Theorem gsummptun 19660

Description: Group sum of a disjoint union, whereas sums are expressed as mappings. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Mar-2018.) (Proof shortened by AV, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummptun.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
gsummptun.p	⊢ + = (+g‘𝑊)
gsummptun.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ CMnd)
gsummptun.a	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ 𝐶) ∈ Fin)
gsummptun.d	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐶) = ∅)
gsummptun.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐶)) → 𝐷 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
gsummptun	⊢ (𝜑 → (𝑊 Σg (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐶) ↦ 𝐷)) = ((𝑊 Σg (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷)) + (𝑊 Σg (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥)   + (𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem gsummptun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsummptun.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
2		gsummptun.p	. 2 ⊢ + = (+g‘𝑊)
3		gsummptun.w	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ CMnd)
4		gsummptun.a	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ 𝐶) ∈ Fin)
5		gsummptun.1	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐶)) → 𝐷 ∈ 𝐵)
6		gsummptun.d	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐶) = ∅)
7		eqidd 2738	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ 𝐶) = (𝐴 ∪ 𝐶))
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	gsummptfidmsplit 19626	1 ⊢ (𝜑 → (𝑊 Σg (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐶) ↦ 𝐷)) = ((𝑊 Σg (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷)) + (𝑊 Σg (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ∪ cun 3900   ∩ cin 3901  ∅c0 4274   ↦ cmpt 5180  ‘cfv 6484  (class class class)co 7342  Fincfn 8809  Basecbs 17010  +_gcplusg 17060   Σ_g cgsu 17249  CMndccmn 19482

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5234  ax-sep 5248  ax-nul 5255  ax-pow 5313  ax-pr 5377  ax-un 7655  ax-cnex 11033  ax-resscn 11034  ax-1cn 11035  ax-icn 11036  ax-addcl 11037  ax-addrcl 11038  ax-mulcl 11039  ax-mulrcl 11040  ax-mulcom 11041  ax-addass 11042  ax-mulass 11043  ax-distr 11044  ax-i2m1 11045  ax-1ne0 11046  ax-1rid 11047  ax-rnegex 11048  ax-rrecex 11049  ax-cnre 11050  ax-pre-lttri 11051  ax-pre-lttrn 11052  ax-pre-ltadd 11053  ax-pre-mulgt0 11054

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3444  df-sbc 3732  df-csb 3848  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3921  df-nul 4275  df-if 4479  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4858  df-int 4900  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5181  df-tr 5215  df-id 5523  df-eprel 5529  df-po 5537  df-so 5538  df-fr 5580  df-se 5581  df-we 5582  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6243  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6436  df-fun 6486  df-fn 6487  df-f 6488  df-f1 6489  df-fo 6490  df-f1o 6491  df-fv 6492  df-isom 6493  df-riota 7298  df-ov 7345  df-oprab 7346  df-mpo 7347  df-of 7600  df-om 7786  df-1st 7904  df-2nd 7905  df-supp 8053  df-frecs 8172  df-wrecs 8203  df-recs 8277  df-rdg 8316  df-1o 8372  df-er 8574  df-en 8810  df-dom 8811  df-sdom 8812  df-fin 8813  df-fsupp 9232  df-oi 9372  df-card 9801  df-pnf 11117  df-mnf 11118  df-xr 11119  df-ltxr 11120  df-le 11121  df-sub 11313  df-neg 11314  df-nn 12080  df-2 12142  df-n0 12340  df-z 12426  df-uz 12689  df-fz 13346  df-fzo 13489  df-seq 13828  df-hash 14151  df-sets 16963  df-slot 16981  df-ndx 16993  df-base 17011  df-ress 17040  df-plusg 17073  df-0g 17250  df-gsum 17251  df-mre 17393  df-mrc 17394  df-acs 17396  df-mgm 18424  df-sgrp 18473  df-mnd 18484  df-submnd 18529  df-cntz 19020  df-cmn 19484

This theorem is referenced by: (None)