Theorem imasgrpf1 19181

Description: The image of a group under an injection is a group. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
imasgrpf1.u	⊢ 𝑈 = (𝐹 “s 𝑅)
imasgrpf1.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
imasgrpf1	⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝐵 ∧ 𝑅 ∈ Grp) → 𝑈 ∈ Grp)

Proof of Theorem imasgrpf1

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑝 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imasgrpf1.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (𝐹 “s 𝑅)
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝐵 ∧ 𝑅 ∈ Grp) → 𝑈 = (𝐹 “s 𝑅))
3		imasgrpf1.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑅)
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝐵 ∧ 𝑅 ∈ Grp) → 𝑉 = (Base‘𝑅))
5		eqidd 2761	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝐵 ∧ 𝑅 ∈ Grp) → (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅))
6		f1f1orn 6830	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝑉–1-1→𝐵 → 𝐹:𝑉–1-1-onto→ran 𝐹)
7	6	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝐵 ∧ 𝑅 ∈ Grp) → 𝐹:𝑉–1-1-onto→ran 𝐹)
8		f1ofo 6826	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝑉–1-1-onto→ran 𝐹 → 𝐹:𝑉–onto→ran 𝐹)
9	7, 8	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝐵 ∧ 𝑅 ∈ Grp) → 𝐹:𝑉–onto→ran 𝐹)
10	7	f1ocpbl 17612	. . 3 ⊢ (((𝐹:𝑉–1-1→𝐵 ∧ 𝑅 ∈ Grp) ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ (𝑝 ∈ 𝑉 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉)) → (((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑝) ∧ (𝐹‘𝑏) = (𝐹‘𝑞)) → (𝐹‘(𝑎(+g‘𝑅)𝑏)) = (𝐹‘(𝑝(+g‘𝑅)𝑞))))
11		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝐵 ∧ 𝑅 ∈ Grp) → 𝑅 ∈ Grp)
12		eqid 2760	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
13	2, 4, 5, 9, 10, 11, 12	imasgrp 19180	. 2 ⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝐵 ∧ 𝑅 ∈ Grp) → (𝑈 ∈ Grp ∧ (𝐹‘(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑈)))
14	13	simpld 500	1 ⊢ ((𝐹:𝑉–1-1→𝐵 ∧ 𝑅 ∈ Grp) → 𝑈 ∈ Grp)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ran crn 5656  –1-1→wf1 6530  –onto→wfo 6531  –1-1-onto→wf1o 6532  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  Basecbs 17302  +_gcplusg 17343  0_gc0g 17525   “_s cimas 17591  Grpcgrp 19058

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8456  df-er 8697  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-sup 9413  df-inf 9414  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-4 12330  df-5 12331  df-6 12332  df-7 12333  df-8 12334  df-9 12335  df-n0 12530  df-z 12617  df-dec 12738  df-uz 12889  df-fz 13563  df-struct 17240  df-slot 17275  df-ndx 17287  df-base 17303  df-plusg 17356  df-mulr 17357  df-sca 17359  df-vsca 17360  df-ip 17361  df-tset 17362  df-ple 17363  df-ds 17365  df-0g 17527  df-imas 17595  df-mgm 18731  df-sgrp 18822  df-mnd 18838  df-grp 19061  df-minusg 19062

This theorem is used by:  xpsgrp  19183