Users' Mathboxes Mathbox for Stanislas Polu < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  gsumws4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumws4 43658
Description: Valuation of a length 4 word in a monoid. (Contributed by Stanislas Polu, 10-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumws4.0 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumws4.1 + = (+g𝐺)
Assertion
Ref Expression
gsumws4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑆𝐵 ∧ (𝑇𝐵 ∧ (𝑈𝐵𝑉𝐵)))) → (𝐺 Σg ⟨“𝑆𝑇𝑈𝑉”⟩) = (𝑆 + (𝑇 + (𝑈 + 𝑉))))

Proof of Theorem gsumws4
StepHypRef Expression
1 s1s3 14915 . . . 4 ⟨“𝑆𝑇𝑈𝑉”⟩ = (⟨“𝑆”⟩ ++ ⟨“𝑇𝑈𝑉”⟩)
21a1i 11 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑆𝐵 ∧ (𝑇𝐵 ∧ (𝑈𝐵𝑉𝐵)))) → ⟨“𝑆𝑇𝑈𝑉”⟩ = (⟨“𝑆”⟩ ++ ⟨“𝑇𝑈𝑉”⟩))
32oveq2d 7442 . 2 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑆𝐵 ∧ (𝑇𝐵 ∧ (𝑈𝐵𝑉𝐵)))) → (𝐺 Σg ⟨“𝑆𝑇𝑈𝑉”⟩) = (𝐺 Σg (⟨“𝑆”⟩ ++ ⟨“𝑇𝑈𝑉”⟩)))
4 simpl 481 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑆𝐵 ∧ (𝑇𝐵 ∧ (𝑈𝐵𝑉𝐵)))) → 𝐺 ∈ Mnd)
5 simprl 769 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑆𝐵 ∧ (𝑇𝐵 ∧ (𝑈𝐵𝑉𝐵)))) → 𝑆𝐵)
65s1cld 14593 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑆𝐵 ∧ (𝑇𝐵 ∧ (𝑈𝐵𝑉𝐵)))) → ⟨“𝑆”⟩ ∈ Word 𝐵)
7 simprrl 779 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑆𝐵 ∧ (𝑇𝐵 ∧ (𝑈𝐵𝑉𝐵)))) → 𝑇𝐵)
8 simprrl 779 . . . . 5 ((𝑆𝐵 ∧ (𝑇𝐵 ∧ (𝑈𝐵𝑉𝐵))) → 𝑈𝐵)
98adantl 480 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑆𝐵 ∧ (𝑇𝐵 ∧ (𝑈𝐵𝑉𝐵)))) → 𝑈𝐵)
10 simprrr 780 . . . . 5 ((𝑆𝐵 ∧ (𝑇𝐵 ∧ (𝑈𝐵𝑉𝐵))) → 𝑉𝐵)
1110adantl 480 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑆𝐵 ∧ (𝑇𝐵 ∧ (𝑈𝐵𝑉𝐵)))) → 𝑉𝐵)
127, 9, 11s3cld 14863 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑆𝐵 ∧ (𝑇𝐵 ∧ (𝑈𝐵𝑉𝐵)))) → ⟨“𝑇𝑈𝑉”⟩ ∈ Word 𝐵)
13 gsumws4.0 . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐺)
14 gsumws4.1 . . . 4 + = (+g𝐺)
1513, 14gsumccat 18800 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ ⟨“𝑆”⟩ ∈ Word 𝐵 ∧ ⟨“𝑇𝑈𝑉”⟩ ∈ Word 𝐵) → (𝐺 Σg (⟨“𝑆”⟩ ++ ⟨“𝑇𝑈𝑉”⟩)) = ((𝐺 Σg ⟨“𝑆”⟩) + (𝐺 Σg ⟨“𝑇𝑈𝑉”⟩)))
164, 6, 12, 15syl3anc 1368 . 2 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑆𝐵 ∧ (𝑇𝐵 ∧ (𝑈𝐵𝑉𝐵)))) → (𝐺 Σg (⟨“𝑆”⟩ ++ ⟨“𝑇𝑈𝑉”⟩)) = ((𝐺 Σg ⟨“𝑆”⟩) + (𝐺 Σg ⟨“𝑇𝑈𝑉”⟩)))
1713gsumws1 18797 . . . 4 (𝑆𝐵 → (𝐺 Σg ⟨“𝑆”⟩) = 𝑆)
1817ad2antrl 726 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑆𝐵 ∧ (𝑇𝐵 ∧ (𝑈𝐵𝑉𝐵)))) → (𝐺 Σg ⟨“𝑆”⟩) = 𝑆)
1913, 14gsumws3 43657 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑇𝐵 ∧ (𝑈𝐵𝑉𝐵))) → (𝐺 Σg ⟨“𝑇𝑈𝑉”⟩) = (𝑇 + (𝑈 + 𝑉)))
2019adantrl 714 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑆𝐵 ∧ (𝑇𝐵 ∧ (𝑈𝐵𝑉𝐵)))) → (𝐺 Σg ⟨“𝑇𝑈𝑉”⟩) = (𝑇 + (𝑈 + 𝑉)))
2118, 20oveq12d 7444 . 2 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑆𝐵 ∧ (𝑇𝐵 ∧ (𝑈𝐵𝑉𝐵)))) → ((𝐺 Σg ⟨“𝑆”⟩) + (𝐺 Σg ⟨“𝑇𝑈𝑉”⟩)) = (𝑆 + (𝑇 + (𝑈 + 𝑉))))
223, 16, 213eqtrd 2772 1 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑆𝐵 ∧ (𝑇𝐵 ∧ (𝑈𝐵𝑉𝐵)))) → (𝐺 Σg ⟨“𝑆𝑇𝑈𝑉”⟩) = (𝑆 + (𝑇 + (𝑈 + 𝑉))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  cfv 6553  (class class class)co 7426  Word cword 14504   ++ cconcat 14560  ⟨“cs1 14585  ⟨“cs3 14833  ⟨“cs4 14834  Basecbs 17187  +gcplusg 17240   Σg cgsu 17429  Mndcmnd 18701
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-seq 14007  df-hash 14330  df-word 14505  df-concat 14561  df-s1 14586  df-s2 14839  df-s3 14840  df-s4 14841  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-0g 17430  df-gsum 17431  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-submnd 18748
This theorem is referenced by:  amgm4d  43661
  Copyright terms: Public domain W3C validator