Theorem iscgra 29321

Description: Property for two angles ABC and DEF to be congruent. This is a modified version of the definition 11.3 of [Schwabhauser] p. 95. where the number of constructed points has been reduced to two. We chose this version rather than the textbook version because it is shorter and therefore simpler to work with. Theorem dfcgra2 29343 shows that those definitions are indeed equivalent. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-Jul-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
iscgra.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
iscgra.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
iscgra.k	⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
iscgra.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
iscgra.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
iscgra.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
iscgra.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
iscgra.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
iscgra.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
iscgra.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
iscgra	⊢ (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝐹)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝐸,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥,𝐼,𝑦   𝑥,𝑃,𝑦

Proof of Theorem iscgra

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑔 𝑘 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∧ 𝑏 = ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → 𝑎 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩)
2		eqidd 2761	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∧ 𝑏 = ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → 𝑥 = 𝑥)
3		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∧ 𝑏 = ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → 𝑏 = ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
4	3	fveq1d 6887	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∧ 𝑏 = ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → (𝑏‘1) = (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1))
5		eqidd 2761	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∧ 𝑏 = ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → 𝑦 = 𝑦)
6	2, 4, 5	s3eqd 15019	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∧ 𝑏 = ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → ⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ = ⟨“𝑥(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1)𝑦”⟩)
7	1, 6	breq12d 5115	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∧ 𝑏 = ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → (𝑎(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1)𝑦”⟩))
8	4	fveq2d 6889	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∧ 𝑏 = ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → (𝐾‘(𝑏‘1)) = (𝐾‘(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1)))
9	3	fveq1d 6887	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∧ 𝑏 = ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → (𝑏‘0) = (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘0))
10	2, 8, 9	breq123d 5116	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∧ 𝑏 = ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → (𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ↔ 𝑥(𝐾‘(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1))(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘0)))
11	3	fveq1d 6887	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∧ 𝑏 = ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → (𝑏‘2) = (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘2))
12	5, 8, 11	breq123d 5116	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∧ 𝑏 = ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → (𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2) ↔ 𝑦(𝐾‘(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1))(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘2)))
13	7, 10, 12	3anbi123d 1464	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∧ 𝑏 = ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → ((𝑎(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)) ↔ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1))(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1))(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘2))))
14	13	2rexbidv 3227	. . . 4 ⊢ ((𝑎 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∧ 𝑏 = ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) → (∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑎(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1))(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1))(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘2))))
15		eqid 2760	. . . 4 ⊢ {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑎(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)))} = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑎(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)))}
16	14, 15	brab2a 5743	. . 3 ⊢ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩{⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑎(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)))}⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ↔ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∧ ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∈ (𝑃 ↑m (0..^3))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1))(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1))(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘2))))
17		eqidd 2761	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃)) → 𝑥 = 𝑥)
18		iscgra.e	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
19		s3fv1 15048	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐸 ∈ 𝑃 → (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1) = 𝐸)
20	18, 19	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1) = 𝐸)
21	20	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃)) → (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1) = 𝐸)
22		eqidd 2761	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃)) → 𝑦 = 𝑦)
23	17, 21, 22	s3eqd 15019	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃)) → ⟨“𝑥(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1)𝑦”⟩ = ⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩)
24	23	breq2d 5114	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃)) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1)𝑦”⟩ ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩))
25	21	fveq2d 6889	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃)) → (𝐾‘(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1)) = (𝐾‘𝐸))
26		iscgra.d	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
27		s3fv0 15047	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑃 → (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘0) = 𝐷)
28	26, 27	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘0) = 𝐷)
