MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipeq0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ipeq0 20474
Description: The inner product of a vector with itself is zero iff the vector is zero. Part of Definition 3.1-1 of [Kreyszig] p. 129. (Contributed by NM, 24-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
phlsrng.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
phllmhm.h , = (·𝑖𝑊)
phllmhm.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
ip0l.z 𝑍 = (0g𝐹)
ip0l.o 0 = (0g𝑊)
Assertion
Ref Expression
ipeq0 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉) → ((𝐴 , 𝐴) = 𝑍𝐴 = 0 ))

Proof of Theorem ipeq0
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 phllmhm.v . . . . . 6 𝑉 = (Base‘𝑊)
2 phlsrng.f . . . . . 6 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
3 phllmhm.h . . . . . 6 , = (·𝑖𝑊)
4 ip0l.o . . . . . 6 0 = (0g𝑊)
5 eqid 2772 . . . . . 6 (*𝑟𝐹) = (*𝑟𝐹)
6 ip0l.z . . . . . 6 𝑍 = (0g𝐹)
71, 2, 3, 4, 5, 6isphl 20464 . . . . 5 (𝑊 ∈ PreHil ↔ (𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ *-Ring ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝑦𝑉 ↦ (𝑦 , 𝑥)) ∈ (𝑊 LMHom (ringLMod‘𝐹)) ∧ ((𝑥 , 𝑥) = 𝑍𝑥 = 0 ) ∧ ∀𝑦𝑉 ((*𝑟𝐹)‘(𝑥 , 𝑦)) = (𝑦 , 𝑥))))
87simp3bi 1127 . . . 4 (𝑊 ∈ PreHil → ∀𝑥𝑉 ((𝑦𝑉 ↦ (𝑦 , 𝑥)) ∈ (𝑊 LMHom (ringLMod‘𝐹)) ∧ ((𝑥 , 𝑥) = 𝑍𝑥 = 0 ) ∧ ∀𝑦𝑉 ((*𝑟𝐹)‘(𝑥 , 𝑦)) = (𝑦 , 𝑥)))
9 simp2 1117 . . . . 5 (((𝑦𝑉 ↦ (𝑦 , 𝑥)) ∈ (𝑊 LMHom (ringLMod‘𝐹)) ∧ ((𝑥 , 𝑥) = 𝑍𝑥 = 0 ) ∧ ∀𝑦𝑉 ((*𝑟𝐹)‘(𝑥 , 𝑦)) = (𝑦 , 𝑥)) → ((𝑥 , 𝑥) = 𝑍𝑥 = 0 ))
109ralimi 3104 . . . 4 (∀𝑥𝑉 ((𝑦𝑉 ↦ (𝑦 , 𝑥)) ∈ (𝑊 LMHom (ringLMod‘𝐹)) ∧ ((𝑥 , 𝑥) = 𝑍𝑥 = 0 ) ∧ ∀𝑦𝑉 ((*𝑟𝐹)‘(𝑥 , 𝑦)) = (𝑦 , 𝑥)) → ∀𝑥𝑉 ((𝑥 , 𝑥) = 𝑍𝑥 = 0 ))
118, 10syl 17 . . 3 (𝑊 ∈ PreHil → ∀𝑥𝑉 ((𝑥 , 𝑥) = 𝑍𝑥 = 0 ))
12 oveq12 6979 . . . . . . 7 ((𝑥 = 𝐴𝑥 = 𝐴) → (𝑥 , 𝑥) = (𝐴 , 𝐴))
1312anidms 559 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 , 𝑥) = (𝐴 , 𝐴))
1413eqeq1d 2774 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥 , 𝑥) = 𝑍 ↔ (𝐴 , 𝐴) = 𝑍))
15 eqeq1 2776 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 = 0𝐴 = 0 ))
1614, 15imbi12d 337 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (((𝑥 , 𝑥) = 𝑍𝑥 = 0 ) ↔ ((𝐴 , 𝐴) = 𝑍𝐴 = 0 )))
1716rspccva 3528 . . 3 ((∀𝑥𝑉 ((𝑥 , 𝑥) = 𝑍𝑥 = 0 ) ∧ 𝐴𝑉) → ((𝐴 , 𝐴) = 𝑍𝐴 = 0 ))
1811, 17sylan 572 . 2 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉) → ((𝐴 , 𝐴) = 𝑍𝐴 = 0 ))
192, 3, 1, 6, 4ip0l 20472 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉) → ( 0 , 𝐴) = 𝑍)
20 oveq1 6977 . . . 4 (𝐴 = 0 → (𝐴 , 𝐴) = ( 0 , 𝐴))
