ → < Or 𝐴))
63, 4, 5mpisyl 21 . . . . . 6 (𝜑 → < Or 𝐴)
7 0zd 12516 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
8 eqid 2733 . . . . . 6 ((♯‘𝐴) + (0 − 1)) = ((♯‘𝐴) + (0 − 1))
92, 6, 7, 8fzisoeu 43621 . . . . 5 (𝜑 → ∃!𝑓 𝑓 Isom < , < ((0...((♯‘𝐴) + (0 − 1))), 𝐴))
10 hashcl 14262 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
112, 10syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
1211nn0cnd 12480 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℂ)
13 1cnd 11155 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
1412, 13negsubd 11523 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((♯‘𝐴) + -1) = ((♯‘𝐴) − 1))
15 df-neg 11393 . . . . . . . . . . 11 -1 = (0 − 1)
1615eqcomi 2742 . . . . . . . . . 10 (0 − 1) = -1
1716oveq2i 7369 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝐴) + (0 − 1)) = ((♯‘𝐴) + -1)
18 fourierdlem36.n . . . . . . . . 9 𝑁 = ((♯‘𝐴) − 1)
1914, 17, 183eqtr4g 2798 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((♯‘𝐴) + (0 − 1)) = 𝑁)
2019oveq2d 7374 . . . . . . 7 (𝜑 → (0...((♯‘𝐴) + (0 − 1))) = (0...𝑁))
21 isoeq4 7266 . . . . . . 7 ((0...((♯‘𝐴) + (0 − 1))) = (0...𝑁) → (𝑓 Isom < , < ((0...((♯‘𝐴) + (0 − 1))), 𝐴) ↔ 𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴)))
2220, 21syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑓 Isom < , < ((0...((♯‘𝐴) + (0 − 1))), 𝐴) ↔ 𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴)))
2322eubidv 2581 . . . . 5 (𝜑 → (∃!𝑓 𝑓 Isom < , < ((0...((♯‘𝐴) + (0 − 1))), 𝐴) ↔ ∃!𝑓 𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴)))
249, 23mpbid 231 . . . 4 (𝜑 → ∃!𝑓 𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴))
25 iotacl 6483 . . . 4 (∃!𝑓 𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴) → (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴)) ∈ {𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴)})
2624, 25syl 17 . . 3 (𝜑 → (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴)) ∈ {𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴)})
271, 26eqeltrid 2838 . 2 (𝜑𝐹 ∈ {𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴)})
28 iotaex 6470 . . . 4 (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴)) ∈ V
291, 28eqeltri 2830 . . 3 𝐹 ∈ V
30 isoeq1 7263 . . 3 (𝑓 = 𝐹 → (𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴) ↔ 𝐹 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴)))
3129, 30elab 3631 . 2 (𝐹 ∈ {𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴)} ↔ 𝐹 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴))
3227, 31sylib 217 1 (𝜑𝐹 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205   = wceq 1542  wcel 2107  ∃!weu 2563  {cab 2710  Vcvv 3444  wss 3911   Or wor 5545  cio 6447  cfv 6497   Isom wiso 6498  (class class class)co 7358  Fincfn 8886  cr 11055  0cc0 11056  1c1 11057   + caddc 11059   < clt 11194  cmin 11390  -cneg 11391  0cn0 12418  ...cfz 13430  chash 14236
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-oi 9451  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-fz 13431  df-hash 14237
This theorem is referenced by:  fourierdlem50  44483  fourierdlem51  44484  fourierdlem52  44485  fourierdlem54  44487  fourierdlem76  44509  fourierdlem102  44535  fourierdlem103  44536  fourierdlem104  44537  fourierdlem114  44547
  Copyright terms: Public domain W3C validator