Theorem iscgra 28877

Description: Property for two angles ABC and DEF to be congruent. This is a modified version of the definition 11.3 of [Schwabhauser] p. 95. where the number of constructed points has been reduced to two. We chose this version rather than the textbook version because it is shorter and therefore simpler to work with. Theorem dfcgra2 28898 shows that those definitions are indeed equivalent. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-Jul-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
iscgra.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
iscgra.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
iscgra.k	⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
iscgra.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
iscgra.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
iscgra.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
iscgra.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
iscgra.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
iscgra.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
iscgra.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
iscgra	⊢ (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝐹)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝐸,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥,𝐼,𝑦   𝑥,𝑃,𝑦

Proof of Theorem iscgra

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑔 𝑘 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∧ 𝑏 = ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → 𝑎 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩)
2		eqidd 2737	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∧ 𝑏 = ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → 𝑥 = 𝑥)
3		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∧ 𝑏 = ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → 𝑏 = ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
4	3	fveq1d 6842	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∧ 𝑏 = ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → (𝑏‘1) = (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1))
5		eqidd 2737	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∧ 𝑏 = ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → 𝑦 = 𝑦)
6	2, 4, 5	s3eqd 14826	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∧ 𝑏 = ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → ⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ = ⟨“𝑥(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1)𝑦”⟩)
7	1, 6	breq12d 5098	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∧ 𝑏 = ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → (𝑎(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1)𝑦”⟩))
8	4	fveq2d 6844	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∧ 𝑏 = ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → (𝐾‘(𝑏‘1)) = (𝐾‘(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1)))
9	3	fveq1d 6842	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∧ 𝑏 = ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → (𝑏‘0) = (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘0))
10	2, 8, 9	breq123d 5099	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∧ 𝑏 = ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → (𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ↔ 𝑥(𝐾‘(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1))(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘0)))
11	3	fveq1d 6842	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∧ 𝑏 = ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → (𝑏‘2) = (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘2))
12	5, 8, 11	breq123d 5099	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∧ 𝑏 = ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → (𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2) ↔ 𝑦(𝐾‘(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1))(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘2)))
13	7, 10, 12	3anbi123d 1439	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∧ 𝑏 = ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → ((𝑎(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)) ↔ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1))(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1))(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘2))))
14	13	2rexbidv 3202	. . . 4 ⊢ ((𝑎 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∧ 𝑏 = ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → (∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑎(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1))(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1))(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘2))))
15		eqid 2736	. . . 4 ⊢ {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑎(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)))} = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑎(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)))}
16	14, 15	brab2a 5724	. . 3 ⊢ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩{⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑎(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)))}⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ↔ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∧ ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∈ (𝑃 ↑m (0..^3))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1))(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1))(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘2))))
17		eqidd 2737	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃)) → 𝑥 = 𝑥)
18		iscgra.e	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
19		s3fv1 14854	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐸 ∈ 𝑃 → (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1) = 𝐸)
20	18, 19	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1) = 𝐸)
21	20	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃)) → (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1) = 𝐸)
22		eqidd 2737	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃)) → 𝑦 = 𝑦)
23	17, 21, 22	s3eqd 14826	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃)) → ⟨“𝑥(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1)𝑦”⟩ = ⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩)
24	23	breq2d 5097	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃)) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1)𝑦”⟩ ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩))
25	21	fveq2d 6844	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃)) → (𝐾‘(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1)) = (𝐾‘𝐸))
26		iscgra.d	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
27		s3fv0 14853	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑃 → (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘0) = 𝐷)
