Theorem inagcgrasubhl 33079

Description: In-angle transport, degenerate branch (i): the sub-angle ⟨“𝐷𝐸𝑊”⟩ is **null**, 𝑊 lying on ray 𝐸𝐷. The witness is not constructed -- it is 𝑋, the target's own first arm -- and cgrahlb 33077 supplies the copied angle from the two ray degeneracies. No GeoCoq counterpart: GeoCoq's branch only locates a witness supplied by its universal statement. (Contributed by JAG, 12-Aug-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
inagcgrasubhl.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
inagcgrasubhl.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
inagcgrasubhl.k	⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
inagcgrasubhl.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
inagcgrasubhl.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
inagcgrasubhl.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
inagcgrasubhl.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
inagcgrasubhl.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑃)
inagcgrasubhl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
inagcgrasubhl.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
inagcgrasubhl.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
inagcgrasubhl.cgb	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩)
inagcgrasubhl.1	⊢ (𝜑 → 𝐷(𝐾‘𝐸)𝑊)

Assertion

Ref	Expression
inagcgrasubhl	⊢ (𝜑 → ∃𝑣 ∈ 𝑃 (𝑣(inA‘𝐺)⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ∧ ⟨“𝐷𝐸𝑊”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑋𝑌𝑣”⟩))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑣   𝑣,𝑃   𝑣,𝐼   𝑣,𝐾   𝑣,𝐺   𝑣,𝐷   𝑣,𝐸   𝑣,𝐹   𝑣,𝑊   𝑣,𝑋   𝑣,𝑌   𝑣,𝑍

Proof of Theorem inagcgrasubhl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inagcgrasubhl.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
2		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 = 𝑋) → 𝑣 = 𝑋)
3	2	breq1d 5116	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 = 𝑋) → (𝑣(inA‘𝐺)⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ↔ 𝑋(inA‘𝐺)⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩))
4		eqidd 2764	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 = 𝑋) → 𝑋 = 𝑋)
5		eqidd 2764	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 = 𝑋) → 𝑌 = 𝑌)
6	4, 5, 2	s3eqd 15043	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 = 𝑋) → ⟨“𝑋𝑌𝑣”⟩ = ⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩)
7	6	breq2d 5118	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 = 𝑋) → (⟨“𝐷𝐸𝑊”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑋𝑌𝑣”⟩ ↔ ⟨“𝐷𝐸𝑊”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩))
8	3, 7	anbi12d 644	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 = 𝑋) → ((𝑣(inA‘𝐺)⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ∧ ⟨“𝐷𝐸𝑊”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑋𝑌𝑣”⟩) ↔ (𝑋(inA‘𝐺)⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ∧ ⟨“𝐷𝐸𝑊”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩)))
9		inagcgrasubhl.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
10		inagcgrasubhl.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
11		inagcgrasubhl.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
12		inagcgrasubhl.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
13		inagcgrasubhl.z	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
14		inagcgrasubhl.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
15		inagcgrasubhl.d	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
16		inagcgrasubhl.e	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
17		inagcgrasubhl.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
18		inagcgrasubhl.cgb	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩)
19	9, 10, 11, 14, 15, 16, 17, 1, 12, 13, 18	cgrane3 29351	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 𝑋)
20	19	necomd 3014	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑌)
21	9, 10, 11, 14, 15, 16, 17, 1, 12, 13, 18	cgrane4 29352	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 𝑍)
22	21	necomd 3014	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ≠ 𝑌)
23		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
24	9, 23, 10, 14, 1, 13	tgbtwntriv1 28984	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑋𝐼𝑍))
25	9, 10, 11, 1, 1, 12, 14, 20	hlid 29105	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋(𝐾‘𝑌)𝑋)
26	25	olcd 888	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 = 𝑌 ∨ 𝑋(𝐾‘𝑌)𝑋))
27	9, 10, 11, 1, 1, 12, 13, 14, 1, 20, 22, 20, 24, 26	isinagd 29388	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋(inA‘𝐺)⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩)
28		inagcgrasubhl.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑃)
29		inagcgrasubhl.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷(𝐾‘𝐸)𝑊)
30	9, 10, 11, 23, 14, 15, 16, 28, 1, 12, 1, 29, 25	cgrahlb 33077	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐷𝐸𝑊”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩)
31	27, 30	jca 521	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋(inA‘𝐺)⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ∧ ⟨“𝐷𝐸𝑊”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩))
32	1, 8, 31	rspcedvd 3582	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑣 ∈ 𝑃 (𝑣(inA‘𝐺)⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ∧ ⟨“𝐷𝐸𝑊”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑋𝑌𝑣”⟩))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∃wrex 3090   class class class wbr 5106  ‘cfv 6558  ⟨“cs3 15021  Basecbs 17416  distcds 17466  TarskiGcstrkg 28919  Itvcitv 28925  hlGchlg 29093  cgrAccgra 29344  inAcinag 29384

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-oadd 8508  df-er 8745  df-map 8877  df-pm 8878  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-dju 10009  df-card 10047  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-n0 12634  df-xnn0 12707  df-z 12721  df-uz 12993  df-fz 13667  df-fzo 13816  df-hash 14502  df-word 14686  df-concat 14743  df-s1 14770  df-s2 15027  df-s3 15028  df-trkgc 28940  df-trkgb 28941  df-trkgcb 28942  df-trkg 28945  df-cgrg 29004  df-leg 29076  df-hlg 29094  df-cgra 29345  df-inag 29386

This theorem is used by:  cgrainag  33090