Theorem fourierdlem36 46148

Description: 𝐹 is an isomorphism. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem36.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fourierdlem36.assr	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
fourierdlem36.f	⊢ 𝐹 = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴))
fourierdlem36.n	⊢ 𝑁 = ((♯‘𝐴) − 1)

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem36	⊢ (𝜑 → 𝐹 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝑓,𝐹   𝑓,𝑁   𝜑,𝑓

Proof of Theorem fourierdlem36

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem36.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴))
2		fourierdlem36.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
3		fourierdlem36.assr	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
4		ltso 11261	. . . . . . 7 ⊢ < Or ℝ
5		soss 5569	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → ( < Or ℝ → < Or 𝐴))
6	3, 4, 5	mpisyl 21	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → < Or 𝐴)
7		0zd 12548	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
8		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐴) + (0 − 1)) = ((♯‘𝐴) + (0 − 1))
9	2, 6, 7, 8	fzisoeu 45305	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑓 𝑓 Isom < , < ((0...((♯‘𝐴) + (0 − 1))), 𝐴))
10		hashcl 14328	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
11	2, 10	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
12	11	nn0cnd 12512	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℂ)
13		1cnd 11176	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
14	12, 13	negsubd 11546	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐴) + -1) = ((♯‘𝐴) − 1))
15		df-neg 11415	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -1 = (0 − 1)
16	15	eqcomi 2739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 − 1) = -1
17	16	oveq2i 7401	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝐴) + (0 − 1)) = ((♯‘𝐴) + -1)
18		fourierdlem36.n	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑁 = ((♯‘𝐴) − 1)
19	14, 17, 18	3eqtr4g 2790	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐴) + (0 − 1)) = 𝑁)
20	19	oveq2d 7406	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0...((♯‘𝐴) + (0 − 1))) = (0...𝑁))
21		isoeq4 7298	. . . . . . 7 ⊢ ((0...((♯‘𝐴) + (0 − 1))) = (0...𝑁) → (𝑓 Isom < , < ((0...((♯‘𝐴) + (0 − 1))), 𝐴) ↔ 𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴)))
22	20, 21	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑓 Isom < , < ((0...((♯‘𝐴) + (0 − 1))), 𝐴) ↔ 𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴)))
23	22	eubidv 2580	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃!𝑓 𝑓 Isom < , < ((0...((♯‘𝐴) + (0 − 1))), 𝐴) ↔ ∃!𝑓 𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴)))
24	9, 23	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑓 𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴))
25		iotacl 6500	. . . 4 ⊢ (∃!𝑓 𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴) → (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴)) ∈ {𝑓 ∣ 𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴)})
26	24, 25	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴)) ∈ {𝑓 ∣ 𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴)})
27	1, 26	eqeltrid 2833	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ {𝑓 ∣ 𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴)})
28		iotaex 6487	. . . 4 ⊢ (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴)) ∈ V
29	1, 28	eqeltri 2825	. . 3 ⊢ 𝐹 ∈ V
30		isoeq1 7295	. . 3 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴) ↔ 𝐹 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴)))
31	29, 30	elab 3649	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ {𝑓 ∣ 𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴)} ↔ 𝐹 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴))
32	27, 31	sylib 218	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃!weu 2562  {cab 2708  Vcvv 3450   ⊆ wss 3917   Or wor 5548  ℩cio 6465  ‘cfv 6514   Isom wiso 6515  (class class class)co 7390  Fincfn 8921  ℝcr 11074  0cc0 11075  1c1 11076   + caddc 11078   < clt 11215   − cmin 11412  -cneg 11413  ℕ₀cn0 12449  ...cfz 13475  ♯chash 14302

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-inf2 9601  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-oi 9470  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-fz 13476  df-hash 14303

This theorem is referenced by:  fourierdlem50  46161  fourierdlem51  46162  fourierdlem52  46163  fourierdlem54  46165  fourierdlem76  46187  fourierdlem102  46213  fourierdlem103  46214  fourierdlem104  46215  fourierdlem114  46225