Theorem isumdivc 14871

Description: An infinite sum divided by a constant. (Contributed by NM, 2-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
isumcl.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
isumcl.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
isumcl.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
isumcl.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
isumcl.5	⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
summulc.6	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
isumdivc.7	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
isumdivc	⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐴 / 𝐵) = Σ𝑘 ∈ 𝑍 (𝐴 / 𝐵))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍   𝑘,𝑀

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem isumdivc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isumcl.1	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		isumcl.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		isumcl.3	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
4		isumcl.4	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
5		isumcl.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
6		summulc.6	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
7		isumdivc.7	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
8	6, 7	reccld 11121	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐵) ∈ ℂ)
9	1, 2, 3, 4, 5, 8	isummulc1 14870	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐴 · (1 / 𝐵)) = Σ𝑘 ∈ 𝑍 (𝐴 · (1 / 𝐵)))
10	1, 2, 3, 4, 5	isumcl 14868	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐴 ∈ ℂ)
11	10, 6, 7	divrecd 11131	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐴 / 𝐵) = (Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐴 · (1 / 𝐵)))
12	6	adantr 474	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ)
13	7	adantr 474	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐵 ≠ 0)
14	4, 12, 13	divrecd 11131	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐴 / 𝐵) = (𝐴 · (1 / 𝐵)))
15	14	sumeq2dv 14811	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝑍 (𝐴 / 𝐵) = Σ𝑘 ∈ 𝑍 (𝐴 · (1 / 𝐵)))
16	9, 11, 15	3eqtr4d 2872	1 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐴 / 𝐵) = Σ𝑘 ∈ 𝑍 (𝐴 / 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1658   ∈ wcel 2166   ≠ wne 3000  dom cdm 5343  ‘cfv 6124  (class class class)co 6906  ℂcc 10251  0cc0 10253  1c1 10254   + caddc 10256   · cmul 10258   / cdiv 11010  ℤcz 11705  ℤ_≥cuz 11969  seqcseq 13096   ⇝ cli 14593  Σcsu 14794

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-rep 4995  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210  ax-inf2 8816  ax-cnex 10309  ax-resscn 10310  ax-1cn 10311  ax-icn 10312  ax-addcl 10313  ax-addrcl 10314  ax-mulcl 10315  ax-mulrcl 10316  ax-mulcom 10317  ax-addass 10318  ax-mulass 10319  ax-distr 10320  ax-i2m1 10321  ax-1ne0 10322  ax-1rid 10323  ax-rnegex 10324  ax-rrecex 10325  ax-cnre 10326  ax-pre-lttri 10327  ax-pre-lttrn 10328  ax-pre-ltadd 10329  ax-pre-mulgt0 10330  ax-pre-sup 10331

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-fal 1672  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-nel 3104  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rmo 3126  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-pss 3815  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4660  df-int 4699  df-iun 4743  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-tr 4977  df-id 5251  df-eprel 5256  df-po 5264  df-so 5265  df-fr 5302  df-se 5303  df-we 5304  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-pred 5921  df-ord 5967  df-on 5968  df-lim 5969  df-suc 5970  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-isom 6133  df-riota 6867  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-mpt2 6911  df-om 7328  df-1st 7429  df-2nd 7430  df-wrecs 7673  df-recs 7735  df-rdg 7773  df-1o 7827  df-oadd 7831  df-er 8010  df-en 8224  df-dom 8225  df-sdom 8226  df-fin 8227  df-sup 8618  df-oi 8685  df-card 9079  df-pnf 10394  df-mnf 10395  df-xr 10396  df-ltxr 10397  df-le 10398  df-sub 10588  df-neg 10589  df-div 11011  df-nn 11352  df-2 11415  df-3 11416  df-n0 11620  df-z 11706  df-uz 11970  df-rp 12114  df-fz 12621  df-fzo 12762  df-seq 13097  df-exp 13156  df-hash 13412  df-cj 14217  df-re 14218  df-im 14219  df-sqrt 14353  df-abs 14354  df-clim 14597  df-sum 14795

This theorem is referenced by: (None)