Theorem gsumspl 18718

Description: The primary purpose of the splice construction is to enable local rewrites. Thus, in any monoidal valuation, if a splice does not cause a local change it does not cause a global change. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumspl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
gsumspl.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Mnd)
gsumspl.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Word 𝐵)
gsumspl.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (0...𝑇))
gsumspl.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)))
gsumspl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Word 𝐵)
gsumspl.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Word 𝐵)
gsumspl.eq	⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg 𝑋) = (𝑀 Σg 𝑌))

Assertion

Ref	Expression
gsumspl	⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑋⟩)) = (𝑀 Σg (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑌⟩)))

Proof of Theorem gsumspl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumspl.eq	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg 𝑋) = (𝑀 Σg 𝑌))
2	1	oveq2d 7365	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 Σg (𝑆 prefix 𝐹))(+g‘𝑀)(𝑀 Σg 𝑋)) = ((𝑀 Σg (𝑆 prefix 𝐹))(+g‘𝑀)(𝑀 Σg 𝑌)))
3	2	oveq1d 7364	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑀 Σg (𝑆 prefix 𝐹))(+g‘𝑀)(𝑀 Σg 𝑋))(+g‘𝑀)(𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))) = (((𝑀 Σg (𝑆 prefix 𝐹))(+g‘𝑀)(𝑀 Σg 𝑌))(+g‘𝑀)(𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))))
4		gsumspl.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Word 𝐵)
5		gsumspl.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (0...𝑇))
6		gsumspl.t	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)))
7		gsumspl.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Word 𝐵)
8		splval 14657	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ (𝐹 ∈ (0...𝑇) ∧ 𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)) ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵)) → (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑋⟩) = (((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑋) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩)))
9	4, 5, 6, 7, 8	syl13anc 1374	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑋⟩) = (((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑋) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩)))
10	9	oveq2d 7365	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑋⟩)) = (𝑀 Σg (((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑋) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))))
11		gsumspl.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Mnd)
12		pfxcl 14584	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (𝑆 prefix 𝐹) ∈ Word 𝐵)
13	4, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑆 prefix 𝐹) ∈ Word 𝐵)
14		ccatcl 14481	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 prefix 𝐹) ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) → ((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑋) ∈ Word 𝐵)
15	13, 7, 14	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑋) ∈ Word 𝐵)
16		swrdcl 14552	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩) ∈ Word 𝐵)
17	4, 16	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩) ∈ Word 𝐵)
18		gsumspl.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
19		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘𝑀)
20	18, 19	gsumccat 18715	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ ((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑋) ∈ Word 𝐵 ∧ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩) ∈ Word 𝐵) → (𝑀 Σg (((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑋) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))) = ((𝑀 Σg ((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑋))(+g‘𝑀)(𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))))
21	11, 15, 17, 20	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑋) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))) = ((𝑀 Σg ((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑋))(+g‘𝑀)(𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))))
22	18, 19	gsumccat 18715	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑆 prefix 𝐹) ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) → (𝑀 Σg ((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑋)) = ((𝑀 Σg (𝑆 prefix 𝐹))(+g‘𝑀)(𝑀 Σg 𝑋)))
23	11, 13, 7, 22	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg ((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑋)) = ((𝑀 Σg (𝑆 prefix 𝐹))(+g‘𝑀)(𝑀 Σg 𝑋)))
24	23	oveq1d 7364	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 Σg ((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑋))(+g‘𝑀)(𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))) = (((𝑀 Σg (𝑆 prefix 𝐹))(+g‘𝑀)(𝑀 Σg 𝑋))(+g‘𝑀)(𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))))
25	10, 21, 24	3eqtrd 2768	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑋⟩)) = (((𝑀 Σg (𝑆 prefix 𝐹))(+g‘𝑀)(𝑀 Σg 𝑋))(+g‘𝑀)(𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))))
26		gsumspl.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Word 𝐵)
27		splval 14657	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ (𝐹 ∈ (0...𝑇) ∧ 𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)) ∧ 𝑌 ∈ Word 𝐵)) → (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑌⟩) = (((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑌) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩)))
28	4, 5, 6, 26, 27	syl13anc 1374	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑌⟩) = (((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑌) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩)))
29	28	oveq2d 7365	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑌⟩)) = (𝑀 Σg (((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑌) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))))
30		ccatcl 14481	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 prefix 𝐹) ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ Word 𝐵) → ((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑌) ∈ Word 𝐵)
31	13, 26, 30	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑌) ∈ Word 𝐵)
32	18, 19	gsumccat 18715	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ ((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑌) ∈ Word 𝐵 ∧ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩) ∈ Word 𝐵) → (𝑀 Σg (((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑌) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))) = ((𝑀 Σg ((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑌))(+g‘𝑀)(𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))))
33	11, 31, 17, 32	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑌) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))) = ((𝑀 Σg ((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑌))(+g‘𝑀)(𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))))
34	18, 19	gsumccat 18715	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑆 prefix 𝐹) ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ Word 𝐵) → (𝑀 Σg ((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑌)) = ((𝑀 Σg (𝑆 prefix 𝐹))(+g‘𝑀)(𝑀 Σg 𝑌)))
35	11, 13, 26, 34	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg ((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑌)) = ((𝑀 Σg (𝑆 prefix 𝐹))(+g‘𝑀)(𝑀 Σg 𝑌)))
36	35	oveq1d 7364	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 Σg ((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑌))(+g‘𝑀)(𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))) = (((𝑀 Σg (𝑆 prefix 𝐹))(+g‘𝑀)(𝑀 Σg 𝑌))(+g‘𝑀)(𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))))
37	29, 33, 36	3eqtrd 2768	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑌⟩)) = (((𝑀 Σg (𝑆 prefix 𝐹))(+g‘𝑀)(𝑀 Σg 𝑌))(+g‘𝑀)(𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))))
38	3, 25, 37	3eqtr4d 2774	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑋⟩)) = (𝑀 Σg (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑌⟩)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ⟨cop 4583  ⟨cotp 4585  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  0cc0 11009  ...cfz 13410  ♯chash 14237  Word cword 14420   ++ cconcat 14477   substr csubstr 14547   prefix cpfx 14577   splice csplice 14655  Basecbs 17120  +_gcplusg 17161   Σ_g cgsu 17344  Mndcmnd 18608

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-ot 4586  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-card 9835  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-2 12191  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-fz 13411  df-fzo 13558  df-seq 13909  df-hash 14238  df-word 14421  df-concat 14478  df-substr 14548  df-pfx 14578  df-splice 14656  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-0g 17345  df-gsum 17346  df-mgm 18514  df-sgrp 18593  df-mnd 18609  df-submnd 18658

This theorem is referenced by:  psgnunilem2  19374