MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipeq0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ipeq0 21065
Description: The inner product of a vector with itself is zero iff the vector is zero. Part of Definition 3.1-1 of [Kreyszig] p. 129. (Contributed by NM, 24-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
phlsrng.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
phllmhm.h , = (Β·π‘–β€˜π‘Š)
phllmhm.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
ip0l.z 𝑍 = (0gβ€˜πΉ)
ip0l.o 0 = (0gβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
ipeq0 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ ((𝐴 , 𝐴) = 𝑍 ↔ 𝐴 = 0 ))

Proof of Theorem ipeq0
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 phllmhm.v . . . . . 6 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
2 phlsrng.f . . . . . 6 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
3 phllmhm.h . . . . . 6 , = (Β·π‘–β€˜π‘Š)
4 ip0l.o . . . . . 6 0 = (0gβ€˜π‘Š)
5 eqid 2733 . . . . . 6 (*π‘Ÿβ€˜πΉ) = (*π‘Ÿβ€˜πΉ)
6 ip0l.z . . . . . 6 𝑍 = (0gβ€˜πΉ)
71, 2, 3, 4, 5, 6isphl 21055 . . . . 5 (π‘Š ∈ PreHil ↔ (π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ *-Ring ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (𝑦 , π‘₯)) ∈ (π‘Š LMHom (ringLModβ€˜πΉ)) ∧ ((π‘₯ , π‘₯) = 𝑍 β†’ π‘₯ = 0 ) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 ((*π‘Ÿβ€˜πΉ)β€˜(π‘₯ , 𝑦)) = (𝑦 , π‘₯))))
87simp3bi 1148 . . . 4 (π‘Š ∈ PreHil β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (𝑦 , π‘₯)) ∈ (π‘Š LMHom (ringLModβ€˜πΉ)) ∧ ((π‘₯ , π‘₯) = 𝑍 β†’ π‘₯ = 0 ) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 ((*π‘Ÿβ€˜πΉ)β€˜(π‘₯ , 𝑦)) = (𝑦 , π‘₯)))
9 simp2 1138 . . . . 5 (((𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (𝑦 , π‘₯)) ∈ (π‘Š LMHom (ringLModβ€˜πΉ)) ∧ ((π‘₯ , π‘₯) = 𝑍 β†’ π‘₯ = 0 ) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 ((*π‘Ÿβ€˜πΉ)β€˜(π‘₯ , 𝑦)) = (𝑦 , π‘₯)) β†’ ((π‘₯ , π‘₯) = 𝑍 β†’ π‘₯ = 0 ))
109ralimi 3083 . . . 4 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (𝑦 , π‘₯)) ∈ (π‘Š LMHom (ringLModβ€˜πΉ)) ∧ ((π‘₯ , π‘₯) = 𝑍 β†’ π‘₯ = 0 ) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 ((*π‘Ÿβ€˜πΉ)β€˜(π‘₯ , 𝑦)) = (𝑦 , π‘₯)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((π‘₯ , π‘₯) = 𝑍 β†’ π‘₯ = 0 ))
118, 10syl 17 . . 3 (π‘Š ∈ PreHil β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((π‘₯ , π‘₯) = 𝑍 β†’ π‘₯ = 0 ))
12 oveq12 7370 . . . . . . 7 ((π‘₯ = 𝐴 ∧ π‘₯ = 𝐴) β†’ (π‘₯ , π‘₯) = (𝐴 , 𝐴))
1312anidms 568 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝐴 β†’ (π‘₯ , π‘₯) = (𝐴 , 𝐴))
1413eqeq1d 2735 . . . . 5 (π‘₯ = 𝐴 β†’ ((π‘₯ , π‘₯) = 𝑍 ↔ (𝐴 , 𝐴) = 𝑍))
15 eqeq1 2737 . . . . 5 (π‘₯ = 𝐴 β†’ (π‘₯ = 0 ↔ 𝐴 = 0 ))
1614, 15imbi12d 345 . . . 4 (π‘₯ = 𝐴 β†’ (((π‘₯ , π‘₯) = 𝑍 β†’ π‘₯ = 0 ) ↔ ((𝐴 , 𝐴) = 𝑍 β†’ 𝐴 = 0 )))
1716rspccva 3582 . . 3 ((βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 ((π‘₯ , π‘₯) = 𝑍 β†’ π‘₯ = 0 ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ ((𝐴 , 𝐴) = 𝑍 β†’ 𝐴 = 0 ))
1811, 17sylan 581 . 2 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ ((𝐴 , 𝐴) = 𝑍 β†’ 𝐴 = 0 ))
192, 3, 1, 6, 4ip0l 21063 . . 3 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ ( 0 , 𝐴) = 𝑍)
20 oveq1 7368 . . . 4 (𝐴 = 0 β†’ (𝐴 , 𝐴) = ( 0 , 𝐴))
2120eqeq1d 2735 . . 3 (𝐴 = 0 β†’ ((𝐴 , 𝐴) = 𝑍 ↔ ( 0 , 𝐴) = 𝑍))
2219, 21syl5ibrcom 247 . 2 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (𝐴 = 0 β†’ (𝐴 , 𝐴) = 𝑍))
2318, 22impbid 211 1 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ ((𝐴 , 𝐴) = 𝑍 ↔ 𝐴 = 0 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061   ↦ cmpt 5192  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  Basecbs 17091  *π‘Ÿcstv 17143  Scalarcsca 17144  Β·π‘–cip 17146  0gc0g 17329  *-Ringcsr 20346   LMHom clmhm 20524  LVecclvec 20607  ringLModcrglmod 20675  PreHilcphl 21051
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-plusg 17154  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-ip 17159  df-0g 17331  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-grp 18759  df-ghm 19014  df-lmod 20367  df-lmhm 20527  df-lvec 20608  df-sra 20678  df-rgmod 20679  df-phl 21053
This theorem is referenced by:  ip2eq  21080  phlssphl  21086  ocvin  21101  lsmcss  21119  obsne0  21154  cphipeq0  24591  ipcau2  24621  tcphcph  24624
  Copyright terms: Public domain W3C validator