2120eqeq1d 2774 . . 3 (𝐴 = 0 → ((𝐴 , 𝐴) = 𝑍 ↔ ( 0 , 𝐴) = 𝑍))
2219, 21syl5ibrcom 239 . 2 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉) → (𝐴 = 0 → (𝐴 , 𝐴) = 𝑍))
2318, 22impbid 204 1 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉) → ((𝐴 , 𝐴) = 𝑍𝐴 = 0 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 387  w3a 1068   = wceq 1507  wcel 2048  wral 3082  cmpt 5002  cfv 6182  (class class class)co 6970  Basecbs 16329  *𝑟cstv 16413  Scalarcsca 16414  ·𝑖cip 16416  0gc0g 16559  *-Ringcsr 19327   LMHom clmhm 19503  LVecclvec 19586  ringLModcrglmod 19653  PreHilcphl 20460
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2745  ax-rep 5043  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-cnex 10383  ax-resscn 10384  ax-1cn 10385  ax-icn 10386  ax-addcl 10387  ax-addrcl 10388  ax-mulcl 10389  ax-mulrcl 10390  ax-mulcom 10391  ax-addass 10392  ax-mulass 10393  ax-distr 10394  ax-i2m1 10395  ax-1ne0 10396  ax-1rid 10397  ax-rnegex 10398  ax-rrecex 10399  ax-cnre 10400  ax-pre-lttri 10401  ax-pre-lttrn 10402  ax-pre-ltadd 10403  ax-pre-mulgt0 10404
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2754  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rmo 3090  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3678  df-csb 3783  df-dif 3828  df-un 3830  df-in 3832  df-ss 3839  df-pss 3841  df-nul 4174  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4707  df-iun 4788  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-tr 5025  df-id 5305  df-eprel 5310  df-po 5319  df-so 5320  df-fr 5359  df-we 5361  df-xp 5406  df-rel 5407  df-cnv 5408  df-co 5409  df-dm 5410  df-rn 5411  df-res 5412  df-ima 5413  df-pred 5980  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-om 7391  df-wrecs 7743  df-recs 7805  df-rdg 7843  df-er 8081  df-en 8299  df-dom 8300  df-sdom 8301  df-pnf 10468  df-mnf 10469  df-xr 10470  df-ltxr 10471  df-le 10472  df-sub 10664  df-neg 10665  df-nn 11432  df-2 11496  df-3 11497  df-4 11498  df-5 11499  df-6 11500  df-7 11501  df-8 11502  df-ndx 16332  df-slot 16333  df-base 16335  df-sets 16336  df-plusg 16424  df-sca 16427  df-vsca 16428  df-ip 16429  df-0g 16561  df-mgm 17700  df-sgrp 17742  df-mnd 17753  df-grp 17884  df-ghm 18117  df-lmod 19348  df-lmhm 19506  df-lvec 19587  df-sra 19656  df-rgmod 19657  df-phl 20462
This theorem is referenced by:  ip2eq  20489  phlssphl  20495  ocvin  20510  lsmcss  20528  obsne0  20561  cphipeq0  23501  ipcau2  23530  tcphcph  23533
  Copyright terms: Public domain W3C validator