Theorem gsumspl 18767

Description: The primary purpose of the splice construction is to enable local rewrites. Thus, in any monoidal valuation, if a splice does not cause a local change it does not cause a global change. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumspl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
gsumspl.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Mnd)
gsumspl.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Word 𝐵)
gsumspl.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (0...𝑇))
gsumspl.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)))
gsumspl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Word 𝐵)
gsumspl.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Word 𝐵)
gsumspl.eq	⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg 𝑋) = (𝑀 Σg 𝑌))

Assertion

Ref	Expression
gsumspl	⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑋⟩)) = (𝑀 Σg (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑌⟩)))

Proof of Theorem gsumspl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumspl.eq	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg 𝑋) = (𝑀 Σg 𝑌))
2	1	oveq2d 7372	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 Σg (𝑆 prefix 𝐹))(+g‘𝑀)(𝑀 Σg 𝑋)) = ((𝑀 Σg (𝑆 prefix 𝐹))(+g‘𝑀)(𝑀 Σg 𝑌)))
3	2	oveq1d 7371	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑀 Σg (𝑆 prefix 𝐹))(+g‘𝑀)(𝑀 Σg 𝑋))(+g‘𝑀)(𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))) = (((𝑀 Σg (𝑆 prefix 𝐹))(+g‘𝑀)(𝑀 Σg 𝑌))(+g‘𝑀)(𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))))
4		gsumspl.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Word 𝐵)
5		gsumspl.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (0...𝑇))
6		gsumspl.t	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)))
7		gsumspl.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Word 𝐵)
8		splval 14672	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ (𝐹 ∈ (0...𝑇) ∧ 𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)) ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵)) → (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑋⟩) = (((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑋) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩)))
9	4, 5, 6, 7, 8	syl13anc 1374	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑋⟩) = (((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑋) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩)))
10	9	oveq2d 7372	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑋⟩)) = (𝑀 Σg (((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑋) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))))
11		gsumspl.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Mnd)
12		pfxcl 14599	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (𝑆 prefix 𝐹) ∈ Word 𝐵)
13	4, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑆 prefix 𝐹) ∈ Word 𝐵)
14		ccatcl 14495	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 prefix 𝐹) ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) → ((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑋) ∈ Word 𝐵)
15	13, 7, 14	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑋) ∈ Word 𝐵)
16		swrdcl 14567	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩) ∈ Word 𝐵)
17	4, 16	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩) ∈ Word 𝐵)
18		gsumspl.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
19		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘𝑀)
20	18, 19	gsumccat 18764	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ ((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑋) ∈ Word 𝐵 ∧ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩) ∈ Word 𝐵) → (𝑀 Σg (((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑋) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))) = ((𝑀 Σg ((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑋))(+g‘𝑀)(𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))))
21	11, 15, 17, 20	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑋) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))) = ((𝑀 Σg ((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑋))(+g‘𝑀)(𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))))
22	18, 19	gsumccat 18764	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑆 prefix 𝐹) ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵) → (𝑀 Σg ((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑋)) = ((𝑀 Σg (𝑆 prefix 𝐹))(+g‘𝑀)(𝑀 Σg 𝑋)))
23	11, 13, 7, 22	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg ((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑋)) = ((𝑀 Σg (𝑆 prefix 𝐹))(+g‘𝑀)(𝑀 Σg 𝑋)))
24	23	oveq1d 7371	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 Σg ((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑋))(+g‘𝑀)(𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))) = (((𝑀 Σg (𝑆 prefix 𝐹))(+g‘𝑀)(𝑀 Σg 𝑋))(+g‘𝑀)(𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))))
25	10, 21, 24	3eqtrd 2773	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑋⟩)) = (((𝑀 Σg (𝑆 prefix 𝐹))(+g‘𝑀)(𝑀 Σg 𝑋))(+g‘𝑀)(𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))))
26		gsumspl.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Word 𝐵)
27		splval 14672	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ (𝐹 ∈ (0...𝑇) ∧ 𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)) ∧ 𝑌 ∈ Word 𝐵)) → (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑌⟩) = (((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑌) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩)))
28	4, 5, 6, 26, 27	syl13anc 1374	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑌⟩) = (((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑌) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩)))
29	28	oveq2d 7372	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑌⟩)) = (𝑀 Σg (((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑌) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))))
30		ccatcl 14495	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 prefix 𝐹) ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ Word 𝐵) → ((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑌) ∈ Word 𝐵)
31	13, 26, 30	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑌) ∈ Word 𝐵)
32	18, 19	gsumccat 18764	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ ((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑌) ∈ Word 𝐵 ∧ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩) ∈ Word 𝐵) → (𝑀 Σg (((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑌) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))) = ((𝑀 Σg ((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑌))(+g‘𝑀)(𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))))
33	11, 31, 17, 32	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑌) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))) = ((𝑀 Σg ((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑌))(+g‘𝑀)(𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))))
34	18, 19	gsumccat 18764	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑆 prefix 𝐹) ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ Word 𝐵) → (𝑀 Σg ((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑌)) = ((𝑀 Σg (𝑆 prefix 𝐹))(+g‘𝑀)(𝑀 Σg 𝑌)))
35	11, 13, 26, 34	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg ((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑌)) = ((𝑀 Σg (𝑆 prefix 𝐹))(+g‘𝑀)(𝑀 Σg 𝑌)))
36	35	oveq1d 7371	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 Σg ((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑌))(+g‘𝑀)(𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))) = (((𝑀 Σg (𝑆 prefix 𝐹))(+g‘𝑀)(𝑀 Σg 𝑌))(+g‘𝑀)(𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))))
37	29, 33, 36	3eqtrd 2773	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑌⟩)) = (((𝑀 Σg (𝑆 prefix 𝐹))(+g‘𝑀)(𝑀 Σg 𝑌))(+g‘𝑀)(𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))))
38	3, 25, 37	3eqtr4d 2779	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑋⟩)) = (𝑀 Σg (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑌⟩)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ⟨cop 4584  ⟨cotp 4586  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  0cc0 11024  ...cfz 13421  ♯chash 14251  Word cword 14434   ++ cconcat 14491   substr csubstr 14562   prefix cpfx 14592   splice csplice 14670  Basecbs 17134  +_gcplusg 17175   Σ_g cgsu 17358  Mndcmnd 18657

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-ot 4587  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-card 9849  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-2 12206  df-n0 12400  df-z 12487  df-uz 12750  df-fz 13422  df-fzo 13569  df-seq 13923  df-hash 14252  df-word 14435  df-concat 14492  df-substr 14563  df-pfx 14593  df-splice 14671  df-sets 17089  df-slot 17107  df-ndx 17119  df-base 17135  df-ress 17156  df-plusg 17188  df-0g 17359  df-gsum 17360  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-submnd 18707

This theorem is referenced by:  psgnunilem2  19422