29	28	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃)) → (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘0) = 𝐷)
30	17, 25, 29	breq123d 5116	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃)) → (𝑥(𝐾‘(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1))(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘0) ↔ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝐷))
31		iscgra.f	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
32		s3fv2 15049	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑃 → (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘2) = 𝐹)
33	31, 32	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘2) = 𝐹)
34	33	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃)) → (⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘2) = 𝐹)
35	22, 25, 34	breq123d 5116	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃)) → (𝑦(𝐾‘(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1))(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘2) ↔ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝐹))
36	24, 30, 35	3anbi123d 1464	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃)) → ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1))(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1))(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘2)) ↔ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝐹)))
37	36	2rexbidva 3225	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1))(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1))(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘2)) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝐹)))
38	37	anbi2d 642	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∧ ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∈ (𝑃 ↑m (0..^3))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1))(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘1))(⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩‘2))) ↔ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∧ ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∈ (𝑃 ↑m (0..^3))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝐹))))
39	16, 38	bitrid 286	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩{⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑎(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)))}⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ↔ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∧ ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∈ (𝑃 ↑m (0..^3))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝐹))))
40		iscgra.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
41		elex 3471	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ TarskiG → 𝐺 ∈ V)
42		iscgra.p	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
43		iscgra.k	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
44		simpl 488	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑘 = 𝐾) → 𝑝 = 𝑃)
45	44	oveq1d 7435	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑘 = 𝐾) → (𝑝 ↑m (0..^3)) = (𝑃 ↑m (0..^3)))
46	45	eleq2d 2846	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑘 = 𝐾) → (𝑎 ∈ (𝑝 ↑m (0..^3)) ↔ 𝑎 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3))))
47	45	eleq2d 2846	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑘 = 𝐾) → (𝑏 ∈ (𝑝 ↑m (0..^3)) ↔ 𝑏 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3))))
48	46, 47	anbi12d 644	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑘 = 𝐾) → ((𝑎 ∈ (𝑝 ↑m (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑝 ↑m (0..^3))) ↔ (𝑎 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)))))
49		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑘 = 𝐾) → 𝑘 = 𝐾)
50	49	fveq1d 6887	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑘 = 𝐾) → (𝑘‘(𝑏‘1)) = (𝐾‘(𝑏‘1)))
51	50	breqd 5113	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑘 = 𝐾) → (𝑥(𝑘‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ↔ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0)))
52	50	breqd 5113	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑘 = 𝐾) → (𝑦(𝑘‘(𝑏‘1))(𝑏‘2) ↔ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)))
53	51, 52	3anbi23d 1467	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑘 = 𝐾) → ((𝑎(cgrG‘𝑔)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝑘‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝑘‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)) ↔ (𝑎(cgrG‘𝑔)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2))))
54	44, 53	rexeqbidv 3335	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑘 = 𝐾) → (∃𝑦 ∈ 𝑝 (𝑎(cgrG‘𝑔)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝑘‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝑘‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑎(cgrG‘𝑔)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2))))
55	44, 54	rexeqbidv 3335	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑘 = 𝐾) → (∃𝑥 ∈ 𝑝 ∃𝑦 ∈ 𝑝 (𝑎(cgrG‘𝑔)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝑘‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝑘‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑎(cgrG‘𝑔)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2))))
56	48, 55	anbi12d 644	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑝 = 𝑃 ∧ 𝑘 = 𝐾) → (((𝑎 ∈ (𝑝 ↑m (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑝 ↑m (0..^3))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑝 ∃𝑦 ∈ 𝑝 (𝑎(cgrG‘𝑔)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝑘‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝑘‘(𝑏‘1))(𝑏‘2))) ↔ ((𝑎 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑎(cgrG‘𝑔)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)))))
57	42, 43, 56	sbcie2s 17344	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → ([(Base‘𝑔) / 𝑝][(hlG‘𝑔) / 𝑘]((𝑎 ∈ (𝑝 ↑m (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑝 ↑m (0..^3))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑝 ∃𝑦 ∈ 𝑝 (𝑎(cgrG‘𝑔)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝑘‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝑘‘(𝑏‘1))(𝑏‘2))) ↔ ((𝑎 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑎(cgrG‘𝑔)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)))))
58	57	opabbidv 5170	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ [(Base‘𝑔) / 𝑝][(hlG‘𝑔) / 𝑘]((𝑎 ∈ (𝑝 ↑m (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑝 ↑m (0..^3))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑝 ∃𝑦 ∈ 𝑝 (𝑎(cgrG‘𝑔)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝑘‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝑘‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)))} = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑎(cgrG‘𝑔)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)))})
59		fveq2 6885	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (cgrG‘𝑔) = (cgrG‘𝐺))
