Theorem cayleylem1 19626

Description: Lemma for cayley 19628. (Contributed by Paul Chapman, 3-Mar-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cayleylem1.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
cayleylem1.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
cayleylem1.u	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
cayleylem1.h	⊢ 𝐻 = (SymGrp‘𝑋)
cayleylem1.s	⊢ 𝑆 = (Base‘𝐻)
cayleylem1.f	⊢ 𝐹 = (𝑔 ∈ 𝑋 ↦ (𝑎 ∈ 𝑋 ↦ (𝑔 + 𝑎)))

Assertion

Ref	Expression
cayleylem1	⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))

Distinct variable groups:   𝑔,𝑎, +   𝐺,𝑎,𝑔   𝑔,𝐻   𝑋,𝑎,𝑔   0 ,𝑎

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑔, 𝑎)   𝐹(𝑔, 𝑎)   𝐻(𝑎)   0 (𝑔)

Proof of Theorem cayleylem1

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cayleylem1.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
2		cayleylem1.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
3		eqid 2761	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝑥 + 𝑦)) = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝑥 + 𝑦))
4	1, 2, 3	gaid2 19517	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝑥 + 𝑦)) ∈ (𝐺 GrpAct 𝑋))
5		cayleylem1.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (SymGrp‘𝑋)
6		cayleylem1.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑔 ∈ 𝑋 ↦ (𝑎 ∈ 𝑋 ↦ (𝑔 + 𝑎)))
7		oveq12 7429	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = 𝑔 ∧ 𝑦 = 𝑎) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑔 + 𝑎))
8		ovex 7453	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 + 𝑎) ∈ V
9	7, 3, 8	ovmpoa 7575	. . . . . 6 ⊢ ((𝑔 ∈ 𝑋 ∧ 𝑎 ∈ 𝑋) → (𝑔(𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝑥 + 𝑦))𝑎) = (𝑔 + 𝑎))
10	9	mpteq2dva 5198	. . . . 5 ⊢ (𝑔 ∈ 𝑋 → (𝑎 ∈ 𝑋 ↦ (𝑔(𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝑥 + 𝑦))𝑎)) = (𝑎 ∈ 𝑋 ↦ (𝑔 + 𝑎)))
11	10	mpteq2ia 5200	. . . 4 ⊢ (𝑔 ∈ 𝑋 ↦ (𝑎 ∈ 𝑋 ↦ (𝑔(𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝑥 + 𝑦))𝑎))) = (𝑔 ∈ 𝑋 ↦ (𝑎 ∈ 𝑋 ↦ (𝑔 + 𝑎)))
12	6, 11	eqtr4i 2787	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑔 ∈ 𝑋 ↦ (𝑎 ∈ 𝑋 ↦ (𝑔(𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝑥 + 𝑦))𝑎)))
13	1, 5, 12	galactghm 19618	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝑥 + 𝑦)) ∈ (𝐺 GrpAct 𝑋) → 𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
14	4, 13	syl 18	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ↦ cmpt 5186  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ∈ cmpo 7422  Basecbs 17387  +_gcplusg 17428  0_gc0g 17610  Grpcgrp 19144   GrpHom cghm 19427   GrpAct cga 19503  SymGrpcsymg 19583

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-er 8717  df-map 8849  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-fz 13640  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-tset 17447  df-0g 17612  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-efmnd 19065  df-grp 19147  df-minusg 19148  df-subg 19333  df-ghm 19428  df-ga 19504  df-symg 19584

This theorem is used by:  cayleylem2  19627  cayley  19628