MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgrwopreg2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frgrwopreg2 28724
Description: According to statement 5 in [Huneke] p. 2: "If ... B is a singleton, then that singleton is a universal friend". (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Jan-2018.) (Proof shortened by AV, 4-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
frgrwopreg.v 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
frgrwopreg.d 𝐷 = (VtxDegβ€˜πΊ)
frgrwopreg.a 𝐴 = {π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ (π·β€˜π‘₯) = 𝐾}
frgrwopreg.b 𝐡 = (𝑉 βˆ– 𝐴)
frgrwopreg.e 𝐸 = (Edgβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
frgrwopreg2 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (β™―β€˜π΅) = 1) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ 𝐸)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑉   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐺   π‘₯,𝐾   π‘₯,𝐷   π‘₯,𝐡   𝑣,𝐴,𝑀   𝑣,𝐡,𝑀   𝑣,𝐸   𝑣,𝐺,𝑀,π‘₯   𝑀,𝑉,𝑣
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑀,𝑣)   𝐸(π‘₯,𝑀)   𝐾(𝑀,𝑣)

Proof of Theorem frgrwopreg2
StepHypRef Expression
1 frgrwopreg.v . . . . . 6 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
2 frgrwopreg.d . . . . . 6 𝐷 = (VtxDegβ€˜πΊ)
3 frgrwopreg.a . . . . . 6 𝐴 = {π‘₯ ∈ 𝑉 ∣ (π·β€˜π‘₯) = 𝐾}
4 frgrwopreg.b . . . . . 6 𝐡 = (𝑉 βˆ– 𝐴)
51, 2, 3, 4frgrwopreglem1 28717 . . . . 5 (𝐴 ∈ V ∧ 𝐡 ∈ V)
65simpri 487 . . . 4 𝐡 ∈ V
7 hash1snb 14175 . . . 4 (𝐡 ∈ V β†’ ((β™―β€˜π΅) = 1 ↔ βˆƒπ‘£ 𝐡 = {𝑣}))
86, 7ax-mp 5 . . 3 ((β™―β€˜π΅) = 1 ↔ βˆƒπ‘£ 𝐡 = {𝑣})
9 exsnrex 4620 . . . . 5 (βˆƒπ‘£ 𝐡 = {𝑣} ↔ βˆƒπ‘£ ∈ 𝐡 𝐡 = {𝑣})
10 difss 4072 . . . . . . . 8 (𝑉 βˆ– 𝐴) βŠ† 𝑉
114, 10eqsstri 3960 . . . . . . 7 𝐡 βŠ† 𝑉
12 ssrexv 3993 . . . . . . 7 (𝐡 βŠ† 𝑉 β†’ (βˆƒπ‘£ ∈ 𝐡 𝐡 = {𝑣} β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 𝐡 = {𝑣}))
1311, 12ax-mp 5 . . . . . 6 (βˆƒπ‘£ ∈ 𝐡 𝐡 = {𝑣} β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 𝐡 = {𝑣})
14 frgrwopreg.e . . . . . . . . 9 𝐸 = (Edgβ€˜πΊ)
151, 2, 3, 4, 14frgrwopregbsn 28722 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 = {𝑣}) β†’ βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ 𝐸)
16153expia 1121 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ (𝐡 = {𝑣} β†’ βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ 𝐸))
1716reximdva 3162 . . . . . 6 (𝐺 ∈ FriendGraph β†’ (βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 𝐡 = {𝑣} β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ 𝐸))
1813, 17syl5com 31 . . . . 5 (βˆƒπ‘£ ∈ 𝐡 𝐡 = {𝑣} β†’ (𝐺 ∈ FriendGraph β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ 𝐸))
199, 18sylbi 216 . . . 4 (βˆƒπ‘£ 𝐡 = {𝑣} β†’ (𝐺 ∈ FriendGraph β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ 𝐸))
2019com12 32 . . 3 (𝐺 ∈ FriendGraph β†’ (βˆƒπ‘£ 𝐡 = {𝑣} β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ 𝐸))
218, 20syl5bi 243 . 2 (𝐺 ∈ FriendGraph β†’ ((β™―β€˜π΅) = 1 β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ 𝐸))
2221imp 408 1 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (β™―β€˜π΅) = 1) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1539  βˆƒwex 1779   ∈ wcel 2104  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  {crab 3284  Vcvv 3437   βˆ– cdif 3889   βŠ† wss 3892  {csn 4565  {cpr 4567  β€˜cfv 6454  1c1 10914  β™―chash 14086  Vtxcvtx 27407  Edgcedg 27458  VtxDegcvtxdg 27873   FriendGraph cfrgr 28663
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-rep 5218  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7616  ax-cnex 10969  ax-resscn 10970  ax-1cn 10971  ax-icn 10972  ax-addcl 10973  ax-addrcl 10974  ax-mulcl 10975  ax-mulrcl 10976  ax-mulcom 10977  ax-addass 10978  ax-mulass 10979  ax-distr 10980  ax-i2m1 10981  ax-1ne0 10982  ax-1rid 10983  ax-rnegex 10984  ax-rrecex 10985  ax-cnre 10986  ax-pre-lttri 10987  ax-pre-lttrn 10988  ax-pre-ltadd 10989  ax-pre-mulgt0 10990
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3285  df-reu 3286  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-int 4887  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5496  df-eprel 5502  df-po 5510  df-so 5511  df-fr 5551  df-we 5553  df-xp 5602  df-rel 5603  df-cnv 5604  df-co 5605  df-dm 5606  df-rn 5607  df-res 5608  df-ima 5609  df-pred 6213  df-ord 6280  df-on 6281  df-lim 6282  df-suc 6283  df-iota 6406  df-fun 6456  df-fn 6457  df-f 6458  df-f1 6459  df-fo 6460  df-f1o 6461  df-fv 6462  df-riota 7260  df-ov 7306  df-oprab 7307  df-mpo 7308  df-om 7741  df-1st 7859  df-2nd 7860  df-frecs 8124  df-wrecs 8155  df-recs 8229  df-rdg 8268  df-1o 8324  df-2o 8325  df-oadd 8328  df-er 8525  df-en 8761  df-dom 8762  df-sdom 8763  df-fin 8764  df-dju 9699  df-card 9737  df-pnf 11053  df-mnf 11054  df-xr 11055  df-ltxr 11056  df-le 11057  df-sub 11249  df-neg 11250  df-nn 12016  df-2 12078  df-n0 12276  df-xnn0 12348  df-z 12362  df-uz 12625  df-xadd 12891  df-fz 13282  df-hash 14087  df-edg 27459  df-uhgr 27469  df-ushgr 27470  df-upgr 27493  df-umgr 27494  df-uspgr 27561  df-usgr 27562  df-nbgr 27741  df-vtxdg 27874  df-frgr 28664
This theorem is referenced by:  frgrregorufr0  28729
  Copyright terms: Public domain W3C validator