60	59	breqd 5113	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (𝑎(cgrG‘𝑔)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ↔ 𝑎(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩))
61	60	3anbi1d 1468	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → ((𝑎(cgrG‘𝑔)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)) ↔ (𝑎(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2))))
62	61	2rexbidv 3227	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑎(cgrG‘𝑔)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑎(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2))))
63	62	anbi2d 642	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (((𝑎 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑎(cgrG‘𝑔)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2))) ↔ ((𝑎 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑎(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)))))
64	63	opabbidv 5170	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑎(cgrG‘𝑔)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)))} = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑎(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)))})
65	58, 64	eqtrd 2795	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ [(Base‘𝑔) / 𝑝][(hlG‘𝑔) / 𝑘]((𝑎 ∈ (𝑝 ↑m (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑝 ↑m (0..^3))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑝 ∃𝑦 ∈ 𝑝 (𝑎(cgrG‘𝑔)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝑘‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝑘‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)))} = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑎(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)))})
66		df-cgra 29320	. . . . 5 ⊢ cgrA = (𝑔 ∈ V ↦ {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ [(Base‘𝑔) / 𝑝][(hlG‘𝑔) / 𝑘]((𝑎 ∈ (𝑝 ↑m (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑝 ↑m (0..^3))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑝 ∃𝑦 ∈ 𝑝 (𝑎(cgrG‘𝑔)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝑘‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝑘‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)))})
67		ovex 7453	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∈ V
68	67, 67	xpex 7767	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ↑m (0..^3)) × (𝑃 ↑m (0..^3))) ∈ V
69		opabssxp 5742	. . . . . 6 ⊢ {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑎(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)))} ⊆ ((𝑃 ↑m (0..^3)) × (𝑃 ↑m (0..^3)))
70	68, 69	ssexi 5283	. . . . 5 ⊢ {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑎(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)))} ∈ V
71	65, 66, 70	fvmpt 6993	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ V → (cgrA‘𝐺) = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑎(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)))})
72	40, 41, 71	3syl 19	. . 3 ⊢ (𝜑 → (cgrA‘𝐺) = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑎(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)))})
73	72	breqd 5113	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩{⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (𝑎(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥(𝑏‘1)𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘0) ∧ 𝑦(𝐾‘(𝑏‘1))(𝑏‘2)))}⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩))
74		iscgra.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
75		iscgra.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
76		iscgra.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
77	74, 75, 76	s3cld 15027	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word 𝑃)
78		s3len 15050	. . . . 5 ⊢ (♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = 3
79	42	fvexi 6899	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 ∈ V
80		3nn0 12627	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
81		wrdmap 14694	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ V ∧ 3 ∈ ℕ0) → ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word 𝑃 ∧ (♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = 3) ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝑃 ↑m (0..^3))))
82	79, 80, 81	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word 𝑃 ∧ (♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = 3) ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)))
83	77, 78, 82	sylanblc 601	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)))
84	26, 18, 31	s3cld 15027	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∈ Word 𝑃)
85		s3len 15050	. . . . 5 ⊢ (♯‘⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) = 3
86		wrdmap 14694	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ V ∧ 3 ∈ ℕ0) → ((⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∈ Word 𝑃 ∧ (♯‘⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) = 3) ↔ ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∈ (𝑃 ↑m (0..^3))))
87	79, 80, 86	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ ((⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∈ Word 𝑃 ∧ (♯‘⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩) = 3) ↔ ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)))
88	84, 85, 87	sylanblc 601	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)))
89	83, 88	jca 521	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∧ ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∈ (𝑃 ↑m (0..^3))))
90	89	biantrurd 542	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝐹) ↔ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∧ ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∈ (𝑃 ↑m (0..^3))) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝐹))))
91	39, 73, 90	3bitr4d 314	1 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝐹)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∃wrex 3086  Vcvv 3450  [wsbc 3738   class class class wbr 5102  {copab 5166   × cxp 5648  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ↑_m cmap 8850  0cc0 11203  1c1 11204  2c2 12400  3c3 12401  ℕ₀cn0 12609  ..^cfzo 13791  ♯chash 14477  Word cword 14661  ⟨“cs3 14997  Basecbs 17392  TarskiGcstrkg 28894  Itvcitv 28900  cgrGccgrg 28978  hlGchlg 29068  cgrAccgra 29319

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-er 8720  df-map 8852  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-card 10023  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-nn 12339  df-2 12408  df-3 12409  df-n0 12610  df-z 12697  df-uz 12969  df-fz 13643  df-fzo 13792  df-hash 14478  df-word 14662  df-concat 14719  df-s1 14746  df-s2 15003  df-s3 15004  df-cgra 29320

This theorem is used by:  iscgra1  29322  iscgrad  29323  cgrane1  29324  cgrane2  29325  cgrane3  29326  cgrane4  29327  cgrahl1  29328  cgrahl2  29329  cgracgr  29330  cgraswap  29332  cgracom  29334  cgratr  29335  flatcgra  29337  cgrabtwn  29339  cgrahl  29340  sacgr  29344  cgrarag  29349  ragsupplcgra  29350  iscgrag  33057