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Theorem iscgra 26610
Description: Property for two angles ABC and DEF to be congruent. This is a modified version of the definition 11.3 of [Schwabhauser] p. 95. where the number of constructed points has been reduced to two. We chose this version rather than the textbook version because it is shorter and therefore simpler to work with. Theorem dfcgra2 26631 shows that those definitions are indeed equivalent. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
iscgra.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
iscgra.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
iscgra.k 𝐾 = (hlG‘𝐺)
iscgra.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
iscgra.a (𝜑𝐴𝑃)
iscgra.b (𝜑𝐵𝑃)
iscgra.c (𝜑𝐶𝑃)
iscgra.d (𝜑𝐷𝑃)
iscgra.e (𝜑𝐸𝑃)
iscgra.f (𝜑𝐹𝑃)
Assertion
Ref Expression
iscgra (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ↔ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾𝐸)𝐷𝑦(𝐾𝐸)𝐹)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝐸,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥,𝐼,𝑦   𝑥,𝑃,𝑦

Proof of Theorem iscgra
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑔 𝑘 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 486 . . . . . . 7 ((𝑎 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∧ 𝑏 = ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → 𝑎 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩)
2 eqidd 2825 . . . . . . . 8 ((𝑎 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∧ 𝑏 = ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → 𝑥 = 𝑥)
3 simpr 488 . . . . . . . . 9 ((𝑎 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∧ 𝑏 = ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → 𝑏 = ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
43fveq1d 6663 . . . . . . . 8 ((𝑎 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∧ 𝑏 = ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → (𝑏‘1) = (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1))
5 eqidd 2825 . . . . . . . 8 ((𝑎 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∧ 𝑏 = ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → 𝑦 = 𝑦)
62, 4, 5s3eqd 14226 . . . . . . 7 ((𝑎 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∧ 𝑏 = ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → ⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ = ⟨“𝑥(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1)𝑦”⟩)
71, 6breq12d 5065 . . . . . 6 ((𝑎 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∧ 𝑏 = ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → (𝑎(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1)𝑦”⟩))
84fveq2d 6665 . . . . . . 7 ((𝑎 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∧ 𝑏 = ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → (𝐾‘(𝑏‘1)) = (𝐾‘(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1)))
93fveq1d 6663 . . . . . . 7 ((𝑎 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∧ 𝑏 = ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → (𝑏‘0) = (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘0))
102, 8, 9breq123d 5066 . . . . . 6 ((𝑎 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∧ 𝑏 = ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → (𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ↔ 𝑥(𝐾‘(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1))(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘0)))
113fveq1d 6663 . . . . . . 7 ((𝑎 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∧ 𝑏 = ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → (𝑏‘2) = (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘2))
125, 8, 11breq123d 5066 . . . . . 6 ((𝑎 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∧ 𝑏 = ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → (𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2) ↔ 𝑦(𝐾‘(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1))(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘2)))
137, 10, 123anbi123d 1433 . . . . 5 ((𝑎 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∧ 𝑏 = ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → ((𝑎(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)) ↔ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1))(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1))(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘2))))
14132rexbidv 3292 . . . 4 ((𝑎 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∧ 𝑏 = ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → (∃𝑥𝑃𝑦𝑃 (𝑎(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)) ↔ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1))(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1))(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘2))))
15 eqid 2824 . . . 4 {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃m (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃m (0..^3))) ∧ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃 (𝑎(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)))} = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃m (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃m (0..^3))) ∧ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃 (𝑎(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)))}
