Theorem iscgra 27170

Description: Property for two angles ABC and DEF to be congruent. This is a modified version of the definition 11.3 of [Schwabhauser] p. 95. where the number of constructed points has been reduced to two. We chose this version rather than the textbook version because it is shorter and therefore simpler to work with. Theorem dfcgra2 27191 shows that those definitions are indeed equivalent. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-Jul-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
iscgra.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
iscgra.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
iscgra.k	⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
iscgra.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
iscgra.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
iscgra.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
iscgra.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
iscgra.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
iscgra.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
iscgra.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
iscgra	⊢ (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝐹)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝐸,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥,𝐼,𝑦   𝑥,𝑃,𝑦

Proof of Theorem iscgra

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑔 𝑘 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∧ 𝑏 = ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → 𝑎 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩)
2		eqidd 2739	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∧ 𝑏 = ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → 𝑥 = 𝑥)
3		simpr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∧ 𝑏 = ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → 𝑏 = ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
4	3	fveq1d 6776	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∧ 𝑏 = ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → (𝑏‘1) = (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1))
5		eqidd 2739	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∧ 𝑏 = ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → 𝑦 = 𝑦)
6	2, 4, 5	s3eqd 14577	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∧ 𝑏 = ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → ⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ = ⟨“𝑥(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1)𝑦”⟩)
7	1, 6	breq12d 5087	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∧ 𝑏 = ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → (𝑎(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1)𝑦”⟩))
8	4	fveq2d 6778	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∧ 𝑏 = ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → (𝐾‘(𝑏‘1)) = (𝐾‘(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1)))
9	3	fveq1d 6776	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∧ 𝑏 = ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → (𝑏‘0) = (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘0))
10	2, 8, 9	breq123d 5088	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∧ 𝑏 = ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → (𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ↔ 𝑥(𝐾‘(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1))(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘0)))
11	3	fveq1d 6776	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∧ 𝑏 = ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → (𝑏‘2) = (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘2))
12	5, 8, 11	breq123d 5088	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∧ 𝑏 = ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → (𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2) ↔ 𝑦(𝐾‘(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1))(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘2)))
13	7, 10, 12	3anbi123d 1435	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∧ 𝑏 = ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → ((𝑎(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)) ↔ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1))(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1))(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘2))))
14	13	2rexbidv 3229	. . . 4 ⊢ ((𝑎 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∧ 𝑏 = ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → (∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑎(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1))(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1))(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘2))))
15		eqid 2738	. . . 4 ⊢ {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑎(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)))} = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑎(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)))}
16	14, 15	brab2a 5680	. . 3 ⊢ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩{⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑎(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)))}⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ↔ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∧ ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∈ (𝑃 ↑m (0..^3))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1))(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1))(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘2))))
17		eqidd 2739	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃)) → 𝑥 = 𝑥)
18		iscgra.e	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
19		s3fv1 14605	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐸 ∈ 𝑃 → (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1) = 𝐸)
20	18, 19	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1) = 𝐸)
21	20	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃)) → (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1) = 𝐸)
22		eqidd 2739	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃)) → 𝑦 = 𝑦)
23	17, 21, 22	s3eqd 14577	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃)) → ⟨“𝑥(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1)𝑦”⟩ = ⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩)
24	23	breq2d 5086	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃)) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1)𝑦”⟩ ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩))
25	21	fveq2d 6778	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃)) → (𝐾‘(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1)) = (𝐾‘𝐸))
26		iscgra.d	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
27		s3fv0 14604	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑃 → (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘0) = 𝐷)
28	26, 27	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘0) = 𝐷)
