Theorem iscgra 29098

Description: Property for two angles ABC and DEF to be congruent. This is a modified version of the definition 11.3 of [Schwabhauser] p. 95. where the number of constructed points has been reduced to two. We chose this version rather than the textbook version because it is shorter and therefore simpler to work with. Theorem dfcgra2 29119 shows that those definitions are indeed equivalent. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-Jul-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
iscgra.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
iscgra.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
iscgra.k	⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
iscgra.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
iscgra.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
iscgra.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
iscgra.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
iscgra.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
iscgra.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
iscgra.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
iscgra	⊢ (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝐹)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝐸,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥,𝐼,𝑦   𝑥,𝑃,𝑦

Proof of Theorem iscgra

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑔 𝑘 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∧ 𝑏 = ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → 𝑎 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩)
2		eqidd 2764	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∧ 𝑏 = ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → 𝑥 = 𝑥)
3		simpr 489	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∧ 𝑏 = ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → 𝑏 = ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
4	3	fveq1d 6885	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∧ 𝑏 = ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → (𝑏‘1) = (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1))
5		eqidd 2764	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∧ 𝑏 = ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → 𝑦 = 𝑦)
6	2, 4, 5	s3eqd 14903	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∧ 𝑏 = ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → ⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ = ⟨“𝑥(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1)𝑦”⟩)
7	1, 6	breq12d 5123	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∧ 𝑏 = ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → (𝑎(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1)𝑦”⟩))
8	4	fveq2d 6887	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∧ 𝑏 = ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → (𝐾‘(𝑏‘1)) = (𝐾‘(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1)))
9	3	fveq1d 6885	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∧ 𝑏 = ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → (𝑏‘0) = (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘0))
10	2, 8, 9	breq123d 5124	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∧ 𝑏 = ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → (𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ↔ 𝑥(𝐾‘(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1))(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘0)))
11	3	fveq1d 6885	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∧ 𝑏 = ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → (𝑏‘2) = (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘2))
12	5, 8, 11	breq123d 5124	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∧ 𝑏 = ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → (𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2) ↔ 𝑦(𝐾‘(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1))(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘2)))
13	7, 10, 12	3anbi123d 1464	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∧ 𝑏 = ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → ((𝑎(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)) ↔ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1))(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1))(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘2))))
14	13	2rexbidv 3230	. . . 4 ⊢ ((𝑎 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∧ 𝑏 = ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → (∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑎(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1))(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1))(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘2))))
15		eqid 2763	. . . 4 ⊢ {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑎(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)))} = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑎(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)))}
16	14, 15	brab2a 5756	. . 3 ⊢ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩{⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑎(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)))}⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ↔ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∧ ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∈ (𝑃 ↑m (0..^3))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1))(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1))(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘2))))
17		eqidd 2764	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃)) → 𝑥 = 𝑥)
18		iscgra.e	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
19		s3fv1 14931	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐸 ∈ 𝑃 → (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1) = 𝐸)
20	18, 19	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1) = 𝐸)
21	20	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃)) → (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1) = 𝐸)
22		eqidd 2764	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃)) → 𝑦 = 𝑦)
23	17, 21, 22	s3eqd 14903	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃)) → ⟨“𝑥(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1)𝑦”⟩ = ⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩)
24	23	breq2d 5122	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃)) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1)𝑦”⟩ ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩))
25	21	fveq2d 6887	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃)) → (𝐾‘(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1)) = (𝐾‘𝐸))
26		iscgra.d	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
27		s3fv0 14930	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑃 → (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘0) = 𝐷)
