MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgrwopreg2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frgrwopreg2 27786
Description: According to statement 5 in [Huneke] p. 2: "If ... B is a singleton, then that singleton is a universal friend". (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Jan-2018.) (Proof shortened by AV, 4-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
frgrwopreg.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
frgrwopreg.d 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
frgrwopreg.a 𝐴 = {𝑥𝑉 ∣ (𝐷𝑥) = 𝐾}
frgrwopreg.b 𝐵 = (𝑉𝐴)
frgrwopreg.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
frgrwopreg2 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (♯‘𝐵) = 1) → ∃𝑣𝑉𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑉   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝑥,𝐾   𝑥,𝐷   𝑥,𝐵   𝑣,𝐴,𝑤   𝑣,𝐵,𝑤   𝑣,𝐸   𝑣,𝐺,𝑤,𝑥   𝑤,𝑉,𝑣
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑤,𝑣)   𝐸(𝑥,𝑤)   𝐾(𝑤,𝑣)

Proof of Theorem frgrwopreg2
StepHypRef Expression
1 frgrwopreg.v . . . . . 6 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 frgrwopreg.d . . . . . 6 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
3 frgrwopreg.a . . . . . 6 𝐴 = {𝑥𝑉 ∣ (𝐷𝑥) = 𝐾}
4 frgrwopreg.b . . . . . 6 𝐵 = (𝑉𝐴)
51, 2, 3, 4frgrwopreglem1 27779 . . . . 5 (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V)
65simpri 486 . . . 4 𝐵 ∈ V
7 hash1snb 13632 . . . 4 (𝐵 ∈ V → ((♯‘𝐵) = 1 ↔ ∃𝑣 𝐵 = {𝑣}))
86, 7ax-mp 5 . . 3 ((♯‘𝐵) = 1 ↔ ∃𝑣 𝐵 = {𝑣})
9 exsnrex 4531 . . . . 5 (∃𝑣 𝐵 = {𝑣} ↔ ∃𝑣𝐵 𝐵 = {𝑣})
10 difss 4035 . . . . . . . 8 (𝑉𝐴) ⊆ 𝑉
114, 10eqsstri 3928 . . . . . . 7 𝐵𝑉
12 ssrexv 3961 . . . . . . 7 (𝐵𝑉 → (∃𝑣𝐵 𝐵 = {𝑣} → ∃𝑣𝑉 𝐵 = {𝑣}))
1311, 12ax-mp 5 . . . . . 6 (∃𝑣𝐵 𝐵 = {𝑣} → ∃𝑣𝑉 𝐵 = {𝑣})
14 frgrwopreg.e . . . . . . . . 9 𝐸 = (Edg‘𝐺)
151, 2, 3, 4, 14frgrwopregbsn 27784 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑣𝑉𝐵 = {𝑣}) → ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)
16153expia 1114 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑣𝑉) → (𝐵 = {𝑣} → ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))
1716reximdva 3239 . . . . . 6 (𝐺 ∈ FriendGraph → (∃𝑣𝑉 𝐵 = {𝑣} → ∃𝑣𝑉𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))
1813, 17syl5com 31 . . . . 5 (∃𝑣𝐵 𝐵 = {𝑣} → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑣𝑉𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))
199, 18sylbi 218 . . . 4 (∃𝑣 𝐵 = {𝑣} → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑣𝑉𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))
2019com12 32 . . 3 (𝐺 ∈ FriendGraph → (∃𝑣 𝐵 = {𝑣} → ∃𝑣𝑉𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))
218, 20syl5bi 243 . 2 (𝐺 ∈ FriendGraph → ((♯‘𝐵) = 1 → ∃𝑣𝑉𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))
2221imp 407 1 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (♯‘𝐵) = 1) → ∃𝑣𝑉𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1525  wex 1765  wcel 2083  wral 3107  wrex 3108  {crab 3111  Vcvv 3440  cdif 3862  wss 3865  {csn 4478  {cpr 4480  cfv 6232  1c1 10391  chash 13544  Vtxcvtx 26468  Edgcedg 26519  VtxDegcvtxdg 26934   FriendGraph cfrgr 27723
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-rep 5088  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326  ax-cnex 10446  ax-resscn 10447  ax-1cn 10448  ax-icn 10449  ax-addcl 10450  ax-addrcl 10451  ax-mulcl 10452  ax-mulrcl 10453  ax-mulcom 10454  ax-addass 10455  ax-mulass 10456  ax-distr 10457  ax-i2m1 10458  ax-1ne0 10459  ax-1rid 10460  ax-rnegex 10461  ax-rrecex 10462  ax-cnre 10463  ax-pre-lttri 10464  ax-pre-lttrn 10465  ax-pre-ltadd 10466  ax-pre-mulgt0 10467
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1528  df-fal 1538  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-pss 3882  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-tp 4483  df-op 4485  df-uni 4752  df-int 4789  df-iun 4833  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-tr 5071  df-id 5355  df-eprel 5360  df-po 5369  df-so 5370  df-fr 5409  df-we 5411  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-pred 6030  df-ord 6076  df-on 6077  df-lim 6078  df-suc 6079  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-riota 6984  df-ov 7026  df-oprab 7027  df-mpo 7028  df-om 7444  df-1st 7552  df-2nd 7553  df-wrecs 7805  df-recs 7867  df-rdg 7905  df-1o 7960  df-2o 7961  df-oadd 7964  df-er 8146  df-en 8365  df-dom 8366  df-sdom 8367  df-fin 8368  df-dju 9183  df-card 9221  df-pnf 10530  df-mnf 10531  df-xr 10532  df-ltxr 10533  df-le 10534  df-sub 10725  df-neg 10726  df-nn 11493  df-2 11554  df-n0 11752  df-xnn0 11822  df-z 11836  df-uz 12098  df-xadd 12362  df-fz 12747  df-hash 13545  df-edg 26520  df-uhgr 26530  df-ushgr 26531  df-upgr 26554  df-umgr 26555  df-uspgr 26622  df-usgr 26623  df-nbgr 26802  df-vtxdg 26935  df-frgr 27724
This theorem is referenced by:  frgrregorufr0  27791
  Copyright terms: Public domain W3C validator