Theorem inagcgrasubhl 33049

Description: In-angle transport, degenerate branch (i): the sub-angle ⟨“𝐷𝐸𝑊”⟩ is **null**, 𝑊 lying on ray 𝐸𝐷. The witness is not constructed -- it is 𝑋, the target's own first arm -- and cgrahlb 33047 supplies the copied angle from the two ray degeneracies. No GeoCoq counterpart: GeoCoq's branch only locates a witness supplied by its universal statement. (Contributed by JAG, 12-Aug-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
inagcgrasubhl.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
inagcgrasubhl.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
inagcgrasubhl.k	⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
inagcgrasubhl.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
inagcgrasubhl.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
inagcgrasubhl.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
inagcgrasubhl.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
inagcgrasubhl.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑃)
inagcgrasubhl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
inagcgrasubhl.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
inagcgrasubhl.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
inagcgrasubhl.cgb	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩)
inagcgrasubhl.1	⊢ (𝜑 → 𝐷(𝐾‘𝐸)𝑊)

Assertion

Ref	Expression
inagcgrasubhl	⊢ (𝜑 → ∃𝑣 ∈ 𝑃 (𝑣(inA‘𝐺)⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ∧ ⟨“𝐷𝐸𝑊”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑋𝑌𝑣”⟩))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑣   𝑣,𝑃   𝑣,𝐼   𝑣,𝐾   𝑣,𝐺   𝑣,𝐷   𝑣,𝐸   𝑣,𝐹   𝑣,𝑊   𝑣,𝑋   𝑣,𝑌   𝑣,𝑍

Proof of Theorem inagcgrasubhl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inagcgrasubhl.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
2		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 = 𝑋) → 𝑣 = 𝑋)
3	2	breq1d 5112	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 = 𝑋) → (𝑣(inA‘𝐺)⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ↔ 𝑋(inA‘𝐺)⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩))
4		eqidd 2761	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 = 𝑋) → 𝑋 = 𝑋)
5		eqidd 2761	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 = 𝑋) → 𝑌 = 𝑌)
6	4, 5, 2	s3eqd 15015	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 = 𝑋) → ⟨“𝑋𝑌𝑣”⟩ = ⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩)
7	6	breq2d 5114	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 = 𝑋) → (⟨“𝐷𝐸𝑊”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑋𝑌𝑣”⟩ ↔ ⟨“𝐷𝐸𝑊”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩))
8	3, 7	anbi12d 644	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 = 𝑋) → ((𝑣(inA‘𝐺)⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ∧ ⟨“𝐷𝐸𝑊”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑋𝑌𝑣”⟩) ↔ (𝑋(inA‘𝐺)⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ∧ ⟨“𝐷𝐸𝑊”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩)))
9		inagcgrasubhl.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
10		inagcgrasubhl.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
11		inagcgrasubhl.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
12		inagcgrasubhl.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
13		inagcgrasubhl.z	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
14		inagcgrasubhl.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
15		inagcgrasubhl.d	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
16		inagcgrasubhl.e	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
17		inagcgrasubhl.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
18		inagcgrasubhl.cgb	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩)
19	9, 10, 11, 14, 15, 16, 17, 1, 12, 13, 18	cgrane3 29321	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 𝑋)
20	19	necomd 3010	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑌)
21	9, 10, 11, 14, 15, 16, 17, 1, 12, 13, 18	cgrane4 29322	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 𝑍)
22	21	necomd 3010	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ≠ 𝑌)
23		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
24	9, 23, 10, 14, 1, 13	tgbtwntriv1 28954	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑋𝐼𝑍))
25	9, 10, 11, 1, 1, 12, 14, 20	hlid 29075	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋(𝐾‘𝑌)𝑋)
26	25	olcd 888	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 = 𝑌 ∨ 𝑋(𝐾‘𝑌)𝑋))
27	9, 10, 11, 1, 1, 12, 13, 14, 1, 20, 22, 20, 24, 26	isinagd 29358	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋(inA‘𝐺)⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩)
28		inagcgrasubhl.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑃)
29		inagcgrasubhl.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷(𝐾‘𝐸)𝑊)
30	9, 10, 11, 23, 14, 15, 16, 28, 1, 12, 1, 29, 25	cgrahlb 33047	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐷𝐸𝑊”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩)
31	27, 30	jca 521	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋(inA‘𝐺)⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ∧ ⟨“𝐷𝐸𝑊”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩))
32	1, 8, 31	rspcedvd 3578	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑣 ∈ 𝑃 (𝑣(inA‘𝐺)⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ∧ ⟨“𝐷𝐸𝑊”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑋𝑌𝑣”⟩))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∃wrex 3086   class class class wbr 5102  ‘cfv 6538  ⟨“cs3 14993  Basecbs 17387  distcds 17437  TarskiGcstrkg 28889  Itvcitv 28895  hlGchlg 29063  cgrAccgra 29314  inAcinag 29354

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-oadd 8480  df-er 8717  df-map 8849  df-pm 8850  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-dju 9982  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-n0 12607  df-xnn0 12680  df-z 12694  df-uz 12966  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-hash 14475  df-word 14659  df-concat 14716  df-s1 14743  df-s2 14999  df-s3 15000  df-trkgc 28910  df-trkgb 28911  df-trkgcb 28912  df-trkg 28915  df-cgrg 28974  df-leg 29046  df-hlg 29064  df-cgra 29315  df-inag 29356

This theorem is used by:  cgrainag  33060