Theorem frgrwopreg2 28374

Description: According to statement 5 in [Huneke] p. 2: "If ... B is a singleton, then that singleton is a universal friend". (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Jan-2018.) (Proof shortened by AV, 4-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
frgrwopreg.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
frgrwopreg.d	⊢ 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
frgrwopreg.a	⊢ 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ (𝐷‘𝑥) = 𝐾}
frgrwopreg.b	⊢ 𝐵 = (𝑉 ∖ 𝐴)
frgrwopreg.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
frgrwopreg2	⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (♯‘𝐵) = 1) → ∃𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑉   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝑥,𝐾   𝑥,𝐷   𝑥,𝐵   𝑣,𝐴,𝑤   𝑣,𝐵,𝑤   𝑣,𝐸   𝑣,𝐺,𝑤,𝑥   𝑤,𝑉,𝑣

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑤,𝑣)   𝐸(𝑥,𝑤)   𝐾(𝑤,𝑣)

Proof of Theorem frgrwopreg2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frgrwopreg.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		frgrwopreg.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
3		frgrwopreg.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ (𝐷‘𝑥) = 𝐾}
4		frgrwopreg.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (𝑉 ∖ 𝐴)
5	1, 2, 3, 4	frgrwopreglem1 28367	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V)
6	5	simpri 489	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
7		hash1snb 13969	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ V → ((♯‘𝐵) = 1 ↔ ∃𝑣 𝐵 = {𝑣}))
8	6, 7	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((♯‘𝐵) = 1 ↔ ∃𝑣 𝐵 = {𝑣})
9		exsnrex 4586	. . . . 5 ⊢ (∃𝑣 𝐵 = {𝑣} ↔ ∃𝑣 ∈ 𝐵 𝐵 = {𝑣})
10		difss 4036	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑉 ∖ 𝐴) ⊆ 𝑉
11	4, 10	eqsstri 3925	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ⊆ 𝑉
12		ssrexv 3958	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝑉 → (∃𝑣 ∈ 𝐵 𝐵 = {𝑣} → ∃𝑣 ∈ 𝑉 𝐵 = {𝑣}))
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑣 ∈ 𝐵 𝐵 = {𝑣} → ∃𝑣 ∈ 𝑉 𝐵 = {𝑣})
14		frgrwopreg.e	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
15	1, 2, 3, 4, 14	frgrwopregbsn 28372	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 = {𝑣}) → ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)
16	15	3expia 1123	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝐵 = {𝑣} → ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))
17	16	reximdva 3186	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → (∃𝑣 ∈ 𝑉 𝐵 = {𝑣} → ∃𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))
18	13, 17	syl5com 31	. . . . 5 ⊢ (∃𝑣 ∈ 𝐵 𝐵 = {𝑣} → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))
19	9, 18	sylbi 220	. . . 4 ⊢ (∃𝑣 𝐵 = {𝑣} → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))
20	19	com12 32	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → (∃𝑣 𝐵 = {𝑣} → ∃𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))
21	8, 20	syl5bi 245	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → ((♯‘𝐵) = 1 → ∃𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))
22	21	imp 410	1 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (♯‘𝐵) = 1) → ∃𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1543  ∃wex 1787   ∈ wcel 2110  ∀wral 3054  ∃wrex 3055  {crab 3058  Vcvv 3401   ∖ cdif 3854   ⊆ wss 3857  {csn 4531  {cpr 4533  ‘cfv 6369  1c1 10713  ♯chash 13879  Vtxcvtx 27059  Edgcedg 27110  VtxDegcvtxdg 27525   FriendGraph cfrgr 28313

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5168  ax-sep 5181  ax-nul 5188  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7512  ax-cnex 10768  ax-resscn 10769  ax-1cn 10770  ax-icn 10771  ax-addcl 10772  ax-addrcl 10773  ax-mulcl 10774  ax-mulrcl 10775  ax-mulcom 10776  ax-addass 10777  ax-mulass 10778  ax-distr 10779  ax-i2m1 10780  ax-1ne0 10781  ax-1rid 10782  ax-rnegex 10783  ax-rrecex 10784  ax-cnre 10785  ax-pre-lttri 10786  ax-pre-lttrn 10787  ax-pre-ltadd 10788  ax-pre-mulgt0 10789

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3403  df-sbc 3688  df-csb 3803  df-dif 3860  df-un 3862  df-in 3864  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4228  df-if 4430  df-pw 4505  df-sn 4532  df-pr 4534  df-tp 4536  df-op 4538  df-uni 4810  df-int 4850  df-iun 4896  df-br 5044  df-opab 5106  df-mpt 5125  df-tr 5151  df-id 5444  df-eprel 5449  df-po 5457  df-so 5458  df-fr 5498  df-we 5500  df-xp 5546  df-rel 5547  df-cnv 5548  df-co 5549  df-dm 5550  df-rn 5551  df-res 5552  df-ima 5553  df-pred 6149  df-ord 6205  df-on 6206  df-lim 6207  df-suc 6208  df-iota 6327  df-fun 6371  df-fn 6372  df-f 6373  df-f1 6374  df-fo 6375  df-f1o 6376  df-fv 6377  df-riota 7159  df-ov 7205  df-oprab 7206  df-mpo 7207  df-om 7634  df-1st 7750  df-2nd 7751  df-wrecs 8036  df-recs 8097  df-rdg 8135  df-1o 8191  df-2o 8192  df-oadd 8195  df-er 8380  df-en 8616  df-dom 8617  df-sdom 8618  df-fin 8619  df-dju 9500  df-card 9538  df-pnf 10852  df-mnf 10853  df-xr 10854  df-ltxr 10855  df-le 10856  df-sub 11047  df-neg 11048  df-nn 11814  df-2 11876  df-n0 12074  df-xnn0 12146  df-z 12160  df-uz 12422  df-xadd 12688  df-fz 13079  df-hash 13880  df-edg 27111  df-uhgr 27121  df-ushgr 27122  df-upgr 27145  df-umgr 27146  df-uspgr 27213  df-usgr 27214  df-nbgr 27393  df-vtxdg 27526  df-frgr 28314

This theorem is referenced by:  frgrregorufr0  28379