MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cayleylem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cayleylem1 19020
Description: Lemma for cayley 19022. (Contributed by Paul Chapman, 3-Mar-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cayleylem1.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
cayleylem1.p + = (+g𝐺)
cayleylem1.u 0 = (0g𝐺)
cayleylem1.h 𝐻 = (SymGrp‘𝑋)
cayleylem1.s 𝑆 = (Base‘𝐻)
cayleylem1.f 𝐹 = (𝑔𝑋 ↦ (𝑎𝑋 ↦ (𝑔 + 𝑎)))
Assertion
Ref Expression
cayleylem1 (𝐺 ∈ Grp → 𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
Distinct variable groups:   𝑔,𝑎, +   𝐺,𝑎,𝑔   𝑔,𝐻   𝑋,𝑎,𝑔   0 ,𝑎
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑔,𝑎)   𝐹(𝑔,𝑎)   𝐻(𝑎)   0 (𝑔)

Proof of Theorem cayleylem1
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cayleylem1.x . . 3 𝑋 = (Base‘𝐺)
2 cayleylem1.p . . 3 + = (+g𝐺)
3 eqid 2738 . . 3 (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (𝑥 + 𝑦)) = (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (𝑥 + 𝑦))
41, 2, 3gaid2 18909 . 2 (𝐺 ∈ Grp → (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (𝑥 + 𝑦)) ∈ (𝐺 GrpAct 𝑋))
5 cayleylem1.h . . 3 𝐻 = (SymGrp‘𝑋)
6 cayleylem1.f . . . 4 𝐹 = (𝑔𝑋 ↦ (𝑎𝑋 ↦ (𝑔 + 𝑎)))
7 oveq12 7284 . . . . . . 7 ((𝑥 = 𝑔𝑦 = 𝑎) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑔 + 𝑎))
8 ovex 7308 . . . . . . 7 (𝑔 + 𝑎) ∈ V
97, 3, 8ovmpoa 7428 . . . . . 6 ((𝑔𝑋𝑎𝑋) → (𝑔(𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (𝑥 + 𝑦))𝑎) = (𝑔 + 𝑎))
109mpteq2dva 5174 . . . . 5 (𝑔𝑋 → (𝑎𝑋 ↦ (𝑔(𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (𝑥 + 𝑦))𝑎)) = (𝑎𝑋 ↦ (𝑔 + 𝑎)))
1110mpteq2ia 5177 . . . 4 (𝑔𝑋 ↦ (𝑎𝑋 ↦ (𝑔(𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (𝑥 + 𝑦))𝑎))) = (𝑔𝑋 ↦ (𝑎𝑋 ↦ (𝑔 + 𝑎)))
126, 11eqtr4i 2769 . . 3 𝐹 = (𝑔𝑋 ↦ (𝑎𝑋 ↦ (𝑔(𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (𝑥 + 𝑦))𝑎)))
131, 5, 12galactghm 19012 . 2 ((𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (𝑥 + 𝑦)) ∈ (𝐺 GrpAct 𝑋) → 𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
144, 13syl 17 1 (𝐺 ∈ Grp → 𝐹 ∈ (𝐺 GrpHom 𝐻))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1539  wcel 2106  cmpt 5157  cfv 6433  (class class class)co 7275  cmpo 7277  Basecbs 16912  +gcplusg 16962  0gc0g 17150  Grpcgrp 18577   GrpHom cghm 18831   GrpAct cga 18895  SymGrpcsymg 18974
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-tset 16981  df-0g 17152  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-efmnd 18508  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-subg 18752  df-ghm 18832  df-ga 18896  df-symg 18975
This theorem is referenced by:  cayleylem2  19021  cayley  19022
  Copyright terms: Public domain W3C validator