28	26, 27	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘0) = 𝐷)
29	28	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃)) → (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘0) = 𝐷)
30	17, 25, 29	breq123d 5124	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃)) → (𝑥(𝐾‘(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1))(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘0) ↔ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝐷))
31		iscgra.f	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
32		s3fv2 14932	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑃 → (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘2) = 𝐹)
33	31, 32	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘2) = 𝐹)
34	33	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃)) → (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘2) = 𝐹)
35	22, 25, 34	breq123d 5124	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃)) → (𝑦(𝐾‘(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1))(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘2) ↔ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝐹))
36	24, 30, 35	3anbi123d 1464	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃)) → ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1))(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1))(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘2)) ↔ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝐹)))
37	36	2rexbidva 3228	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1))(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1))(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘2)) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝐹)))
38	37	anbi2d 641	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∧ ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∈ (𝑃 ↑m (0..^3))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1))(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1))(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘2))) ↔ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∧ ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∈ (𝑃 ↑m (0..^3))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝐹))))
39	16, 38	bitrid 286	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩{⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑎(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)))}⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ↔ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∧ ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∈ (𝑃 ↑m (0..^3))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝐹))))
40		iscgra.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
41		elex 3476	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ TarskiG → 𝐺 ∈ V)
42		iscgra.p	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
43		iscgra.k	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
44		simpl 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑘 = 𝐾) → 𝑝 = 𝑃)
45	44	oveq1d 7427	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑘 = 𝐾) → (𝑝 ↑m (0..^3)) = (𝑃 ↑m (0..^3)))
46	45	eleq2d 2849	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑘 = 𝐾) → (𝑎 ∈ (𝑝 ↑m (0..^3)) ↔ 𝑎 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3))))
47	45	eleq2d 2849	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑘 = 𝐾) → (𝑏 ∈ (𝑝 ↑m (0..^3)) ↔ 𝑏 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3))))
48	46, 47	anbi12d 643	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑘 = 𝐾) → ((𝑎 ∈ (𝑝 ↑m (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑝 ↑m (0..^3))) ↔ (𝑎 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)))))
49		simpr 489	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑘 = 𝐾) → 𝑘 = 𝐾)
50	49	fveq1d 6885	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑘 = 𝐾) → (𝑘‘(𝑏‘1)) = (𝐾‘(𝑏‘1)))
51	50	breqd 5121	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑘 = 𝐾) → (𝑥(𝑘‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ↔ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0)))
52	50	breqd 5121	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑘 = 𝐾) → (𝑦(𝑘‘(𝑏‘1))(𝑏‘2) ↔ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)))
53	51, 52	3anbi23d 1467	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑘 = 𝐾) → ((𝑎(cgrG‘𝑔)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝑘‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝑘‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)) ↔ (𝑎(cgrG‘𝑔)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2))))
54	44, 53	rexeqbidv 3339	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑘 = 𝐾) → (∃𝑦 ∈ 𝑝 (𝑎(cgrG‘𝑔)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝑘‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝑘‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑎(cgrG‘𝑔)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2))))
55	44, 54	rexeqbidv 3339	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑘 = 𝐾) → (∃𝑥 ∈ 𝑝 ∃𝑦 ∈ 𝑝 (𝑎(cgrG‘𝑔)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝑘‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝑘‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑎(cgrG‘𝑔)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2))))
56	48, 55	anbi12d 643	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑘 = 𝐾) → (((𝑎 ∈ (𝑝 ↑m (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑝 ↑m (0..^3))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑝 ∃𝑦 ∈ 𝑝 (𝑎(cgrG‘𝑔)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝑘‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝑘‘(𝑏‘1))(𝑏‘2))) ↔ ((𝑎 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑎(cgrG‘𝑔)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)))))
57	42, 43, 56	sbcie2s 17222	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → ([(Base‘𝑔) / 𝑝][(hlG‘𝑔) / 𝑘]((𝑎 ∈ (𝑝 ↑m (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑝 ↑m (0..^3))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑝 ∃𝑦 ∈ 𝑝 (𝑎(cgrG‘𝑔)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝑘‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝑘‘(𝑏‘1))(𝑏‘2))) ↔ ((𝑎 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑎(cgrG‘𝑔)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)))))
58	57	opabbidv 5178	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ [(Base‘𝑔) / 𝑝][(hlG‘𝑔) / 𝑘]((𝑎 ∈ (𝑝 ↑m (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑝 ↑m (0..^3))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑝 ∃𝑦 ∈ 𝑝 (𝑎(cgrG‘𝑔)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝑘‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝑘‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)))} = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑎(cgrG‘𝑔)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)))})
