Theorem fourierdlem36 46586

Description: 𝐹 is an isomorphism. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem36.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fourierdlem36.assr	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
fourierdlem36.f	⊢ 𝐹 = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴))
fourierdlem36.n	⊢ 𝑁 = ((♯‘𝐴) − 1)

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem36	⊢ (𝜑 → 𝐹 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝑓,𝐹   𝑓,𝑁   𝜑,𝑓

Proof of Theorem fourierdlem36

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem36.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴))
2		fourierdlem36.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
3		fourierdlem36.assr	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
4		ltso 11217	. . . . . . 7 ⊢ < Or ℝ
5		soss 5546	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → ( < Or ℝ → < Or 𝐴))
6	3, 4, 5	mpisyl 21	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → < Or 𝐴)
7		0zd 12527	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
8		eqid 2739	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐴) + (0 − 1)) = ((♯‘𝐴) + (0 − 1))
9	2, 6, 7, 8	fzisoeu 45748	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑓 𝑓 Isom < , < ((0...((♯‘𝐴) + (0 − 1))), 𝐴))
10		hashcl 14309	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
11	2, 10	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
12	11	nn0cnd 12491	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℂ)
13		1cnd 11130	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
14	12, 13	negsubd 11502	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐴) + -1) = ((♯‘𝐴) − 1))
15		df-neg 11371	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -1 = (0 − 1)
16	15	eqcomi 2748	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 − 1) = -1
17	16	oveq2i 7367	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝐴) + (0 − 1)) = ((♯‘𝐴) + -1)
18		fourierdlem36.n	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑁 = ((♯‘𝐴) − 1)
19	14, 17, 18	3eqtr4g 2799	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐴) + (0 − 1)) = 𝑁)
20	19	oveq2d 7372	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0...((♯‘𝐴) + (0 − 1))) = (0...𝑁))
21		isoeq4 7264	. . . . . . 7 ⊢ ((0...((♯‘𝐴) + (0 − 1))) = (0...𝑁) → (𝑓 Isom < , < ((0...((♯‘𝐴) + (0 − 1))), 𝐴) ↔ 𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴)))
22	20, 21	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑓 Isom < , < ((0...((♯‘𝐴) + (0 − 1))), 𝐴) ↔ 𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴)))
23	22	eubidv 2590	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃!𝑓 𝑓 Isom < , < ((0...((♯‘𝐴) + (0 − 1))), 𝐴) ↔ ∃!𝑓 𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴)))
24	9, 23	mpbid 233	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑓 𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴))
25		iotacl 6471	. . . 4 ⊢ (∃!𝑓 𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴) → (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴)) ∈ {𝑓 ∣ 𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴)})
26	24, 25	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴)) ∈ {𝑓 ∣ 𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴)})
27	1, 26	eqeltrid 2843	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ {𝑓 ∣ 𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴)})
28		iotaex 6461	. . . 4 ⊢ (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴)) ∈ V
29	1, 28	eqeltri 2835	. . 3 ⊢ 𝐹 ∈ V
30		isoeq1 7261	. . 3 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴) ↔ 𝐹 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴)))
31	29, 30	elab 3617	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ {𝑓 ∣ 𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴)} ↔ 𝐹 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴))
32	27, 31	sylib 219	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∃!weu 2572  {cab 2717  Vcvv 3431   ⊆ wss 3883   Or wor 5525  ℩cio 6439  ‘cfv 6485   Isom wiso 6486  (class class class)co 7356  Fincfn 8883  ℝcr 11028  0cc0 11029  1c1 11030   + caddc 11032   < clt 11170   − cmin 11368  -cneg 11369  ℕ₀cn0 12428  ...cfz 13452  ♯chash 14283

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-inf2 9553  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-se 5572  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-isom 6494  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-oi 9415  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453  df-hash 14284

This theorem is referenced by:  fourierdlem50  46599  fourierdlem51  46600  fourierdlem52  46601  fourierdlem54  46603  fourierdlem76  46625  fourierdlem102  46651  fourierdlem103  46652  fourierdlem104  46653  fourierdlem114  46663