29	28	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃)) → (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘0) = 𝐷)
30	17, 25, 29	breq123d 5088	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃)) → (𝑥(𝐾‘(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1))(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘0) ↔ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝐷))
31		iscgra.f	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
32		s3fv2 14606	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑃 → (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘2) = 𝐹)
33	31, 32	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘2) = 𝐹)
34	33	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃)) → (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘2) = 𝐹)
35	22, 25, 34	breq123d 5088	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃)) → (𝑦(𝐾‘(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1))(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘2) ↔ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝐹))
36	24, 30, 35	3anbi123d 1435	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃)) → ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1))(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1))(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘2)) ↔ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝐹)))
37	36	2rexbidva 3228	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1))(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1))(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘2)) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝐹)))
38	37	anbi2d 629	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∧ ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∈ (𝑃 ↑m (0..^3))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1))(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1))(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘2))) ↔ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∧ ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∈ (𝑃 ↑m (0..^3))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝐹))))
39	16, 38	bitrid 282	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩{⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑎(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)))}⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ↔ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∧ ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∈ (𝑃 ↑m (0..^3))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝐹))))
40		iscgra.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
41		elex 3450	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ TarskiG → 𝐺 ∈ V)
42		iscgra.p	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
43		iscgra.k	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
44		simpl 483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑘 = 𝐾) → 𝑝 = 𝑃)
45	44	eqcomd 2744	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑘 = 𝐾) → 𝑃 = 𝑝)
46	45	oveq1d 7290	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑘 = 𝐾) → (𝑃 ↑m (0..^3)) = (𝑝 ↑m (0..^3)))
47	46	eleq2d 2824	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑘 = 𝐾) → (𝑎 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ↔ 𝑎 ∈ (𝑝 ↑m (0..^3))))
48	46	eleq2d 2824	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑘 = 𝐾) → (𝑏 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ↔ 𝑏 ∈ (𝑝 ↑m (0..^3))))
49	47, 48	anbi12d 631	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑘 = 𝐾) → ((𝑎 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3))) ↔ (𝑎 ∈ (𝑝 ↑m (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑝 ↑m (0..^3)))))
50		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑘 = 𝐾) → 𝑘 = 𝐾)
51	50	fveq1d 6776	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑘 = 𝐾) → (𝑘‘(𝑏‘1)) = (𝐾‘(𝑏‘1)))
52	51	breqd 5085	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑘 = 𝐾) → (𝑥(𝑘‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ↔ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0)))
53	51	breqd 5085	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑘 = 𝐾) → (𝑦(𝑘‘(𝑏‘1))(𝑏‘2) ↔ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)))
54	52, 53	3anbi23d 1438	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑘 = 𝐾) → ((𝑎(cgrG‘𝑔)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝑘‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝑘‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)) ↔ (𝑎(cgrG‘𝑔)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2))))
55	54	bicomd 222	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑘 = 𝐾) → ((𝑎(cgrG‘𝑔)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)) ↔ (𝑎(cgrG‘𝑔)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝑘‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝑘‘(𝑏‘1))(𝑏‘2))))
56	45, 55	rexeqbidv 3337	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑘 = 𝐾) → (∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑎(cgrG‘𝑔)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑝 (𝑎(cgrG‘𝑔)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝑘‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝑘‘(𝑏‘1))(𝑏‘2))))
57	45, 56	rexeqbidv 3337	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑘 = 𝐾) → (∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑎(cgrG‘𝑔)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑝 ∃𝑦 ∈ 𝑝 (𝑎(cgrG‘𝑔)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝑘‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝑘‘(𝑏‘1))(𝑏‘2))))
58	49, 57	anbi12d 631	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑘 = 𝐾) → (((𝑎 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑎(cgrG‘𝑔)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2))) ↔ ((𝑎 ∈ (𝑝 ↑m (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑝 ↑m (0..^3))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑝 ∃𝑦 ∈ 𝑝 (𝑎(cgrG‘𝑔)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝑘‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝑘‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)))))
59	42, 43, 58	sbcie2s 16862	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → ([(Base‘𝑔) / 𝑝][(hlG‘𝑔) / 𝑘]((𝑎 ∈ (𝑝 ↑m (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑝 ↑m (0..^3))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑝 ∃𝑦 ∈ 𝑝 (𝑎(cgrG‘𝑔)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝑘‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝑘‘(𝑏‘1))(𝑏‘2))) ↔ ((𝑎 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑎(cgrG‘𝑔)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)))))
60	59	opabbidv 5140	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ [(Base‘𝑔) / 𝑝][(hlG‘𝑔) / 𝑘]((𝑎 ∈ (𝑝 ↑m (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑝 ↑m (0..^3))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑝 ∃𝑦 ∈ 𝑝 (𝑎(cgrG‘𝑔)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝑘‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝑘‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)))} = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑎(cgrG‘𝑔)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)))})
