Theorem gsumws4 44808

Description: Valuation of a length 4 word in a monoid. (Contributed by Stanislas Polu, 10-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumws4.0	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumws4.1	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
gsumws4	⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑆 ∈ 𝐵 ∧ (𝑇 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)))) → (𝐺 Σg ⟨“𝑆𝑇𝑈𝑉”⟩) = (𝑆 + (𝑇 + (𝑈 + 𝑉))))

Proof of Theorem gsumws4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		s1s3 14957	. . . 4 ⊢ ⟨“𝑆𝑇𝑈𝑉”⟩ = (⟨“𝑆”⟩ ++ ⟨“𝑇𝑈𝑉”⟩)
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑆 ∈ 𝐵 ∧ (𝑇 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)))) → ⟨“𝑆𝑇𝑈𝑉”⟩ = (⟨“𝑆”⟩ ++ ⟨“𝑇𝑈𝑉”⟩))
3	2	oveq2d 7424	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑆 ∈ 𝐵 ∧ (𝑇 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)))) → (𝐺 Σg ⟨“𝑆𝑇𝑈𝑉”⟩) = (𝐺 Σg (⟨“𝑆”⟩ ++ ⟨“𝑇𝑈𝑉”⟩)))
4		simpl 487	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑆 ∈ 𝐵 ∧ (𝑇 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)))) → 𝐺 ∈ Mnd)
5		simprl 782	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑆 ∈ 𝐵 ∧ (𝑇 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)))) → 𝑆 ∈ 𝐵)
6	5	s1cld 14637	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑆 ∈ 𝐵 ∧ (𝑇 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)))) → ⟨“𝑆”⟩ ∈ Word 𝐵)
7		simprrl 792	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑆 ∈ 𝐵 ∧ (𝑇 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)))) → 𝑇 ∈ 𝐵)
8		simprrl 792	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝐵 ∧ (𝑇 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵))) → 𝑈 ∈ 𝐵)
9	8	adantl 486	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑆 ∈ 𝐵 ∧ (𝑇 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)))) → 𝑈 ∈ 𝐵)
10		simprrr 793	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝐵 ∧ (𝑇 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵))) → 𝑉 ∈ 𝐵)
11	10	adantl 486	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑆 ∈ 𝐵 ∧ (𝑇 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)))) → 𝑉 ∈ 𝐵)
12	7, 9, 11	s3cld 14905	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑆 ∈ 𝐵 ∧ (𝑇 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)))) → ⟨“𝑇𝑈𝑉”⟩ ∈ Word 𝐵)
13		gsumws4.0	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
14		gsumws4.1	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝐺)
15	13, 14	gsumccat 18896	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ ⟨“𝑆”⟩ ∈ Word 𝐵 ∧ ⟨“𝑇𝑈𝑉”⟩ ∈ Word 𝐵) → (𝐺 Σg (⟨“𝑆”⟩ ++ ⟨“𝑇𝑈𝑉”⟩)) = ((𝐺 Σg ⟨“𝑆”⟩) + (𝐺 Σg ⟨“𝑇𝑈𝑉”⟩)))
16	4, 6, 12, 15	syl3anc 1396	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑆 ∈ 𝐵 ∧ (𝑇 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)))) → (𝐺 Σg (⟨“𝑆”⟩ ++ ⟨“𝑇𝑈𝑉”⟩)) = ((𝐺 Σg ⟨“𝑆”⟩) + (𝐺 Σg ⟨“𝑇𝑈𝑉”⟩)))
17	13	gsumws1 18893	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐵 → (𝐺 Σg ⟨“𝑆”⟩) = 𝑆)
18	17	ad2antrl 740	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑆 ∈ 𝐵 ∧ (𝑇 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)))) → (𝐺 Σg ⟨“𝑆”⟩) = 𝑆)
19	13, 14	gsumws3 44807	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑇 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵))) → (𝐺 Σg ⟨“𝑇𝑈𝑉”⟩) = (𝑇 + (𝑈 + 𝑉)))
20	19	adantrl 728	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑆 ∈ 𝐵 ∧ (𝑇 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)))) → (𝐺 Σg ⟨“𝑇𝑈𝑉”⟩) = (𝑇 + (𝑈 + 𝑉)))
21	18, 20	oveq12d 7426	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑆 ∈ 𝐵 ∧ (𝑇 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)))) → ((𝐺 Σg ⟨“𝑆”⟩) + (𝐺 Σg ⟨“𝑇𝑈𝑉”⟩)) = (𝑆 + (𝑇 + (𝑈 + 𝑉))))
22	3, 16, 21	3eqtrd 2808	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑆 ∈ 𝐵 ∧ (𝑇 ∈ 𝐵 ∧ (𝑈 ∈ 𝐵 ∧ 𝑉 ∈ 𝐵)))) → (𝐺 Σg ⟨“𝑆𝑇𝑈𝑉”⟩) = (𝑆 + (𝑇 + (𝑈 + 𝑉))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ‘cfv 6533  (class class class)co 7408  Word cword 14546   ++ cconcat 14603  ⟨“cs1 14629  ⟨“cs3 14875  ⟨“cs4 14876  Basecbs 17265  +_gcplusg 17306   Σ_g cgsu 17489  Mndcmnd 18788

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-card 9921  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-nn 12230  df-2 12299  df-n0 12501  df-z 12588  df-uz 12859  df-fz 13532  df-fzo 13679  df-seq 14034  df-hash 14363  df-word 14547  df-concat 14604  df-s1 14630  df-s2 14881  df-s3 14882  df-s4 14883  df-sets 17220  df-slot 17238  df-ndx 17250  df-base 17266  df-ress 17287  df-plusg 17319  df-0g 17490  df-gsum 17491  df-mgm 18694  df-sgrp 18773  df-mnd 18789  df-submnd 18838

This theorem is referenced by:  amgm4d  44811