Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isumdivc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isumdivc 15118
 Description: An infinite sum divided by a constant. (Contributed by NM, 2-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isumcl.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
isumcl.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
isumcl.3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
isumcl.4 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
isumcl.5 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
summulc.6 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
isumdivc.7 (𝜑𝐵 ≠ 0)
Assertion
Ref Expression
isumdivc (𝜑 → (Σ𝑘𝑍 𝐴 / 𝐵) = Σ𝑘𝑍 (𝐴 / 𝐵))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍   𝑘,𝑀
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem isumdivc
StepHypRef Expression
1 isumcl.1 . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 isumcl.2 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 isumcl.3 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
4 isumcl.4 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
5 isumcl.5 . . 3 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
6 summulc.6 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
7 isumdivc.7 . . . 4 (𝜑𝐵 ≠ 0)
86, 7reccld 11408 . . 3 (𝜑 → (1 / 𝐵) ∈ ℂ)
91, 2, 3, 4, 5, 8isummulc1 15117 . 2 (𝜑 → (Σ𝑘𝑍 𝐴 · (1 / 𝐵)) = Σ𝑘𝑍 (𝐴 · (1 / 𝐵)))
101, 2, 3, 4, 5isumcl 15115 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘𝑍 𝐴 ∈ ℂ)
1110, 6, 7divrecd 11418 . 2 (𝜑 → (Σ𝑘𝑍 𝐴 / 𝐵) = (Σ𝑘𝑍 𝐴 · (1 / 𝐵)))
126adantr 483 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ)
137adantr 483 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 ≠ 0)
144, 12, 13divrecd 11418 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐴 / 𝐵) = (𝐴 · (1 / 𝐵)))
1514sumeq2dv 15059 . 2 (𝜑 → Σ𝑘𝑍 (𝐴 / 𝐵) = Σ𝑘𝑍 (𝐴 · (1 / 𝐵)))
169, 11, 153eqtr4d 2866 1 (𝜑 → (Σ𝑘𝑍 𝐴 / 𝐵) = Σ𝑘𝑍 (𝐴 / 𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ≠ wne 3016  dom cdm 5554  ‘cfv 6354  (class class class)co 7155  ℂcc 10534  0cc0 10536  1c1 10537   + caddc 10539   · cmul 10541   / cdiv 11296  ℤcz 11980  ℤ≥cuz 12242  seqcseq 13368   ⇝ cli 14840  Σcsu 15041 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5189  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-inf2 9103  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613  ax-pre-sup 10614 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-int 4876  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-isom 6363  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7580  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-1o 8101  df-oadd 8105  df-er 8288  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-fin 8512  df-sup 8905  df-oi 8973  df-card 9367  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-div 11297  df-nn 11638  df-2 11699  df-3 11700  df-n0 11897  df-z 11981  df-uz 12243  df-rp 12389  df-fz 12892  df-fzo 13033  df-seq 13369  df-exp 13429  df-hash 13690  df-cj 14457  df-re 14458  df-im 14459  df-sqrt 14593  df-abs 14594  df-clim 14844  df-sum 15042 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator