Theorem gsumccatsn 18806

Description: Homomorphic property of composites with a singleton. (Contributed by AV, 20-Jan-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumccat.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumccat.p	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
gsumccatsn	⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝐺 Σg (𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = ((𝐺 Σg 𝑊) + 𝑍))

Proof of Theorem gsumccatsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		s1cl 14560	. . 3 ⊢ (𝑍 ∈ 𝐵 → ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word 𝐵)
2		gsumccat.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		gsumccat.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4	2, 3	gsumccat 18804	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word 𝐵) → (𝐺 Σg (𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = ((𝐺 Σg 𝑊) + (𝐺 Σg ⟨“𝑍”⟩)))
5	1, 4	syl3an3 1172	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝐺 Σg (𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = ((𝐺 Σg 𝑊) + (𝐺 Σg ⟨“𝑍”⟩)))
6	2	gsumws1 18801	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ 𝐵 → (𝐺 Σg ⟨“𝑍”⟩) = 𝑍)
7	6	3ad2ant3 1142	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝐺 Σg ⟨“𝑍”⟩) = 𝑍)
8	7	oveq2d 7376	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → ((𝐺 Σg 𝑊) + (𝐺 Σg ⟨“𝑍”⟩)) = ((𝐺 Σg 𝑊) + 𝑍))
9	5, 8	eqtrd 2776	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝐺 Σg (𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = ((𝐺 Σg 𝑊) + 𝑍))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1093   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  ‘cfv 6489  (class class class)co 7360  Word cword 14470   ++ cconcat 14527  ⟨“cs1 14553  Basecbs 17174  +_gcplusg 17215   Σ_g cgsu 17398  Mndcmnd 18697

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5202  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-int 4881  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-card 9858  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-2 12239  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784  df-fz 13457  df-fzo 13604  df-seq 13959  df-hash 14288  df-word 14471  df-concat 14528  df-s1 14554  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-ress 17196  df-plusg 17228  df-0g 17399  df-gsum 17400  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-submnd 18747

This theorem is referenced by:  gsumccatsymgsn  19396  gsumwun  33161  domnprodn0  33360  unitprodclb  33476  1arithidomlem1  33630  1arithidom  33632  1arithufdlem3  33641  dfufd2lem  33644