28	26, 27	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘0) = 𝐷)
29	28	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃)) → (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘0) = 𝐷)
30	17, 25, 29	breq123d 5099	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃)) → (𝑥(𝐾‘(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1))(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘0) ↔ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝐷))
31		iscgra.f	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
32		s3fv2 14855	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑃 → (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘2) = 𝐹)
33	31, 32	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘2) = 𝐹)
34	33	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃)) → (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘2) = 𝐹)
35	22, 25, 34	breq123d 5099	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃)) → (𝑦(𝐾‘(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1))(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘2) ↔ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝐹))
36	24, 30, 35	3anbi123d 1439	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃)) → ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1))(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1))(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘2)) ↔ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝐹)))
37	36	2rexbidva 3200	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1))(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1))(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘2)) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝐹)))
38	37	anbi2d 631	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∧ ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∈ (𝑃 ↑m (0..^3))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1))(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1))(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘2))) ↔ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∧ ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∈ (𝑃 ↑m (0..^3))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝐹))))
39	16, 38	bitrid 283	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩{⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑎(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)))}⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ↔ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∧ ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∈ (𝑃 ↑m (0..^3))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝐹))))
40		iscgra.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
41		elex 3450	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ TarskiG → 𝐺 ∈ V)
42		iscgra.p	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
43		iscgra.k	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
44		simpl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑘 = 𝐾) → 𝑝 = 𝑃)
45	44	oveq1d 7382	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑘 = 𝐾) → (𝑝 ↑m (0..^3)) = (𝑃 ↑m (0..^3)))
46	45	eleq2d 2822	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑘 = 𝐾) → (𝑎 ∈ (𝑝 ↑m (0..^3)) ↔ 𝑎 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3))))
47	45	eleq2d 2822	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑘 = 𝐾) → (𝑏 ∈ (𝑝 ↑m (0..^3)) ↔ 𝑏 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3))))
48	46, 47	anbi12d 633	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑘 = 𝐾) → ((𝑎 ∈ (𝑝 ↑m (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑝 ↑m (0..^3))) ↔ (𝑎 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)))))
49		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑘 = 𝐾) → 𝑘 = 𝐾)
50	49	fveq1d 6842	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑘 = 𝐾) → (𝑘‘(𝑏‘1)) = (𝐾‘(𝑏‘1)))
51	50	breqd 5096	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑘 = 𝐾) → (𝑥(𝑘‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ↔ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0)))
52	50	breqd 5096	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑘 = 𝐾) → (𝑦(𝑘‘(𝑏‘1))(𝑏‘2) ↔ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)))
53	51, 52	3anbi23d 1442	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑘 = 𝐾) → ((𝑎(cgrG‘𝑔)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝑘‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝑘‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)) ↔ (𝑎(cgrG‘𝑔)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2))))
54	44, 53	rexeqbidv 3312	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑘 = 𝐾) → (∃𝑦 ∈ 𝑝 (𝑎(cgrG‘𝑔)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝑘‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝑘‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑎(cgrG‘𝑔)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2))))
55	44, 54	rexeqbidv 3312	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑘 = 𝐾) → (∃𝑥 ∈ 𝑝 ∃𝑦 ∈ 𝑝 (𝑎(cgrG‘𝑔)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝑘‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝑘‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑎(cgrG‘𝑔)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2))))
56	48, 55	anbi12d 633	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑘 = 𝐾) → (((𝑎 ∈ (𝑝 ↑m (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑝 ↑m (0..^3))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑝 ∃𝑦 ∈ 𝑝 (𝑎(cgrG‘𝑔)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝑘‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝑘‘(𝑏‘1))(𝑏‘2))) ↔ ((𝑎 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑎(cgrG‘𝑔)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)))))
57	42, 43, 56	sbcie2s 17131	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → ([(Base‘𝑔) / 𝑝][(hlG‘𝑔) / 𝑘]((𝑎 ∈ (𝑝 ↑m (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑝 ↑m (0..^3))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑝 ∃𝑦 ∈ 𝑝 (𝑎(cgrG‘𝑔)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝑘‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝑘‘(𝑏‘1))(𝑏‘2))) ↔ ((𝑎 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑎(cgrG‘𝑔)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)))))
58	57	opabbidv 5151	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ [(Base‘𝑔) / 𝑝][(hlG‘𝑔) / 𝑘]((𝑎 ∈ (𝑝 ↑m (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑝 ↑m (0..^3))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑝 ∃𝑦 ∈ 𝑝 (𝑎(cgrG‘𝑔)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝑘‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝑘‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)))} = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑎(cgrG‘𝑔)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)))})
