Theorem cayleylem1 19322

Description: Lemma for cayley 19324. (Contributed by Paul Chapman, 3-Mar-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cayleylem1.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
cayleylem1.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
cayleylem1.u	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
cayleylem1.h	⊢ 𝐻 = (SymGrp‘𝑋)
cayleylem1.s	⊢ 𝑆 = (Base‘𝐻)
cayleylem1.f	⊢ 𝐹 = (𝑔 ∈ 𝑋 ↦ (𝑎 ∈ 𝑋 ↦ (𝑔 + 𝑎)))

Assertion

Ref	Expression
cayleylem1	⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))

Distinct variable groups:   𝑔,𝑎, +   𝐺,𝑎,𝑔   𝑔,𝐻   𝑋,𝑎,𝑔   0 ,𝑎

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑔,𝑎)   𝐹(𝑔,𝑎)   𝐻(𝑎)   0 (𝑔)

Proof of Theorem cayleylem1

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cayleylem1.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
2		cayleylem1.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
3		eqid 2724	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝑥 + 𝑦)) = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝑥 + 𝑦))
4	1, 2, 3	gaid2 19209	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝑥 + 𝑦)) ∈ (𝐺 GrpAct 𝑋))
5		cayleylem1.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (SymGrp‘𝑋)
6		cayleylem1.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑔 ∈ 𝑋 ↦ (𝑎 ∈ 𝑋 ↦ (𝑔 + 𝑎)))
7		oveq12 7410	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = 𝑔 ∧ 𝑦 = 𝑎) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑔 + 𝑎))
8		ovex 7434	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 + 𝑎) ∈ V
9	7, 3, 8	ovmpoa 7555	. . . . . 6 ⊢ ((𝑔 ∈ 𝑋 ∧ 𝑎 ∈ 𝑋) → (𝑔(𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝑥 + 𝑦))𝑎) = (𝑔 + 𝑎))
10	9	mpteq2dva 5238	. . . . 5 ⊢ (𝑔 ∈ 𝑋 → (𝑎 ∈ 𝑋 ↦ (𝑔(𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝑥 + 𝑦))𝑎)) = (𝑎 ∈ 𝑋 ↦ (𝑔 + 𝑎)))
11	10	mpteq2ia 5241	. . . 4 ⊢ (𝑔 ∈ 𝑋 ↦ (𝑎 ∈ 𝑋 ↦ (𝑔(𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝑥 + 𝑦))𝑎))) = (𝑔 ∈ 𝑋 ↦ (𝑎 ∈ 𝑋 ↦ (𝑔 + 𝑎)))
12	6, 11	eqtr4i 2755	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑔 ∈ 𝑋 ↦ (𝑎 ∈ 𝑋 ↦ (𝑔(𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝑥 + 𝑦))𝑎)))
13	1, 5, 12	galactghm 19314	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (𝑥 + 𝑦)) ∈ (𝐺 GrpAct 𝑋) → 𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
14	4, 13	syl 17	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ↦ cmpt 5221  ‘cfv 6533  (class class class)co 7401   ∈ cmpo 7403  Basecbs 17143  +_gcplusg 17196  0_gc0g 17384  Grpcgrp 18853   GrpHom cghm 19128   GrpAct cga 19195  SymGrpcsymg 19276

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-fz 13482  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-tset 17215  df-0g 17386  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-efmnd 18784  df-grp 18856  df-minusg 18857  df-subg 19040  df-ghm 19129  df-ga 19196  df-symg 19277

This theorem is referenced by:  cayleylem2  19323  cayley  19324