61		fveq2 6774	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (cgrG‘𝑔) = (cgrG‘𝐺))
62	61	breqd 5085	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (𝑎(cgrG‘𝑔)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ↔ 𝑎(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩))
63	62	3anbi1d 1439	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → ((𝑎(cgrG‘𝑔)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)) ↔ (𝑎(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2))))
64	63	2rexbidv 3229	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑎(cgrG‘𝑔)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑎(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2))))
65	64	anbi2d 629	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (((𝑎 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑎(cgrG‘𝑔)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2))) ↔ ((𝑎 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑎(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)))))
66	65	opabbidv 5140	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑎(cgrG‘𝑔)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)))} = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑎(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)))})
67	60, 66	eqtrd 2778	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ [(Base‘𝑔) / 𝑝][(hlG‘𝑔) / 𝑘]((𝑎 ∈ (𝑝 ↑m (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑝 ↑m (0..^3))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑝 ∃𝑦 ∈ 𝑝 (𝑎(cgrG‘𝑔)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝑘‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝑘‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)))} = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑎(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)))})
68		df-cgra 27169	. . . . 5 ⊢ cgrA = (𝑔 ∈ V ↦ {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ [(Base‘𝑔) / 𝑝][(hlG‘𝑔) / 𝑘]((𝑎 ∈ (𝑝 ↑m (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑝 ↑m (0..^3))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑝 ∃𝑦 ∈ 𝑝 (𝑎(cgrG‘𝑔)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝑘‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝑘‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)))})
69		ovex 7308	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∈ V
70	69, 69	xpex 7603	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ↑m (0..^3)) × (𝑃 ↑m (0..^3))) ∈ V
71		opabssxp 5679	. . . . . 6 ⊢ {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑎(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)))} ⊆ ((𝑃 ↑m (0..^3)) × (𝑃 ↑m (0..^3)))
72	70, 71	ssexi 5246	. . . . 5 ⊢ {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑎(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)))} ∈ V
73	67, 68, 72	fvmpt 6875	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ V → (cgrA‘𝐺) = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑎(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)))})
74	40, 41, 73	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (cgrA‘𝐺) = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑎(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)))})
75	74	breqd 5085	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩{⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑎(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)))}⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩))
76		iscgra.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
77		iscgra.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
78		iscgra.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
79	76, 77, 78	s3cld 14585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word 𝑃)
80		s3len 14607	. . . . 5 ⊢ (♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = 3
81	42	fvexi 6788	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 ∈ V
82		3nn0 12251	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
83		wrdmap 14249	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ V ∧ 3 ∈ ℕ0) → ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word 𝑃 ∧ (♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = 3) ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝑃 ↑m (0..^3))))
84	81, 82, 83	mp2an 689	. . . . 5 ⊢ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word 𝑃 ∧ (♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = 3) ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)))
85	79, 80, 84	sylanblc 589	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)))
86	26, 18, 31	s3cld 14585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∈ Word 𝑃)
87		s3len 14607	. . . . 5 ⊢ (♯‘⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) = 3
88		wrdmap 14249	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ V ∧ 3 ∈ ℕ0) → ((⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∈ Word 𝑃 ∧ (♯‘⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) = 3) ↔ ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∈ (𝑃 ↑m (0..^3))))
89	81, 82, 88	mp2an 689	. . . . 5 ⊢ ((⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∈ Word 𝑃 ∧ (♯‘⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) = 3) ↔ ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)))
90	86, 87, 89	sylanblc 589	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)))
91	85, 90	jca 512	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∧ ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∈ (𝑃 ↑m (0..^3))))
92	91	biantrurd 533	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝐹) ↔ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∧ ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∈ (𝑃 ↑m (0..^3))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝐹))))
93	39, 75, 92	3bitr4d 311	1 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝐹)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3065  Vcvv 3432  [wsbc 3716   class class class wbr 5074  {copab 5136   × cxp 5587  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275   ↑_m cmap 8615  0cc0 10871  1c1 10872  2c2 12028  3c3 12029  ℕ₀cn0 12233  ..^cfzo 13382  ♯chash 14044  Word cword 14217  ⟨“cs3 14555  Basecbs 16912  TarskiGcstrkg 26788  Itvcitv 26794  cgrGccgrg 26871  hlGchlg 26961  cgrAccgra 27168

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-hash 14045  df-word 14218  df-concat 14274  df-s1 14301  df-s2 14561  df-s3 14562  df-cgra 27169

This theorem is referenced by:  iscgra1  27171  iscgrad  27172  cgrane1  27173  cgrane2  27174  cgrane3  27175  cgrane4  27176  cgrahl1  27177  cgrahl2  27178  cgracgr  27179  cgraswap  27181  cgracom  27183  cgratr  27184  flatcgra  27185  cgrabtwn  27187  cgrahl  27188  sacgr  27192