Theorem frgrwopreg2 30351

Description: According to statement 5 in [Huneke] p. 2: "If ... B is a singleton, then that singleton is a universal friend". (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Jan-2018.) (Proof shortened by AV, 4-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
frgrwopreg.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
frgrwopreg.d	⊢ 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
frgrwopreg.a	⊢ 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ (𝐷‘𝑥) = 𝐾}
frgrwopreg.b	⊢ 𝐵 = (𝑉 ∖ 𝐴)
frgrwopreg.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
frgrwopreg2	⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (♯‘𝐵) = 1) → ∃𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑉   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝑥,𝐾   𝑥,𝐷   𝑥,𝐵   𝑣,𝐴,𝑤   𝑣,𝐵,𝑤   𝑣,𝐸   𝑣,𝐺,𝑤,𝑥   𝑤,𝑉,𝑣

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑤,𝑣)   𝐸(𝑥,𝑤)   𝐾(𝑤,𝑣)

Proof of Theorem frgrwopreg2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frgrwopreg.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		frgrwopreg.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
3		frgrwopreg.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ (𝐷‘𝑥) = 𝐾}
4		frgrwopreg.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (𝑉 ∖ 𝐴)
5	1, 2, 3, 4	frgrwopreglem1 30344	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V)
6	5	simpri 485	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
7		hash1snb 14468	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ V → ((♯‘𝐵) = 1 ↔ ∃𝑣 𝐵 = {𝑣}))
8	6, 7	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((♯‘𝐵) = 1 ↔ ∃𝑣 𝐵 = {𝑣})
9		exsnrex 4704	. . . . 5 ⊢ (∃𝑣 𝐵 = {𝑣} ↔ ∃𝑣 ∈ 𝐵 𝐵 = {𝑣})
10		difss 4159	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑉 ∖ 𝐴) ⊆ 𝑉
11	4, 10	eqsstri 4043	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ⊆ 𝑉
12		ssrexv 4078	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝑉 → (∃𝑣 ∈ 𝐵 𝐵 = {𝑣} → ∃𝑣 ∈ 𝑉 𝐵 = {𝑣}))
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑣 ∈ 𝐵 𝐵 = {𝑣} → ∃𝑣 ∈ 𝑉 𝐵 = {𝑣})
14		frgrwopreg.e	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
15	1, 2, 3, 4, 14	frgrwopregbsn 30349	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 = {𝑣}) → ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)
16	15	3expia 1121	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝐵 = {𝑣} → ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))
17	16	reximdva 3174	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → (∃𝑣 ∈ 𝑉 𝐵 = {𝑣} → ∃𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))
18	13, 17	syl5com 31	. . . . 5 ⊢ (∃𝑣 ∈ 𝐵 𝐵 = {𝑣} → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))
19	9, 18	sylbi 217	. . . 4 ⊢ (∃𝑣 𝐵 = {𝑣} → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))
20	19	com12 32	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → (∃𝑣 𝐵 = {𝑣} → ∃𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))
21	8, 20	biimtrid 242	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → ((♯‘𝐵) = 1 → ∃𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))
22	21	imp 406	1 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (♯‘𝐵) = 1) → ∃𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537  ∃wex 1777   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067  ∃wrex 3076  {crab 3443  Vcvv 3488   ∖ cdif 3973   ⊆ wss 3976  {csn 4648  {cpr 4650  ‘cfv 6573  1c1 11185  ♯chash 14379  Vtxcvtx 29031  Edgcedg 29082  VtxDegcvtxdg 29501   FriendGraph cfrgr 30290

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-oadd 8526  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-dju 9970  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-n0 12554  df-xnn0 12626  df-z 12640  df-uz 12904  df-xadd 13176  df-fz 13568  df-hash 14380  df-edg 29083  df-uhgr 29093  df-ushgr 29094  df-upgr 29117  df-umgr 29118  df-uspgr 29185  df-usgr 29186  df-nbgr 29368  df-vtxdg 29502  df-frgr 30291

This theorem is referenced by:  frgrregorufr0  30356