Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgrwopreg2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frgrwopreg2 28104
 Description: According to statement 5 in [Huneke] p. 2: "If ... B is a singleton, then that singleton is a universal friend". (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Jan-2018.) (Proof shortened by AV, 4-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
frgrwopreg.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
frgrwopreg.d 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
frgrwopreg.a 𝐴 = {𝑥𝑉 ∣ (𝐷𝑥) = 𝐾}
frgrwopreg.b 𝐵 = (𝑉𝐴)
frgrwopreg.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
frgrwopreg2 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (♯‘𝐵) = 1) → ∃𝑣𝑉𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑉   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝑥,𝐾   𝑥,𝐷   𝑥,𝐵   𝑣,𝐴,𝑤   𝑣,𝐵,𝑤   𝑣,𝐸   𝑣,𝐺,𝑤,𝑥   𝑤,𝑉,𝑣
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑤,𝑣)   𝐸(𝑥,𝑤)   𝐾(𝑤,𝑣)

Proof of Theorem frgrwopreg2
StepHypRef Expression
1 frgrwopreg.v . . . . . 6 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 frgrwopreg.d . . . . . 6 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
3 frgrwopreg.a . . . . . 6 𝐴 = {𝑥𝑉 ∣ (𝐷𝑥) = 𝐾}
4 frgrwopreg.b . . . . . 6 𝐵 = (𝑉𝐴)
51, 2, 3, 4frgrwopreglem1 28097 . . . . 5 (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V)
65simpri 489 . . . 4 𝐵 ∈ V
7 hash1snb 13776 . . . 4 (𝐵 ∈ V → ((♯‘𝐵) = 1 ↔ ∃𝑣 𝐵 = {𝑣}))
86, 7ax-mp 5 . . 3 ((♯‘𝐵) = 1 ↔ ∃𝑣 𝐵 = {𝑣})
9 exsnrex 4578 . . . . 5 (∃𝑣 𝐵 = {𝑣} ↔ ∃𝑣𝐵 𝐵 = {𝑣})
10 difss 4059 . . . . . . . 8 (𝑉𝐴) ⊆ 𝑉
114, 10eqsstri 3949 . . . . . . 7 𝐵𝑉
12 ssrexv 3982 . . . . . . 7 (𝐵𝑉 → (∃𝑣𝐵 𝐵 = {𝑣} → ∃𝑣𝑉 𝐵 = {𝑣}))
1311, 12ax-mp 5 . . . . . 6 (∃𝑣𝐵 𝐵 = {𝑣} → ∃𝑣𝑉 𝐵 = {𝑣})
14 frgrwopreg.e . . . . . . . . 9 𝐸 = (Edg‘𝐺)
151, 2, 3, 4, 14frgrwopregbsn 28102 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑣𝑉𝐵 = {𝑣}) → ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)
16153expia 1118 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑣𝑉) → (𝐵 = {𝑣} → ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))
1716reximdva 3233 . . . . . 6 (𝐺 ∈ FriendGraph → (∃𝑣𝑉 𝐵 = {𝑣} → ∃𝑣𝑉𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))
1813, 17syl5com 31 . . . . 5 (∃𝑣𝐵 𝐵 = {𝑣} → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑣𝑉𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))
199, 18sylbi 220 . . . 4 (∃𝑣 𝐵 = {𝑣} → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑣𝑉𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))
2019com12 32 . . 3 (𝐺 ∈ FriendGraph → (∃𝑣 𝐵 = {𝑣} → ∃𝑣𝑉𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))
218, 20syl5bi 245 . 2 (𝐺 ∈ FriendGraph → ((♯‘𝐵) = 1 → ∃𝑣𝑉𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))
2221imp 410 1 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (♯‘𝐵) = 1) → ∃𝑣𝑉𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538  ∃wex 1781   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106  ∃wrex 3107  {crab 3110  Vcvv 3441   ∖ cdif 3878   ⊆ wss 3881  {csn 4525  {cpr 4527  ‘cfv 6324  1c1 10527  ♯chash 13686  Vtxcvtx 26789  Edgcedg 26840  VtxDegcvtxdg 27255   FriendGraph cfrgr 28043 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-2o 8086  df-oadd 8089  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-dju 9314  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-n0 11886  df-xnn0 11956  df-z 11970  df-uz 12232  df-xadd 12496  df-fz 12886  df-hash 13687  df-edg 26841  df-uhgr 26851  df-ushgr 26852  df-upgr 26875  df-umgr 26876  df-uspgr 26943  df-usgr 26944  df-nbgr 27123  df-vtxdg 27256  df-frgr 28044 This theorem is referenced by:  frgrregorufr0  28109
 Copyright terms: Public domain W3C validator