Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumspl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumspl 18009
 Description: The primary purpose of the splice construction is to enable local rewrites. Thus, in any monoidal valuation, if a splice does not cause a local change it does not cause a global change. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumspl.b 𝐵 = (Base‘𝑀)
gsumspl.m (𝜑𝑀 ∈ Mnd)
gsumspl.s (𝜑𝑆 ∈ Word 𝐵)
gsumspl.f (𝜑𝐹 ∈ (0...𝑇))
gsumspl.t (𝜑𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)))
gsumspl.x (𝜑𝑋 ∈ Word 𝐵)
gsumspl.y (𝜑𝑌 ∈ Word 𝐵)
gsumspl.eq (𝜑 → (𝑀 Σg 𝑋) = (𝑀 Σg 𝑌))
Assertion
Ref Expression
gsumspl (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑋⟩)) = (𝑀 Σg (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑌⟩)))

Proof of Theorem gsumspl
StepHypRef Expression
1 gsumspl.eq . . . 4 (𝜑 → (𝑀 Σg 𝑋) = (𝑀 Σg 𝑌))
21oveq2d 7165 . . 3 (𝜑 → ((𝑀 Σg (𝑆 prefix 𝐹))(+g𝑀)(𝑀 Σg 𝑋)) = ((𝑀 Σg (𝑆 prefix 𝐹))(+g𝑀)(𝑀 Σg 𝑌)))
32oveq1d 7164 . 2 (𝜑 → (((𝑀 Σg (𝑆 prefix 𝐹))(+g𝑀)(𝑀 Σg 𝑋))(+g𝑀)(𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))) = (((𝑀 Σg (𝑆 prefix 𝐹))(+g𝑀)(𝑀 Σg 𝑌))(+g𝑀)(𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))))
4 gsumspl.s . . . . 5 (𝜑𝑆 ∈ Word 𝐵)
5 gsumspl.f . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ (0...𝑇))
6 gsumspl.t . . . . 5 (𝜑𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)))
7 gsumspl.x . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ Word 𝐵)
8 splval 14113 . . . . 5 ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ (𝐹 ∈ (0...𝑇) ∧ 𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)) ∧ 𝑋 ∈ Word 𝐵)) → (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑋⟩) = (((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑋) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩)))
94, 5, 6, 7, 8syl13anc 1369 . . . 4 (𝜑 → (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑋⟩) = (((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑋) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩)))
109oveq2d 7165 . . 3 (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑋⟩)) = (𝑀 Σg (((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑋) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))))
11 gsumspl.m . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ Mnd)
12 pfxcl 14039 . . . . . 6 (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (𝑆 prefix 𝐹) ∈ Word 𝐵)
134, 12syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑆 prefix 𝐹) ∈ Word 𝐵)
14 ccatcl 13926 . . . . 5 (((𝑆 prefix 𝐹) ∈ Word 𝐵𝑋 ∈ Word 𝐵) → ((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑋) ∈ Word 𝐵)
1513, 7, 14syl2anc 587 . . . 4 (𝜑 → ((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑋) ∈ Word 𝐵)
16 swrdcl 14007 . . . . 5 (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩) ∈ Word 𝐵)
174, 16syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩) ∈ Word 𝐵)
18 gsumspl.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑀)
19 eqid 2824 . . . . 5 (+g𝑀) = (+g𝑀)
2018, 19gsumccat 18006 . . . 4 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ ((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑋) ∈ Word 𝐵 ∧ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩) ∈ Word 𝐵) → (𝑀 Σg (((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑋) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))) = ((𝑀 Σg ((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑋))(+g𝑀)(𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))))
2111, 15, 17, 20syl3anc 1368 . . 3 (𝜑 → (𝑀 Σg (((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑋) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))) = ((𝑀 Σg ((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑋))(+g𝑀)(𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))))
2218, 19gsumccat 18006 . . . . 5 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑆 prefix 𝐹) ∈ Word 𝐵𝑋 ∈ Word 𝐵) → (𝑀 Σg ((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑋)) = ((𝑀 Σg (𝑆 prefix 𝐹))(+g𝑀)(𝑀 Σg 𝑋)))
2311, 13, 7, 22syl3anc 1368 . . . 4 (𝜑 → (𝑀 Σg ((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑋)) = ((𝑀 Σg (𝑆 prefix 𝐹))(+g𝑀)(𝑀 Σg 𝑋)))
