Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem36 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem36 45454
Description: 𝐹 is an isomorphism. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem36.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fourierdlem36.assr (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
fourierdlem36.f 𝐹 = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴))
fourierdlem36.n 𝑁 = ((♯‘𝐴) − 1)
Assertion
Ref Expression
fourierdlem36 (𝜑𝐹 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝑓,𝐹   𝑓,𝑁   𝜑,𝑓

Proof of Theorem fourierdlem36
StepHypRef Expression
1 fourierdlem36.f . . 3 𝐹 = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴))
2 fourierdlem36.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
3 fourierdlem36.assr . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
4 ltso 11316 . . . . . . 7 < Or ℝ
5 soss 5604 . . . . . . 7 (𝐴 ⊆ ℝ → ( < Or ℝ → < Or 𝐴))
63, 4, 5mpisyl 21 . . . . . 6 (𝜑 → < Or 𝐴)
7 0zd 12592 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
8 eqid 2727 . . . . . 6 ((♯‘𝐴) + (0 − 1)) = ((♯‘𝐴) + (0 − 1))
92, 6, 7, 8fzisoeu 44605 . . . . 5 (𝜑 → ∃!𝑓 𝑓 Isom < , < ((0...((♯‘𝐴) + (0 − 1))), 𝐴))
10 hashcl 14339 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
112, 10syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
1211nn0cnd 12556 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℂ)
13 1cnd 11231 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
1412, 13negsubd 11599 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((♯‘𝐴) + -1) = ((♯‘𝐴) − 1))
15 df-neg 11469 . . . . . . . . . . 11 -1 = (0 − 1)
1615eqcomi 2736 . . . . . . . . . 10 (0 − 1) = -1
1716oveq2i 7425 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝐴) + (0 − 1)) = ((♯‘𝐴) + -1)
18 fourierdlem36.n . . . . . . . . 9 𝑁 = ((♯‘𝐴) − 1)
1914, 17, 183eqtr4g 2792 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((♯‘𝐴) + (0 − 1)) = 𝑁)
2019oveq2d 7430 . . . . . . 7 (𝜑 → (0...((♯‘𝐴) + (0 − 1))) = (0...𝑁))
21 isoeq4 7322 . . . . . . 7 ((0...((♯‘𝐴) + (0 − 1))) = (0...𝑁) → (𝑓 Isom < , < ((0...((♯‘𝐴) + (0 − 1))), 𝐴) ↔ 𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴)))
2220, 21syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑓 Isom < , < ((0...((♯‘𝐴) + (0 − 1))), 𝐴) ↔ 𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴)))
2322eubidv 2575 . . . . 5 (𝜑 → (∃!𝑓 𝑓 Isom < , < ((0...((♯‘𝐴) + (0 − 1))), 𝐴) ↔ ∃!𝑓 𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴)))
249, 23mpbid 231 . . . 4 (𝜑 → ∃!𝑓 𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴))
25 iotacl 6528 . . . 4 (∃!𝑓 𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴) → (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴)) ∈ {𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴)})
2624, 25syl 17 . . 3 (𝜑 → (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴)) ∈ {𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴)})
271, 26eqeltrid 2832 . 2 (𝜑𝐹 ∈ {𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴)})
28 iotaex 6515 . . . 4 (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴)) ∈ V
291, 28eqeltri 2824 . . 3 𝐹 ∈ V
30 isoeq1 7319 . . 3 (𝑓 = 𝐹 → (𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴) ↔ 𝐹 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴)))
3129, 30elab 3665 . 2 (𝐹 ∈ {𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴)} ↔ 𝐹 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴))
3227, 31sylib 217 1 (𝜑𝐹 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205   = wceq 1534  wcel 2099  ∃!weu 2557  {cab 2704  Vcvv 3469  wss 3944   Or wor 5583  cio 6492  cfv 6542   Isom wiso 6543  (class class class)co 7414  Fincfn 8955  cr 11129  0cc0 11130  1c1 11131   + caddc 11133   < clt 11270  cmin 11466  -cneg 11467  0cn0 12494  ...cfz 13508  chash 14313
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-inf2 9656  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-oi 9525  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-fz 13509  df-hash 14314
This theorem is referenced by:  fourierdlem50  45467  fourierdlem51  45468  fourierdlem52  45469  fourierdlem54  45471  fourierdlem76  45493  fourierdlem102  45519  fourierdlem103  45520  fourierdlem104  45521  fourierdlem114  45531
  Copyright terms: Public domain W3C validator