1614, 15brab2a 5631 . . 3 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩{⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃m (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃m (0..^3))) ∧ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃 (𝑎(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)))}⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ↔ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝑃m (0..^3)) ∧ ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∈ (𝑃m (0..^3))) ∧ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1))(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1))(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘2))))
17 eqidd 2825 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑃𝑦𝑃)) → 𝑥 = 𝑥)
18 iscgra.e . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐸𝑃)
19 s3fv1 14254 . . . . . . . . . 10 (𝐸𝑃 → (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1) = 𝐸)
2018, 19syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1) = 𝐸)
2120adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑃𝑦𝑃)) → (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1) = 𝐸)
22 eqidd 2825 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑃𝑦𝑃)) → 𝑦 = 𝑦)
2317, 21, 22s3eqd 14226 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑃𝑦𝑃)) → ⟨“𝑥(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1)𝑦”⟩ = ⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩)
2423breq2d 5064 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑃𝑦𝑃)) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1)𝑦”⟩ ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩))
2521fveq2d 6665 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑃𝑦𝑃)) → (𝐾‘(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1)) = (𝐾𝐸))
26 iscgra.d . . . . . . . . 9 (𝜑𝐷𝑃)
27 s3fv0 14253 . . . . . . . . 9 (𝐷𝑃 → (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘0) = 𝐷)
2826, 27syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘0) = 𝐷)
2928adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑃𝑦𝑃)) → (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘0) = 𝐷)
3017, 25, 29breq123d 5066 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑃𝑦𝑃)) → (𝑥(𝐾‘(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1))(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘0) ↔ 𝑥(𝐾𝐸)𝐷))
31 iscgra.f . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹𝑃)
32 s3fv2 14255 . . . . . . . . 9 (𝐹𝑃 → (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘2) = 𝐹)
3331, 32syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘2) = 𝐹)
3433adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑃𝑦𝑃)) → (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘2) = 𝐹)
3522, 25, 34breq123d 5066 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑃𝑦𝑃)) → (𝑦(𝐾‘(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1))(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘2) ↔ 𝑦(𝐾𝐸)𝐹))
3624, 30, 353anbi123d 1433 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑃𝑦𝑃)) → ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1))(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1))(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘2)) ↔ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾𝐸)𝐷𝑦(𝐾𝐸)𝐹)))
37362rexbidva 3291 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑥𝑃𝑦𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1))(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1))(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘2)) ↔ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾𝐸)𝐷𝑦(𝐾𝐸)𝐹)))
3837anbi2d 631 . . 3 (𝜑 → (((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝑃m (0..^3)) ∧ ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∈ (𝑃m (0..^3))) ∧ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1))(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1))(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘2))) ↔ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝑃m (0..^3)) ∧ ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∈ (𝑃m (0..^3))) ∧ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾𝐸)𝐷𝑦(𝐾𝐸)𝐹))))
3916, 38syl5bb 286 . 2 (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩{⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃m (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃m (0..^3))) ∧ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃 (𝑎(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)))}⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ↔ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝑃m (0..^3)) ∧ ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∈ (𝑃m (0..^3))) ∧ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾𝐸)𝐷𝑦(𝐾𝐸)𝐹))))
40 iscgra.g . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
41 elex 3498 . . . 4 (𝐺 ∈ TarskiG → 𝐺 ∈ V)
42 iscgra.p . . . . . . . 8 𝑃 = (Base‘𝐺)
43 iscgra.k . . . . . . . 8 𝐾 = (hlG‘𝐺)
44 simpl 486 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑝 = 𝑃𝑘 = 𝐾) → 𝑝 = 𝑃)
4544eqcomd 2830 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑝 = 𝑃𝑘 = 𝐾) → 𝑃 = 𝑝)
4645oveq1d 7164 . . . . . . . . . . 11 ((𝑝 = 𝑃𝑘 = 𝐾) → (𝑃m (0..^3)) = (𝑝m (0..^3)))
4746eleq2d 2901 . . . . . . . . . 10 ((𝑝 = 𝑃𝑘 = 𝐾) → (𝑎 ∈ (𝑃m (0..^3)) ↔ 𝑎 ∈ (𝑝m (0..^3))))
4846eleq2d 2901 . . . . . . . . . 10 ((𝑝 = 𝑃𝑘 = 𝐾) → (𝑏 ∈ (𝑃m (0..^3)) ↔ 𝑏 ∈ (𝑝m (0..^3))))
4947, 48anbi12d 633 . . . . . . . . 9 ((𝑝 = 𝑃𝑘 = 𝐾) → ((𝑎 ∈ (𝑃m (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃m (0..^3))) ↔ (𝑎 ∈ (𝑝m (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑝m (0..^3)))))
50 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑝 = 𝑃𝑘 = 𝐾) → 𝑘 = 𝐾)
5150fveq1d 6663 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑝 = 𝑃𝑘 = 𝐾) → (𝑘‘(𝑏‘1)) = (𝐾‘(𝑏‘1)))