2423oveq1d 7164 . . 3 (𝜑 → ((𝑀 Σg ((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑋))(+g𝑀)(𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))) = (((𝑀 Σg (𝑆 prefix 𝐹))(+g𝑀)(𝑀 Σg 𝑋))(+g𝑀)(𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))))
2510, 21, 243eqtrd 2863 . 2 (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑋⟩)) = (((𝑀 Σg (𝑆 prefix 𝐹))(+g𝑀)(𝑀 Σg 𝑋))(+g𝑀)(𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))))
26 gsumspl.y . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ Word 𝐵)
27 splval 14113 . . . . 5 ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ (𝐹 ∈ (0...𝑇) ∧ 𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)) ∧ 𝑌 ∈ Word 𝐵)) → (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑌⟩) = (((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑌) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩)))
284, 5, 6, 26, 27syl13anc 1369 . . . 4 (𝜑 → (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑌⟩) = (((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑌) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩)))
2928oveq2d 7165 . . 3 (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑌⟩)) = (𝑀 Σg (((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑌) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))))
30 ccatcl 13926 . . . . 5 (((𝑆 prefix 𝐹) ∈ Word 𝐵𝑌 ∈ Word 𝐵) → ((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑌) ∈ Word 𝐵)
3113, 26, 30syl2anc 587 . . . 4 (𝜑 → ((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑌) ∈ Word 𝐵)
3218, 19gsumccat 18006 . . . 4 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ ((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑌) ∈ Word 𝐵 ∧ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩) ∈ Word 𝐵) → (𝑀 Σg (((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑌) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))) = ((𝑀 Σg ((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑌))(+g𝑀)(𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))))
3311, 31, 17, 32syl3anc 1368 . . 3 (𝜑 → (𝑀 Σg (((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑌) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))) = ((𝑀 Σg ((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑌))(+g𝑀)(𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))))
3418, 19gsumccat 18006 . . . . 5 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑆 prefix 𝐹) ∈ Word 𝐵𝑌 ∈ Word 𝐵) → (𝑀 Σg ((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑌)) = ((𝑀 Σg (𝑆 prefix 𝐹))(+g𝑀)(𝑀 Σg 𝑌)))
3511, 13, 26, 34syl3anc 1368 . . . 4 (𝜑 → (𝑀 Σg ((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑌)) = ((𝑀 Σg (𝑆 prefix 𝐹))(+g𝑀)(𝑀 Σg 𝑌)))
3635oveq1d 7164 . . 3 (𝜑 → ((𝑀 Σg ((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑌))(+g𝑀)(𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))) = (((𝑀 Σg (𝑆 prefix 𝐹))(+g𝑀)(𝑀 Σg 𝑌))(+g𝑀)(𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))))
3729, 33, 363eqtrd 2863 . 2 (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑌⟩)) = (((𝑀 Σg (𝑆 prefix 𝐹))(+g𝑀)(𝑀 Σg 𝑌))(+g𝑀)(𝑀 Σg (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))))
383, 25, 373eqtr4d 2869 1 (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑋⟩)) = (𝑀 Σg (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑌⟩)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  ⟨cop 4556  ⟨cotp 4558  ‘cfv 6343  (class class class)co 7149  0cc0 10535  ...cfz 12894  ♯chash 13695  Word cword 13866   ++ cconcat 13922   substr csubstr 14002   prefix cpfx 14032   splice csplice 14111  Basecbs 16483  +gcplusg 16565   Σg cgsu 16714  Mndcmnd 17911 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-ot 4559  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-oadd 8102  df-er 8285  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509  df-card 9365  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-nn 11635  df-2 11697  df-n0 11895  df-z 11979  df-uz 12241  df-fz 12895  df-fzo 13038  df-seq 13374  df-hash 13696  df-word 13867  df-concat 13923  df-substr 14003  df-pfx 14033  df-splice 14112  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-0g 16715  df-gsum 16716  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-submnd 17957 This theorem is referenced by:  psgnunilem2  18623
 Copyright terms: Public domain W3C validator