Theorem lcmgcdnn 15817

Description: The product of two positive integers' least common multiple and greatest common divisor is the product of the two integers. (Contributed by AV, 27-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
lcmgcdnn	⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 lcm 𝑁) · (𝑀 gcd 𝑁)) = (𝑀 · 𝑁))

Proof of Theorem lcmgcdnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnz 11823	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℤ)
2		nnz 11823	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
3		lcmgcd 15813	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 lcm 𝑁) · (𝑀 gcd 𝑁)) = (abs‘(𝑀 · 𝑁)))
4	1, 2, 3	syl2an 587	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 lcm 𝑁) · (𝑀 gcd 𝑁)) = (abs‘(𝑀 · 𝑁)))
5		nnmulcl 11470	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ)
6	5	nnnn0d 11773	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0)
7		nn0re 11723	. . . 4 ⊢ ((𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0 → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℝ)
8		nn0ge0 11740	. . . 4 ⊢ ((𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0 → 0 ≤ (𝑀 · 𝑁))
9	7, 8	jca 504	. . 3 ⊢ ((𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0 → ((𝑀 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑀 · 𝑁)))
10		absid 14523	. . 3 ⊢ (((𝑀 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑀 · 𝑁)) → (abs‘(𝑀 · 𝑁)) = (𝑀 · 𝑁))
11	6, 9, 10	3syl 18	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (abs‘(𝑀 · 𝑁)) = (𝑀 · 𝑁))
12	4, 11	eqtrd 2816	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 lcm 𝑁) · (𝑀 gcd 𝑁)) = (𝑀 · 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 387   = wceq 1508   ∈ wcel 2051   class class class wbr 4934  ‘cfv 6193  (class class class)co 6982  ℝcr 10340  0cc0 10341   · cmul 10346   ≤ cle 10481  ℕcn 11445  ℕ₀cn0 11713  ℤcz 11799  abscabs 14460   gcd cgcd 15709   lcm clcm 15794

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2752  ax-sep 5064  ax-nul 5071  ax-pow 5123  ax-pr 5190  ax-un 7285  ax-cnex 10397  ax-resscn 10398  ax-1cn 10399  ax-icn 10400  ax-addcl 10401  ax-addrcl 10402  ax-mulcl 10403  ax-mulrcl 10404  ax-mulcom 10405  ax-addass 10406  ax-mulass 10407  ax-distr 10408  ax-i2m1 10409  ax-1ne0 10410  ax-1rid 10411  ax-rnegex 10412  ax-rrecex 10413  ax-cnre 10414  ax-pre-lttri 10415  ax-pre-lttrn 10416  ax-pre-ltadd 10417  ax-pre-mulgt0 10418  ax-pre-sup 10419

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2551  df-eu 2589  df-clab 2761  df-cleq 2773  df-clel 2848  df-nfc 2920  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3419  df-sbc 3684  df-csb 3789  df-dif 3834  df-un 3836  df-in 3838  df-ss 3845  df-pss 3847  df-nul 4182  df-if 4354  df-pw 4427  df-sn 4445  df-pr 4447  df-tp 4449  df-op 4451  df-uni 4718  df-iun 4799  df-br 4935  df-opab 4997  df-mpt 5014  df-tr 5036  df-id 5316  df-eprel 5321  df-po 5330  df-so 5331  df-fr 5370  df-we 5372  df-xp 5417  df-rel 5418  df-cnv 5419  df-co 5420  df-dm 5421  df-rn 5422  df-res 5423  df-ima 5424  df-pred 5991  df-ord 6037  df-on 6038  df-lim 6039  df-suc 6040  df-iota 6157  df-fun 6195  df-fn 6196  df-f 6197  df-f1 6198  df-fo 6199  df-f1o 6200  df-fv 6201  df-riota 6943  df-ov 6985  df-oprab 6986  df-mpo 6987  df-om 7403  df-2nd 7508  df-wrecs 7756  df-recs 7818  df-rdg 7856  df-er 8095  df-en 8313  df-dom 8314  df-sdom 8315  df-sup 8707  df-inf 8708  df-pnf 10482  df-mnf 10483  df-xr 10484  df-ltxr 10485  df-le 10486  df-sub 10678  df-neg 10679  df-div 11105  df-nn 11446  df-2 11509  df-3 11510  df-n0 11714  df-z 11800  df-uz 12065  df-rp 12211  df-fl 12983  df-mod 13059  df-seq 13191  df-exp 13251  df-cj 14325  df-re 14326  df-im 14327  df-sqrt 14461  df-abs 14462  df-dvds 15474  df-gcd 15710  df-lcm 15796

This theorem is referenced by:  3lcm2e6woprm  15821  6lcm4e12  15822  3lcm2e6  15934  ex-lcm  28030