Users' Mathboxes Mathbox for Stanislas Polu < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  gsumws4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumws4 40823
Description: Valuation of a length 4 word in a monoid. (Contributed by Stanislas Polu, 10-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumws4.0 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumws4.1 + = (+g𝐺)
Assertion
Ref Expression
gsumws4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑆𝐵 ∧ (𝑇𝐵 ∧ (𝑈𝐵𝑉𝐵)))) → (𝐺 Σg ⟨“𝑆𝑇𝑈𝑉”⟩) = (𝑆 + (𝑇 + (𝑈 + 𝑉))))

Proof of Theorem gsumws4
StepHypRef Expression
1 s1s3 14289 . . . 4 ⟨“𝑆𝑇𝑈𝑉”⟩ = (⟨“𝑆”⟩ ++ ⟨“𝑇𝑈𝑉”⟩)
21a1i 11 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑆𝐵 ∧ (𝑇𝐵 ∧ (𝑈𝐵𝑉𝐵)))) → ⟨“𝑆𝑇𝑈𝑉”⟩ = (⟨“𝑆”⟩ ++ ⟨“𝑇𝑈𝑉”⟩))
32oveq2d 7166 . 2 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑆𝐵 ∧ (𝑇𝐵 ∧ (𝑈𝐵𝑉𝐵)))) → (𝐺 Σg ⟨“𝑆𝑇𝑈𝑉”⟩) = (𝐺 Σg (⟨“𝑆”⟩ ++ ⟨“𝑇𝑈𝑉”⟩)))
4 simpl 486 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑆𝐵 ∧ (𝑇𝐵 ∧ (𝑈𝐵𝑉𝐵)))) → 𝐺 ∈ Mnd)
5 simprl 770 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑆𝐵 ∧ (𝑇𝐵 ∧ (𝑈𝐵𝑉𝐵)))) → 𝑆𝐵)
65s1cld 13960 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑆𝐵 ∧ (𝑇𝐵 ∧ (𝑈𝐵𝑉𝐵)))) → ⟨“𝑆”⟩ ∈ Word 𝐵)
7 simprrl 780 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑆𝐵 ∧ (𝑇𝐵 ∧ (𝑈𝐵𝑉𝐵)))) → 𝑇𝐵)
8 simprrl 780 . . . . 5 ((𝑆𝐵 ∧ (𝑇𝐵 ∧ (𝑈𝐵𝑉𝐵))) → 𝑈𝐵)
98adantl 485 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑆𝐵 ∧ (𝑇𝐵 ∧ (𝑈𝐵𝑉𝐵)))) → 𝑈𝐵)
10 simprrr 781 . . . . 5 ((𝑆𝐵 ∧ (𝑇𝐵 ∧ (𝑈𝐵𝑉𝐵))) → 𝑉𝐵)
1110adantl 485 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑆𝐵 ∧ (𝑇𝐵 ∧ (𝑈𝐵𝑉𝐵)))) → 𝑉𝐵)
127, 9, 11s3cld 14237 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑆𝐵 ∧ (𝑇𝐵 ∧ (𝑈𝐵𝑉𝐵)))) → ⟨“𝑇𝑈𝑉”⟩ ∈ Word 𝐵)
13 gsumws4.0 . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐺)
14 gsumws4.1 . . . 4 + = (+g𝐺)
1513, 14gsumccat 18009 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ ⟨“𝑆”⟩ ∈ Word 𝐵 ∧ ⟨“𝑇𝑈𝑉”⟩ ∈ Word 𝐵) → (𝐺 Σg (⟨“𝑆”⟩ ++ ⟨“𝑇𝑈𝑉”⟩)) = ((𝐺 Σg ⟨“𝑆”⟩) + (𝐺 Σg ⟨“𝑇𝑈𝑉”⟩)))
164, 6, 12, 15syl3anc 1368 . 2 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑆𝐵 ∧ (𝑇𝐵 ∧ (𝑈𝐵𝑉𝐵)))) → (𝐺 Σg (⟨“𝑆”⟩ ++ ⟨“𝑇𝑈𝑉”⟩)) = ((𝐺 Σg ⟨“𝑆”⟩) + (𝐺 Σg ⟨“𝑇𝑈𝑉”⟩)))
1713gsumws1 18005 . . . 4 (𝑆𝐵 → (𝐺 Σg ⟨“𝑆”⟩) = 𝑆)
1817ad2antrl 727 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑆𝐵 ∧ (𝑇𝐵 ∧ (𝑈𝐵𝑉𝐵)))) → (𝐺 Σg ⟨“𝑆”⟩) = 𝑆)
1913, 14gsumws3 40822 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑇𝐵 ∧ (𝑈𝐵𝑉𝐵))) → (𝐺 Σg ⟨“𝑇𝑈𝑉”⟩) = (𝑇 + (𝑈 + 𝑉)))
2019adantrl 715 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑆𝐵 ∧ (𝑇𝐵 ∧ (𝑈𝐵𝑉𝐵)))) → (𝐺 Σg ⟨“𝑇𝑈𝑉”⟩) = (𝑇 + (𝑈 + 𝑉)))
2118, 20oveq12d 7168 . 2 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑆𝐵 ∧ (𝑇𝐵 ∧ (𝑈𝐵𝑉𝐵)))) → ((𝐺 Σg ⟨“𝑆”⟩) + (𝐺 Σg ⟨“𝑇𝑈𝑉”⟩)) = (𝑆 + (𝑇 + (𝑈 + 𝑉))))
223, 16, 213eqtrd 2863 1 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑆𝐵 ∧ (𝑇𝐵 ∧ (𝑈𝐵𝑉𝐵)))) → (𝐺 Σg ⟨“𝑆𝑇𝑈𝑉”⟩) = (𝑆 + (𝑇 + (𝑈 + 𝑉))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  cfv 6344  (class class class)co 7150  Word cword 13869   ++ cconcat 13925  ⟨“cs1 13952  ⟨“cs3 14207  ⟨“cs4 14208  Basecbs 16486  +gcplusg 16568   Σg cgsu 16717  Mndcmnd 17914
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7456  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3483  df-sbc 3760  df-csb 3868  df-dif 3923  df-un 3925  df-in 3927  df-ss 3937  df-pss 3939  df-nul 4278  df-if 4452  df-pw 4525  df-sn 4552  df-pr 4554  df-tp 4556  df-op 4558  df-uni 4826  df-int 4864  df-iun 4908  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6136  df-ord 6182  df-on 6183  df-lim 6184  df-suc 6185  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7576  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-wrecs 7944  df-recs 8005  df-rdg 8043  df-1o 8099  df-oadd 8103  df-er 8286  df-en 8507  df-dom 8508  df-sdom 8509  df-fin 8510  df-card 9366  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-nn 11638  df-2 11700  df-n0 11898  df-z 11982  df-uz 12244  df-fz 12898  df-fzo 13041  df-seq 13377  df-hash 13699  df-word 13870  df-concat 13926  df-s1 13953  df-s2 14213  df-s3 14214  df-s4 14215  df-ndx 16489  df-slot 16490  df-base 16492  df-sets 16493  df-ress 16494  df-plusg 16581  df-0g 16718  df-gsum 16719  df-mgm 17855  df-sgrp 17904  df-mnd 17915  df-submnd 17960
This theorem is referenced by:  amgm4d  40826
  Copyright terms: Public domain W3C validator