59		fveq2 6840	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (cgrG‘𝑔) = (cgrG‘𝐺))
60	59	breqd 5096	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (𝑎(cgrG‘𝑔)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ↔ 𝑎(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩))
61	60	3anbi1d 1443	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → ((𝑎(cgrG‘𝑔)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)) ↔ (𝑎(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2))))
62	61	2rexbidv 3202	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑎(cgrG‘𝑔)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑎(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2))))
63	62	anbi2d 631	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (((𝑎 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑎(cgrG‘𝑔)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2))) ↔ ((𝑎 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑎(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)))))
64	63	opabbidv 5151	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑎(cgrG‘𝑔)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)))} = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑎(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)))})
65	58, 64	eqtrd 2771	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ [(Base‘𝑔) / 𝑝][(hlG‘𝑔) / 𝑘]((𝑎 ∈ (𝑝 ↑m (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑝 ↑m (0..^3))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑝 ∃𝑦 ∈ 𝑝 (𝑎(cgrG‘𝑔)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝑘‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝑘‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)))} = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑎(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)))})
66		df-cgra 28876	. . . . 5 ⊢ cgrA = (𝑔 ∈ V ↦ {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ [(Base‘𝑔) / 𝑝][(hlG‘𝑔) / 𝑘]((𝑎 ∈ (𝑝 ↑m (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑝 ↑m (0..^3))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑝 ∃𝑦 ∈ 𝑝 (𝑎(cgrG‘𝑔)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝑘‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝑘‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)))})
67		ovex 7400	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∈ V
68	67, 67	xpex 7707	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ↑m (0..^3)) × (𝑃 ↑m (0..^3))) ∈ V
69		opabssxp 5723	. . . . . 6 ⊢ {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑎(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)))} ⊆ ((𝑃 ↑m (0..^3)) × (𝑃 ↑m (0..^3)))
70	68, 69	ssexi 5263	. . . . 5 ⊢ {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑎(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)))} ∈ V
71	65, 66, 70	fvmpt 6947	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ V → (cgrA‘𝐺) = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑎(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)))})
72	40, 41, 71	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (cgrA‘𝐺) = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑎(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)))})
73	72	breqd 5096	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩{⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑎(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)))}⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩))
74		iscgra.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
75		iscgra.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
76		iscgra.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
77	74, 75, 76	s3cld 14834	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word 𝑃)
78		s3len 14856	. . . . 5 ⊢ (♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = 3
79	42	fvexi 6854	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 ∈ V
80		3nn0 12455	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
81		wrdmap 14508	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ V ∧ 3 ∈ ℕ0) → ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word 𝑃 ∧ (♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = 3) ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝑃 ↑m (0..^3))))
82	79, 80, 81	mp2an 693	. . . . 5 ⊢ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word 𝑃 ∧ (♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = 3) ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)))
83	77, 78, 82	sylanblc 590	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)))
84	26, 18, 31	s3cld 14834	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∈ Word 𝑃)
85		s3len 14856	. . . . 5 ⊢ (♯‘⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) = 3
86		wrdmap 14508	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ V ∧ 3 ∈ ℕ0) → ((⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∈ Word 𝑃 ∧ (♯‘⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) = 3) ↔ ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∈ (𝑃 ↑m (0..^3))))
87	79, 80, 86	mp2an 693	. . . . 5 ⊢ ((⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∈ Word 𝑃 ∧ (♯‘⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) = 3) ↔ ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)))
88	84, 85, 87	sylanblc 590	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)))
89	83, 88	jca 511	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∧ ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∈ (𝑃 ↑m (0..^3))))
90	89	biantrurd 532	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝐹) ↔ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∧ ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∈ (𝑃 ↑m (0..^3))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝐹))))
91	39, 73, 90	3bitr4d 311	1 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝐹)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3061  Vcvv 3429  [wsbc 3728   class class class wbr 5085  {copab 5147   × cxp 5629  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367   ↑_m cmap 8773  0cc0 11038  1c1 11039  2c2 12236  3c3 12237  ℕ₀cn0 12437  ..^cfzo 13608  ♯chash 14292  Word cword 14475  ⟨“cs3 14804  Basecbs 17179  TarskiGcstrkg 28495  Itvcitv 28501  cgrGccgrg 28578  hlGchlg 28668  cgrAccgra 28875

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-map 8775  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-hash 14293  df-word 14476  df-concat 14533  df-s1 14559  df-s2 14810  df-s3 14811  df-cgra 28876

This theorem is referenced by:  iscgra1  28878  iscgrad  28879  cgrane1  28880  cgrane2  28881  cgrane3  28882  cgrane4  28883  cgrahl1  28884  cgrahl2  28885  cgracgr  28886  cgraswap  28888  cgracom  28890  cgratr  28891  flatcgra  28892  cgrabtwn  28894  cgrahl  28895  sacgr  28899