5251breqd 5063 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑝 = 𝑃𝑘 = 𝐾) → (𝑥(𝑘‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ↔ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0)))
5351breqd 5063 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑝 = 𝑃𝑘 = 𝐾) → (𝑦(𝑘‘(𝑏‘1))(𝑏‘2) ↔ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)))
5452, 533anbi23d 1436 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑝 = 𝑃𝑘 = 𝐾) → ((𝑎(cgrG‘𝑔)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝑘‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝑘‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)) ↔ (𝑎(cgrG‘𝑔)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2))))
5554bicomd 226 . . . . . . . . . . 11 ((𝑝 = 𝑃𝑘 = 𝐾) → ((𝑎(cgrG‘𝑔)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)) ↔ (𝑎(cgrG‘𝑔)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝑘‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝑘‘(𝑏‘1))(𝑏‘2))))
5645, 55rexeqbidv 3393 . . . . . . . . . 10 ((𝑝 = 𝑃𝑘 = 𝐾) → (∃𝑦𝑃 (𝑎(cgrG‘𝑔)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)) ↔ ∃𝑦𝑝 (𝑎(cgrG‘𝑔)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝑘‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝑘‘(𝑏‘1))(𝑏‘2))))
5745, 56rexeqbidv 3393 . . . . . . . . 9 ((𝑝 = 𝑃𝑘 = 𝐾) → (∃𝑥𝑃𝑦𝑃 (𝑎(cgrG‘𝑔)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)) ↔ ∃𝑥𝑝𝑦𝑝 (𝑎(cgrG‘𝑔)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝑘‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝑘‘(𝑏‘1))(𝑏‘2))))
5849, 57anbi12d 633 . . . . . . . 8 ((𝑝 = 𝑃𝑘 = 𝐾) → (((𝑎 ∈ (𝑃m (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃m (0..^3))) ∧ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃 (𝑎(cgrG‘𝑔)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2))) ↔ ((𝑎 ∈ (𝑝m (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑝m (0..^3))) ∧ ∃𝑥𝑝𝑦𝑝 (𝑎(cgrG‘𝑔)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝑘‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝑘‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)))))
5942, 43, 58sbcie2s 16540 . . . . . . 7 (𝑔 = 𝐺 → ([(Base‘𝑔) / 𝑝][(hlG‘𝑔) / 𝑘]((𝑎 ∈ (𝑝m (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑝m (0..^3))) ∧ ∃𝑥𝑝𝑦𝑝 (𝑎(cgrG‘𝑔)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝑘‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝑘‘(𝑏‘1))(𝑏‘2))) ↔ ((𝑎 ∈ (𝑃m (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃m (0..^3))) ∧ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃 (𝑎(cgrG‘𝑔)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)))))
6059opabbidv 5118 . . . . . 6 (𝑔 = 𝐺 → {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ [(Base‘𝑔) / 𝑝][(hlG‘𝑔) / 𝑘]((𝑎 ∈ (𝑝m (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑝m (0..^3))) ∧ ∃𝑥𝑝𝑦𝑝 (𝑎(cgrG‘𝑔)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝑘‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝑘‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)))} = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃m (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃m (0..^3))) ∧ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃 (𝑎(cgrG‘𝑔)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)))})
61 fveq2 6661 . . . . . . . . . . 11 (𝑔 = 𝐺 → (cgrG‘𝑔) = (cgrG‘𝐺))
6261breqd 5063 . . . . . . . . . 10 (𝑔 = 𝐺 → (𝑎(cgrG‘𝑔)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ↔ 𝑎(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩))
63623anbi1d 1437 . . . . . . . . 9 (𝑔 = 𝐺 → ((𝑎(cgrG‘𝑔)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)) ↔ (𝑎(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2))))
64632rexbidv 3292 . . . . . . . 8 (𝑔 = 𝐺 → (∃𝑥𝑃𝑦𝑃 (𝑎(cgrG‘𝑔)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)) ↔ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃 (𝑎(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2))))
6564anbi2d 631 . . . . . . 7 (𝑔 = 𝐺 → (((𝑎 ∈ (𝑃m (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃m (0..^3))) ∧ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃 (𝑎(cgrG‘𝑔)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2))) ↔ ((𝑎 ∈ (𝑃m (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃m (0..^3))) ∧ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃 (𝑎(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)))))
6665opabbidv 5118 . . . . . 6 (𝑔 = 𝐺 → {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃m (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃m (0..^3))) ∧ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃 (𝑎(cgrG‘𝑔)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)))} = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃m (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃m (0..^3))) ∧ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃 (𝑎(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)))})
6760, 66eqtrd 2859 . . . . 5 (𝑔 = 𝐺 → {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ [(Base‘𝑔) / 𝑝][(hlG‘𝑔) / 𝑘]((𝑎 ∈ (𝑝m (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑝m (0..^3))) ∧ ∃𝑥𝑝𝑦𝑝 (𝑎(cgrG‘𝑔)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝑘‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝑘‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)))} = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃m (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃m (0..^3))) ∧ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃 (𝑎(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)))})
