MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isumdivc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isumdivc 15716
Description: An infinite sum divided by a constant. (Contributed by NM, 2-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isumcl.1 ๐‘ = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)
isumcl.2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
isumcl.3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) = ๐ด)
isumcl.4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
isumcl.5 (๐œ‘ โ†’ seq๐‘€( + , ๐น) โˆˆ dom โ‡ )
summulc.6 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
isumdivc.7 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โ‰  0)
Assertion
Ref Expression
isumdivc (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ ๐ด / ๐ต) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ (๐ด / ๐ต))
Distinct variable groups:   ๐ต,๐‘˜   ๐‘˜,๐น   ๐œ‘,๐‘˜   ๐‘˜,๐‘   ๐‘˜,๐‘€
Allowed substitution hint:   ๐ด(๐‘˜)

Proof of Theorem isumdivc
StepHypRef Expression
1 isumcl.1 . . 3 ๐‘ = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)
2 isumcl.2 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
3 isumcl.3 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) = ๐ด)
4 isumcl.4 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
5 isumcl.5 . . 3 (๐œ‘ โ†’ seq๐‘€( + , ๐น) โˆˆ dom โ‡ )
6 summulc.6 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
7 isumdivc.7 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โ‰  0)
86, 7reccld 11987 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (1 / ๐ต) โˆˆ โ„‚)
91, 2, 3, 4, 5, 8isummulc1 15715 . 2 (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ ๐ด ยท (1 / ๐ต)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ (๐ด ยท (1 / ๐ต)))
101, 2, 3, 4, 5isumcl 15713 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ ๐ด โˆˆ โ„‚)
1110, 6, 7divrecd 11997 . 2 (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ ๐ด / ๐ต) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ ๐ด ยท (1 / ๐ต)))
126adantr 480 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
137adantr 480 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐ต โ‰  0)
144, 12, 13divrecd 11997 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐ด / ๐ต) = (๐ด ยท (1 / ๐ต)))
1514sumeq2dv 15655 . 2 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ (๐ด / ๐ต) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ (๐ด ยท (1 / ๐ต)))
169, 11, 153eqtr4d 2776 1 (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ ๐ด / ๐ต) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ (๐ด / ๐ต))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2934  dom cdm 5669  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  โ„‚cc 11110  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   / cdiv 11875  โ„คcz 12562  โ„คโ‰ฅcuz 12826  seqcseq 13972   โ‡ cli 15434  ฮฃcsu 15638
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-sum 15639
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator