MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipeq0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ipeq0 21557
Description: The inner product of a vector with itself is zero iff the vector is zero. Part of Definition 3.1-1 of [Kreyszig] p. 129. (Contributed by NM, 24-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
phlsrng.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
phllmhm.h , = (Β·π‘–β€˜π‘Š)
phllmhm.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
ip0l.z 𝑍 = (0gβ€˜πΉ)
ip0l.o 0 = (0gβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
ipeq0 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ ((𝐴 , 𝐴) = 𝑍 ↔ 𝐴 = 0 ))

Proof of Theorem ipeq0
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 phllmhm.v . . . . . 6 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
2 phlsrng.f . . . . . 6 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
3 phllmhm.h . . . . . 6 , = (Β·π‘–β€˜π‘Š)
4 ip0l.o . . . . . 6 0 = (0gβ€˜π‘Š)
5 eqid 2727 . . . . . 6 (*π‘Ÿβ€˜πΉ) = (*π‘Ÿβ€˜πΉ)
6 ip0l.z . . . . . 6 𝑍 = (0gβ€˜πΉ)
71, 2, 3, 4, 5, 6isphl 21547 . . . . 5 (π‘Š ∈ PreHil ↔ (π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ *-Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (𝑦 , π‘₯)) ∈ (π‘Š LMHom (ringLModβ€˜πΉ)) ∧ ((π‘₯ , π‘₯) = 𝑍 β†’ π‘₯ = 0 ) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 ((*π‘Ÿβ€˜πΉ)β€˜(π‘₯ , 𝑦)) = (𝑦 , π‘₯))))
87simp3bi 1145 . . . 4 (π‘Š ∈ PreHil β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (𝑦 , π‘₯)) ∈ (π‘Š LMHom (ringLModβ€˜πΉ)) ∧ ((π‘₯ , π‘₯) = 𝑍 β†’ π‘₯ = 0 ) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 ((*π‘Ÿβ€˜πΉ)β€˜(π‘₯ , 𝑦)) = (𝑦 , π‘₯)))
9 simp2 1135 . . . . 5 (((𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (𝑦 , π‘₯)) ∈ (π‘Š LMHom (ringLModβ€˜πΉ)) ∧ ((π‘₯ , π‘₯) = 𝑍 β†’ π‘₯ = 0 ) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 ((*π‘Ÿβ€˜πΉ)β€˜(π‘₯ , 𝑦)) = (𝑦 , π‘₯)) β†’ ((π‘₯ , π‘₯) = 𝑍 β†’ π‘₯ = 0 ))
109ralimi 3078 . . . 4 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (𝑦 , π‘₯)) ∈ (π‘Š LMHom (ringLModβ€˜πΉ)) ∧ ((π‘₯ , π‘₯) = 𝑍 β†’ π‘₯ = 0 ) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 ((*π‘Ÿβ€˜πΉ)β€˜(π‘₯ , 𝑦)) = (𝑦 , π‘₯)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((π‘₯ , π‘₯) = 𝑍 β†’ π‘₯ = 0 ))
118, 10syl 17 . . 3 (π‘Š ∈ PreHil β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((π‘₯ , π‘₯) = 𝑍 β†’ π‘₯ = 0 ))
12 oveq12 7423 . . . . . . 7 ((π‘₯ = 𝐴 ∧ π‘₯ = 𝐴) β†’ (π‘₯ , π‘₯) = (𝐴 , 𝐴))
1312anidms 566 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝐴 β†’ (π‘₯ , π‘₯) = (𝐴 , 𝐴))
1413eqeq1d 2729 . . . . 5 (π‘₯ = 𝐴 β†’ ((π‘₯ , π‘₯) = 𝑍 ↔ (𝐴 , 𝐴) = 𝑍))
15 eqeq1 2731 . . . . 5 (π‘₯ = 𝐴 β†’ (π‘₯ = 0 ↔ 𝐴 = 0 ))
1614, 15imbi12d 344 . . . 4 (π‘₯ = 𝐴 β†’ (((π‘₯ , π‘₯) = 𝑍 β†’ π‘₯ = 0 ) ↔ ((𝐴 , 𝐴) = 𝑍 β†’ 𝐴 = 0 )))
1716rspccva 3606 . . 3 ((βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((π‘₯ , π‘₯) = 𝑍 β†’ π‘₯ = 0 ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ ((𝐴 , 𝐴) = 𝑍 β†’ 𝐴 = 0 ))
1811, 17sylan 579 . 2 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ ((𝐴 , 𝐴) = 𝑍 β†’ 𝐴 = 0 ))
192, 3, 1, 6, 4ip0l 21555 . . 3 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ ( 0 , 𝐴) = 𝑍)
20 oveq1 7421 . . . 4 (𝐴 = 0 β†’ (𝐴 , 𝐴) = ( 0 , 𝐴))
2120eqeq1d 2729 . . 3 (𝐴 = 0 β†’ ((𝐴 , 𝐴) = 𝑍 ↔ ( 0 , 𝐴) = 𝑍))
2219, 21syl5ibrcom 246 . 2 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (𝐴 = 0 β†’ (𝐴 , 𝐴) = 𝑍))
2318, 22impbid 211 1 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ ((𝐴 , 𝐴) = 𝑍 ↔ 𝐴 = 0 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  βˆ€wral 3056   ↦ cmpt 5225  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  Basecbs 17171  *π‘Ÿcstv 17226  Scalarcsca 17227  Β·π‘–cip 17229  0gc0g 17412  *-Ringcsr 20713   LMHom clmhm 20893  LVecclvec 20976  ringLModcrglmod 21046  PreHilcphl 21543
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-6 12301  df-7 12302  df-8 12303  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-plusg 17237  df-sca 17240  df-vsca 17241  df-ip 17242  df-0g 17414  df-mgm 18591  df-sgrp 18670  df-mnd 18686  df-grp 18884  df-ghm 19159  df-lmod 20734  df-lmhm 20896  df-lvec 20977  df-sra 21047  df-rgmod 21048  df-phl 21545
This theorem is referenced by:  ip2eq  21572  phlssphl  21578  ocvin  21593  lsmcss  21611  obsne0  21646  cphipeq0  25119  ipcau2  25149  tcphcph  25152
  Copyright terms: Public domain W3C validator