MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipeq0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ipeq0 21499
Description: The inner product of a vector with itself is zero iff the vector is zero. Part of Definition 3.1-1 of [Kreyszig] p. 129. (Contributed by NM, 24-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
phlsrng.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
phllmhm.h , = (Β·π‘–β€˜π‘Š)
phllmhm.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
ip0l.z 𝑍 = (0gβ€˜πΉ)
ip0l.o 0 = (0gβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
ipeq0 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ ((𝐴 , 𝐴) = 𝑍 ↔ 𝐴 = 0 ))

Proof of Theorem ipeq0
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 phllmhm.v . . . . . 6 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
2 phlsrng.f . . . . . 6 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
3 phllmhm.h . . . . . 6 , = (Β·π‘–β€˜π‘Š)
4 ip0l.o . . . . . 6 0 = (0gβ€˜π‘Š)
5 eqid 2724 . . . . . 6 (*π‘Ÿβ€˜πΉ) = (*π‘Ÿβ€˜πΉ)
6 ip0l.z . . . . . 6 𝑍 = (0gβ€˜πΉ)
71, 2, 3, 4, 5, 6isphl 21489 . . . . 5 (π‘Š ∈ PreHil ↔ (π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ *-Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (𝑦 , π‘₯)) ∈ (π‘Š LMHom (ringLModβ€˜πΉ)) ∧ ((π‘₯ , π‘₯) = 𝑍 β†’ π‘₯ = 0 ) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 ((*π‘Ÿβ€˜πΉ)β€˜(π‘₯ , 𝑦)) = (𝑦 , π‘₯))))
87simp3bi 1144 . . . 4 (π‘Š ∈ PreHil β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (𝑦 , π‘₯)) ∈ (π‘Š LMHom (ringLModβ€˜πΉ)) ∧ ((π‘₯ , π‘₯) = 𝑍 β†’ π‘₯ = 0 ) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 ((*π‘Ÿβ€˜πΉ)β€˜(π‘₯ , 𝑦)) = (𝑦 , π‘₯)))
9 simp2 1134 . . . . 5 (((𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (𝑦 , π‘₯)) ∈ (π‘Š LMHom (ringLModβ€˜πΉ)) ∧ ((π‘₯ , π‘₯) = 𝑍 β†’ π‘₯ = 0 ) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 ((*π‘Ÿβ€˜πΉ)β€˜(π‘₯ , 𝑦)) = (𝑦 , π‘₯)) β†’ ((π‘₯ , π‘₯) = 𝑍 β†’ π‘₯ = 0 ))
109ralimi 3075 . . . 4 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (𝑦 , π‘₯)) ∈ (π‘Š LMHom (ringLModβ€˜πΉ)) ∧ ((π‘₯ , π‘₯) = 𝑍 β†’ π‘₯ = 0 ) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 ((*π‘Ÿβ€˜πΉ)β€˜(π‘₯ , 𝑦)) = (𝑦 , π‘₯)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((π‘₯ , π‘₯) = 𝑍 β†’ π‘₯ = 0 ))
118, 10syl 17 . . 3 (π‘Š ∈ PreHil β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((π‘₯ , π‘₯) = 𝑍 β†’ π‘₯ = 0 ))
12 oveq12 7410 . . . . . . 7 ((π‘₯ = 𝐴 ∧ π‘₯ = 𝐴) β†’ (π‘₯ , π‘₯) = (𝐴 , 𝐴))
1312anidms 566 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝐴 β†’ (π‘₯ , π‘₯) = (𝐴 , 𝐴))
1413eqeq1d 2726 . . . . 5 (π‘₯ = 𝐴 β†’ ((π‘₯ , π‘₯) = 𝑍 ↔ (𝐴 , 𝐴) = 𝑍))
15 eqeq1 2728 . . . . 5 (π‘₯ = 𝐴 β†’ (π‘₯ = 0 ↔ 𝐴 = 0 ))
1614, 15imbi12d 344 . . . 4 (π‘₯ = 𝐴 β†’ (((π‘₯ , π‘₯) = 𝑍 β†’ π‘₯ = 0 ) ↔ ((𝐴 , 𝐴) = 𝑍 β†’ 𝐴 = 0 )))
1716rspccva 3603 . . 3 ((βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((π‘₯ , π‘₯) = 𝑍 β†’ π‘₯ = 0 ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ ((𝐴 , 𝐴) = 𝑍 β†’ 𝐴 = 0 ))
1811, 17sylan 579 . 2 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ ((𝐴 , 𝐴) = 𝑍 β†’ 𝐴 = 0 ))
192, 3, 1, 6, 4ip0l 21497 . . 3 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ ( 0 , 𝐴) = 𝑍)
20 oveq1 7408 . . . 4 (𝐴 = 0 β†’ (𝐴 , 𝐴) = ( 0 , 𝐴))
2120eqeq1d 2726 . . 3 (𝐴 = 0 β†’ ((𝐴 , 𝐴) = 𝑍 ↔ ( 0 , 𝐴) = 𝑍))
2219, 21syl5ibrcom 246 . 2 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (𝐴 = 0 β†’ (𝐴 , 𝐴) = 𝑍))
2318, 22impbid 211 1 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ ((𝐴 , 𝐴) = 𝑍 ↔ 𝐴 = 0 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3053   ↦ cmpt 5221  β€˜cfv 6533  (class class class)co 7401  Basecbs 17143  *π‘Ÿcstv 17198  Scalarcsca 17199  Β·π‘–cip 17201  0gc0g 17384  *-Ringcsr 20677   LMHom clmhm 20857  LVecclvec 20940  ringLModcrglmod 21010  PreHilcphl 21485
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-plusg 17209  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-0g 17386  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-grp 18856  df-ghm 19129  df-lmod 20698  df-lmhm 20860  df-lvec 20941  df-sra 21011  df-rgmod 21012  df-phl 21487
This theorem is referenced by:  ip2eq  21514  phlssphl  21520  ocvin  21535  lsmcss  21553  obsne0  21588  cphipeq0  25054  ipcau2  25084  tcphcph  25087
  Copyright terms: Public domain W3C validator