MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isumrecl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isumrecl 15118
Description: The sum of a converging infinite real series is a real number. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isumrecl.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
isumrecl.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
isumrecl.3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
isumrecl.4 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℝ)
isumrecl.5 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
Assertion
Ref Expression
isumrecl (𝜑 → Σ𝑘𝑍 𝐴 ∈ ℝ)
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem isumrecl
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isumrecl.1 . 2 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 isumrecl.2 . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 isumrecl.3 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
4 isumrecl.4 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℝ)
54recnd 10663 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
6 isumrecl.5 . . 3 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
71, 2, 3, 5, 6isumclim2 15111 . 2 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ Σ𝑘𝑍 𝐴)
83, 4eqeltrd 2916 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
91, 2, 8serfre 13402 . . 3 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹):𝑍⟶ℝ)
109ffvelrnda 6840 . 2 ((𝜑𝑗𝑍) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) ∈ ℝ)
111, 2, 7, 10climrecl 14938 1 (𝜑 → Σ𝑘𝑍 𝐴 ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  dom cdm 5543  cfv 6344  cr 10530   + caddc 10534  cz 11976  cuz 12238  seqcseq 13371  cli 14839  Σcsu 15040
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7452  ax-inf2 9097  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4826  df-int 4864  df-iun 4908  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-se 5503  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6136  df-ord 6182  df-on 6183  df-lim 6184  df-suc 6185  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-isom 6353  df-riota 7104  df-ov 7149  df-oprab 7150  df-mpo 7151  df-om 7572  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-oadd 8098  df-er 8281  df-pm 8401  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-sup 8899  df-inf 8900  df-oi 8967  df-card 9361  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11695  df-3 11696  df-n0 11893  df-z 11977  df-uz 12239  df-rp 12385  df-fz 12893  df-fzo 13036  df-fl 13164  df-seq 13372  df-exp 13433  df-hash 13694  df-cj 14456  df-re 14457  df-im 14458  df-sqrt 14592  df-abs 14593  df-clim 14843  df-rlim 14844  df-sum 15041
This theorem is referenced by:  isumrpcl  15196  isumltss  15201  climcnds  15204  harmonic  15212  mertenslem1  15238  mertenslem2  15239  reefcl  15438  reeftlcl  15459  rpnnen2lem6  15570  prmreclem5  16252  prmreclem6  16253  ovoliun2  24108  abelthlem7  25031  log2tlbnd  25529  esumpcvgval  31364  esumcvg  31372  eulerpartlems  31645  knoppf  33901  geomcau  35109  stirlinglem12  42593
  Copyright terms: Public domain W3C validator