59		fveq2 6883	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (cgrG‘𝑔) = (cgrG‘𝐺))
60	59	breqd 5121	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (𝑎(cgrG‘𝑔)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ↔ 𝑎(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩))
61	60	3anbi1d 1468	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → ((𝑎(cgrG‘𝑔)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)) ↔ (𝑎(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2))))
62	61	2rexbidv 3230	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑎(cgrG‘𝑔)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑎(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2))))
63	62	anbi2d 641	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (((𝑎 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑎(cgrG‘𝑔)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2))) ↔ ((𝑎 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑎(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)))))
64	63	opabbidv 5178	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑎(cgrG‘𝑔)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)))} = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑎(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)))})
65	58, 64	eqtrd 2798	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ [(Base‘𝑔) / 𝑝][(hlG‘𝑔) / 𝑘]((𝑎 ∈ (𝑝 ↑m (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑝 ↑m (0..^3))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑝 ∃𝑦 ∈ 𝑝 (𝑎(cgrG‘𝑔)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝑘‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝑘‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)))} = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑎(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)))})
66		df-cgra 29097	. . . . 5 ⊢ cgrA = (𝑔 ∈ V ↦ {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ [(Base‘𝑔) / 𝑝][(hlG‘𝑔) / 𝑘]((𝑎 ∈ (𝑝 ↑m (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑝 ↑m (0..^3))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑝 ∃𝑦 ∈ 𝑝 (𝑎(cgrG‘𝑔)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝑘‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝑘‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)))})
67		ovex 7445	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∈ V
68	67, 67	xpex 7753	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ↑m (0..^3)) × (𝑃 ↑m (0..^3))) ∈ V
69		opabssxp 5755	. . . . . 6 ⊢ {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑎(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)))} ⊆ ((𝑃 ↑m (0..^3)) × (𝑃 ↑m (0..^3)))
70	68, 69	ssexi 5294	. . . . 5 ⊢ {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑎(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)))} ∈ V
71	65, 66, 70	fvmpt 6991	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ V → (cgrA‘𝐺) = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑎(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)))})
72	40, 41, 71	3syl 19	. . 3 ⊢ (𝜑 → (cgrA‘𝐺) = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑎(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)))})
73	72	breqd 5121	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩{⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑎(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)))}⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩))
74		iscgra.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
75		iscgra.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
76		iscgra.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
77	74, 75, 76	s3cld 14911	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word 𝑃)
78		s3len 14933	. . . . 5 ⊢ (♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = 3
79	42	fvexi 6897	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 ∈ V
80		3nn0 12523	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
81		wrdmap 14585	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ V ∧ 3 ∈ ℕ0) → ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word 𝑃 ∧ (♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = 3) ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝑃 ↑m (0..^3))))
82	79, 80, 81	mp2an 704	. . . . 5 ⊢ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word 𝑃 ∧ (♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = 3) ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)))
83	77, 78, 82	sylanblc 600	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)))
84	26, 18, 31	s3cld 14911	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∈ Word 𝑃)
85		s3len 14933	. . . . 5 ⊢ (♯‘⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) = 3
86		wrdmap 14585	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ V ∧ 3 ∈ ℕ0) → ((⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∈ Word 𝑃 ∧ (♯‘⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) = 3) ↔ ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∈ (𝑃 ↑m (0..^3))))
87	79, 80, 86	mp2an 704	. . . . 5 ⊢ ((⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∈ Word 𝑃 ∧ (♯‘⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) = 3) ↔ ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)))
88	84, 85, 87	sylanblc 600	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)))
89	83, 88	jca 520	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∧ ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∈ (𝑃 ↑m (0..^3))))
90	89	biantrurd 541	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝐹) ↔ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∧ ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∈ (𝑃 ↑m (0..^3))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝐹))))
91	39, 73, 90	3bitr4d 314	1 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝐹)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∃wrex 3089  Vcvv 3455  [wsbc 3745   class class class wbr 5110  {copab 5174   × cxp 5661  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412   ↑_m cmap 8825  0cc0 11101  1c1 11102  2c2 12296  3c3 12297  ℕ₀cn0 12505  ..^cfzo 13684  ♯chash 14368  Word cword 14552  ⟨“cs3 14881  Basecbs 17270  TarskiGcstrkg 28674  Itvcitv 28680  cgrGccgrg 28757  hlGchlg 28847  cgrAccgra 29096

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-er 8695  df-map 8827  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-card 9926  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-n0 12506  df-z 12593  df-uz 12864  df-fz 13537  df-fzo 13685  df-hash 14369  df-word 14553  df-concat 14610  df-s1 14636  df-s2 14887  df-s3 14888  df-cgra 29097

This theorem is referenced by:  iscgra1  29099  iscgrad  29100  cgrane1  29101  cgrane2  29102  cgrane3  29103  cgrane4  29104  cgrahl1  29105  cgrahl2  29106  cgracgr  29107  cgraswap  29109  cgracom  29111  cgratr  29112  flatcgra  29113  cgrabtwn  29115  cgrahl  29116  sacgr  29120  cgrarag  29125  ragsupplcgra  29126