68 df-cgra 26609 . . . . 5 cgrA = (𝑔 ∈ V ↦ {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ [(Base‘𝑔) / 𝑝][(hlG‘𝑔) / 𝑘]((𝑎 ∈ (𝑝m (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑝m (0..^3))) ∧ ∃𝑥𝑝𝑦𝑝 (𝑎(cgrG‘𝑔)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝑘‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝑘‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)))})
69 ovex 7182 . . . . . . 7 (𝑃m (0..^3)) ∈ V
7069, 69xpex 7470 . . . . . 6 ((𝑃m (0..^3)) × (𝑃m (0..^3))) ∈ V
71 opabssxp 5630 . . . . . 6 {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃m (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃m (0..^3))) ∧ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃 (𝑎(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)))} ⊆ ((𝑃m (0..^3)) × (𝑃m (0..^3)))
7270, 71ssexi 5212 . . . . 5 {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃m (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃m (0..^3))) ∧ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃 (𝑎(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)))} ∈ V
7367, 68, 72fvmpt 6759 . . . 4 (𝐺 ∈ V → (cgrA‘𝐺) = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃m (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃m (0..^3))) ∧ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃 (𝑎(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)))})
7440, 41, 733syl 18 . . 3 (𝜑 → (cgrA‘𝐺) = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃m (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃m (0..^3))) ∧ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃 (𝑎(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)))})
7574breqd 5063 . 2 (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩{⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃m (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃m (0..^3))) ∧ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃 (𝑎(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)))}⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩))
76 iscgra.a . . . . . 6 (𝜑𝐴𝑃)
77 iscgra.b . . . . . 6 (𝜑𝐵𝑃)
78 iscgra.c . . . . . 6 (𝜑𝐶𝑃)
7976, 77, 78s3cld 14234 . . . . 5 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word 𝑃)
80 s3len 14256 . . . . 5 (♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = 3
8142fvexi 6675 . . . . . 6 𝑃 ∈ V
82 3nn0 11912 . . . . . 6 3 ∈ ℕ0
83 wrdmap 13898 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ V ∧ 3 ∈ ℕ0) → ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word 𝑃 ∧ (♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = 3) ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝑃m (0..^3))))
8481, 82, 83mp2an 691 . . . . 5 ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word 𝑃 ∧ (♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = 3) ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝑃m (0..^3)))
8579, 80, 84sylanblc 592 . . . 4 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝑃m (0..^3)))
8626, 18, 31s3cld 14234 . . . . 5 (𝜑 → ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∈ Word 𝑃)
87 s3len 14256 . . . . 5 (♯‘⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) = 3
88 wrdmap 13898 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ V ∧ 3 ∈ ℕ0) → ((⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∈ Word 𝑃 ∧ (♯‘⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) = 3) ↔ ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∈ (𝑃m (0..^3))))
8981, 82, 88mp2an 691 . . . . 5 ((⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∈ Word 𝑃 ∧ (♯‘⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) = 3) ↔ ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∈ (𝑃m (0..^3)))
9086, 87, 89sylanblc 592 . . . 4 (𝜑 → ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∈ (𝑃m (0..^3)))
9185, 90jca 515 . . 3 (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝑃m (0..^3)) ∧ ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∈ (𝑃m (0..^3))))
9291biantrurd 536 . 2 (𝜑 → (∃𝑥𝑃𝑦𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾𝐸)𝐷𝑦(𝐾𝐸)𝐹) ↔ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝑃m (0..^3)) ∧ ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∈ (𝑃m (0..^3))) ∧ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾𝐸)𝐷𝑦(𝐾𝐸)𝐹))))
9339, 75, 923bitr4d 314 1 (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ↔ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾𝐸)𝐷𝑦(𝐾𝐸)𝐹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115  wrex 3134  Vcvv 3480  [wsbc 3758   class class class wbr 5052  {copab 5114   × cxp 5540  cfv 6343  (class class class)co 7149  m cmap 8402  0cc0 10535  1c1 10536  2c2 11689  3c3 11690  0cn0 11894  ..^cfzo 13037  chash 13695  Word cword 13866  ⟨“cs3 14204  Basecbs 16483  TarskiGcstrkg 26231  Itvcitv 26237  cgrGccgrg 26311  hlGchlg 26401  cgrAccgra 26608
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-oadd 8102  df-er 8285  df-map 8404  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509  df-card 9365  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-n0 11895  df-z 11979  df-uz 12241  df-fz 12895  df-fzo 13038  df-hash 13696  df-word 13867  df-concat 13923  df-s1 13950  df-s2 14210  df-s3 14211  df-cgra 26609
This theorem is referenced by:  iscgra1  26611  iscgrad  26612  cgrane1  26613  cgrane2  26614  cgrane3  26615  cgrane4  26616  cgrahl1  26617  cgrahl2  26618  cgracgr  26619  cgraswap  26621  cgracom  26623  cgratr  26624  flatcgra  26625  cgrabtwn  26627  cgrahl  26628  sacgr  26632
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