Theorem ipeq0 21523

Description: The inner product of a vector with itself is zero iff the vector is zero. Part of Definition 3.1-1 of [Kreyszig] p. 129. (Contributed by NM, 24-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
phlsrng.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
phllmhm.h	⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
phllmhm.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
ip0l.z	⊢ 𝑍 = (0g‘𝐹)
ip0l.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ipeq0	⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((𝐴 , 𝐴) = 𝑍 ↔ 𝐴 = 0 ))

Proof of Theorem ipeq0

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		phllmhm.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		phlsrng.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
3		phllmhm.h	. . . . . 6 ⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
4		ip0l.o	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
5		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (*𝑟‘𝐹) = (*𝑟‘𝐹)
6		ip0l.z	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (0g‘𝐹)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	isphl 21513	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil ↔ (𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ *-Ring ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (𝑦 , 𝑥)) ∈ (𝑊 LMHom (ringLMod‘𝐹)) ∧ ((𝑥 , 𝑥) = 𝑍 → 𝑥 = 0 ) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑉 ((*𝑟‘𝐹)‘(𝑥 , 𝑦)) = (𝑦 , 𝑥))))
8	7	simp3bi 1147	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (𝑦 , 𝑥)) ∈ (𝑊 LMHom (ringLMod‘𝐹)) ∧ ((𝑥 , 𝑥) = 𝑍 → 𝑥 = 0 ) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑉 ((*𝑟‘𝐹)‘(𝑥 , 𝑦)) = (𝑦 , 𝑥)))
9		simp2 1137	. . . . 5 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (𝑦 , 𝑥)) ∈ (𝑊 LMHom (ringLMod‘𝐹)) ∧ ((𝑥 , 𝑥) = 𝑍 → 𝑥 = 0 ) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑉 ((*𝑟‘𝐹)‘(𝑥 , 𝑦)) = (𝑦 , 𝑥)) → ((𝑥 , 𝑥) = 𝑍 → 𝑥 = 0 ))
10	9	ralimi 3066	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑉 ((𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (𝑦 , 𝑥)) ∈ (𝑊 LMHom (ringLMod‘𝐹)) ∧ ((𝑥 , 𝑥) = 𝑍 → 𝑥 = 0 ) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑉 ((*𝑟‘𝐹)‘(𝑥 , 𝑦)) = (𝑦 , 𝑥)) → ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((𝑥 , 𝑥) = 𝑍 → 𝑥 = 0 ))
11	8, 10	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → ∀𝑥 ∈ 𝑉 ((𝑥 , 𝑥) = 𝑍 → 𝑥 = 0 ))
12		oveq12 7378	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = 𝐴 ∧ 𝑥 = 𝐴) → (𝑥 , 𝑥) = (𝐴 , 𝐴))
13	12	anidms 566	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 , 𝑥) = (𝐴 , 𝐴))
14	13	eqeq1d 2731	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥 , 𝑥) = 𝑍 ↔ (𝐴 , 𝐴) = 𝑍))
15		eqeq1 2733	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 = 0 ↔ 𝐴 = 0 ))
16	14, 15	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (((𝑥 , 𝑥) = 𝑍 → 𝑥 = 0 ) ↔ ((𝐴 , 𝐴) = 𝑍 → 𝐴 = 0 )))
17	16	rspccva 3584	. . 3 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝑉 ((𝑥 , 𝑥) = 𝑍 → 𝑥 = 0 ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((𝐴 , 𝐴) = 𝑍 → 𝐴 = 0 ))
18	11, 17	sylan 580	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((𝐴 , 𝐴) = 𝑍 → 𝐴 = 0 ))
19	2, 3, 1, 6, 4	ip0l 21521	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ( 0 , 𝐴) = 𝑍)
20		oveq1 7376	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴 , 𝐴) = ( 0 , 𝐴))
21	20	eqeq1d 2731	. . 3 ⊢ (𝐴 = 0 → ((𝐴 , 𝐴) = 𝑍 ↔ ( 0 , 𝐴) = 𝑍))
22	19, 21	syl5ibrcom 247	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐴 = 0 → (𝐴 , 𝐴) = 𝑍))
23	18, 22	impbid 212	1 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ((𝐴 , 𝐴) = 𝑍 ↔ 𝐴 = 0 ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044   ↦ cmpt 5183  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  Basecbs 17155  *_𝑟cstv 17198  Scalarcsca 17199  ·_𝑖cip 17201  0_gc0g 17378  *-Ringcsr 20723   LMHom clmhm 20902  LVecclvec 20985  ringLModcrglmod 21055  PreHilcphl 21509

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-map 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-plusg 17209  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-0g 17380  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-grp 18844  df-ghm 19121  df-lmod 20744  df-lmhm 20905  df-lvec 20986  df-sra 21056  df-rgmod 21057  df-phl 21511

This theorem is referenced by:  ip2eq  21538  phlssphl  21544  ocvin  21559  lsmcss  21577  obsne0  21610  cphipeq0  25080  ipcau2  25110  tcphcph  25113