Theorem gsumws4 42381

Description: Valuation of a length 4 word in a monoid. (Contributed by Stanislas Polu, 10-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumws4.0	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumws4.1	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
gsumws4	⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑆 ∈ 𝐵 ∧ (𝑇 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)))) → (𝐺 Σg ⟨“𝑆𝑇𝑈𝑉”⟩) = (𝑆 + (𝑇 + (𝑈 + 𝑉))))

Proof of Theorem gsumws4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		s1s3 14771	. . . 4 ⊢ ⟨“𝑆𝑇𝑈𝑉”⟩ = (⟨“𝑆”⟩ ++ ⟨“𝑇𝑈𝑉”⟩)
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑆 ∈ 𝐵 ∧ (𝑇 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)))) → ⟨“𝑆𝑇𝑈𝑉”⟩ = (⟨“𝑆”⟩ ++ ⟨“𝑇𝑈𝑉”⟩))
3	2	oveq2d 7367	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑆 ∈ 𝐵 ∧ (𝑇 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)))) → (𝐺 Σg ⟨“𝑆𝑇𝑈𝑉”⟩) = (𝐺 Σg (⟨“𝑆”⟩ ++ ⟨“𝑇𝑈𝑉”⟩)))
4		simpl 483	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑆 ∈ 𝐵 ∧ (𝑇 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)))) → 𝐺 ∈ Mnd)
5		simprl 769	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑆 ∈ 𝐵 ∧ (𝑇 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)))) → 𝑆 ∈ 𝐵)
6	5	s1cld 14445	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑆 ∈ 𝐵 ∧ (𝑇 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)))) → ⟨“𝑆”⟩ ∈ Word 𝐵)
7		simprrl 779	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑆 ∈ 𝐵 ∧ (𝑇 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)))) → 𝑇 ∈ 𝐵)
8		simprrl 779	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝐵 ∧ (𝑇 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵))) → 𝑈 ∈ 𝐵)
9	8	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑆 ∈ 𝐵 ∧ (𝑇 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)))) → 𝑈 ∈ 𝐵)
10		simprrr 780	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝐵 ∧ (𝑇 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵))) → 𝑉 ∈ 𝐵)
11	10	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑆 ∈ 𝐵 ∧ (𝑇 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)))) → 𝑉 ∈ 𝐵)
12	7, 9, 11	s3cld 14719	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑆 ∈ 𝐵 ∧ (𝑇 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)))) → ⟨“𝑇𝑈𝑉”⟩ ∈ Word 𝐵)
13		gsumws4.0	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
14		gsumws4.1	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝐺)
15	13, 14	gsumccat 18611	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ ⟨“𝑆”⟩ ∈ Word 𝐵 ∧ ⟨“𝑇𝑈𝑉”⟩ ∈ Word 𝐵) → (𝐺 Σg (⟨“𝑆”⟩ ++ ⟨“𝑇𝑈𝑉”⟩)) = ((𝐺 Σg ⟨“𝑆”⟩) + (𝐺 Σg ⟨“𝑇𝑈𝑉”⟩)))
16	4, 6, 12, 15	syl3anc 1371	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑆 ∈ 𝐵 ∧ (𝑇 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)))) → (𝐺 Σg (⟨“𝑆”⟩ ++ ⟨“𝑇𝑈𝑉”⟩)) = ((𝐺 Σg ⟨“𝑆”⟩) + (𝐺 Σg ⟨“𝑇𝑈𝑉”⟩)))
17	13	gsumws1 18608	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐵 → (𝐺 Σg ⟨“𝑆”⟩) = 𝑆)
18	17	ad2antrl 726	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑆 ∈ 𝐵 ∧ (𝑇 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)))) → (𝐺 Σg ⟨“𝑆”⟩) = 𝑆)
19	13, 14	gsumws3 42380	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑇 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵))) → (𝐺 Σg ⟨“𝑇𝑈𝑉”⟩) = (𝑇 + (𝑈 + 𝑉)))
20	19	adantrl 714	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑆 ∈ 𝐵 ∧ (𝑇 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)))) → (𝐺 Σg ⟨“𝑇𝑈𝑉”⟩) = (𝑇 + (𝑈 + 𝑉)))
21	18, 20	oveq12d 7369	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑆 ∈ 𝐵 ∧ (𝑇 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)))) → ((𝐺 Σg ⟨“𝑆”⟩) + (𝐺 Σg ⟨“𝑇𝑈𝑉”⟩)) = (𝑆 + (𝑇 + (𝑈 + 𝑉))))
22	3, 16, 21	3eqtrd 2781	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑆 ∈ 𝐵 ∧ (𝑇 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)))) → (𝐺 Σg ⟨“𝑆𝑇𝑈𝑉”⟩) = (𝑆 + (𝑇 + (𝑈 + 𝑉))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6493  (class class class)co 7351  Word cword 14356   ++ cconcat 14412  ⟨“cs1 14437  ⟨“cs3 14689  ⟨“cs4 14690  Basecbs 17043  +_gcplusg 17093   Σ_g cgsu 17282  Mndcmnd 18516

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7307  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-om 7795  df-1st 7913  df-2nd 7914  df-frecs 8204  df-wrecs 8235  df-recs 8309  df-rdg 8348  df-1o 8404  df-er 8606  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-fin 8845  df-card 9833  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-xr 11151  df-ltxr 11152  df-le 11153  df-sub 11345  df-neg 11346  df-nn 12112  df-2 12174  df-n0 12372  df-z 12458  df-uz 12722  df-fz 13379  df-fzo 13522  df-seq 13861  df-hash 14185  df-word 14357  df-concat 14413  df-s1 14438  df-s2 14695  df-s3 14696  df-s4 14697  df-sets 16996  df-slot 17014  df-ndx 17026  df-base 17044  df-ress 17073  df-plusg 17106  df-0g 17283  df-gsum 17284  df-mgm 18457  df-sgrp 18506  df-mnd 18517  df-submnd 18562

This theorem is referenced by:  amgm4d  42384