Theorem lclkrlem2u 39103

Description: Lemma for lclkr 39109. lclkrlem2t 39102 with 𝑋 and 𝑌 swapped. (Contributed by NM, 18-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lclkrlem2m.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
lclkrlem2m.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
lclkrlem2m.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
lclkrlem2m.q	⊢ × = (.r‘𝑆)
lclkrlem2m.z	⊢ 0 = (0g‘𝑆)
lclkrlem2m.i	⊢ 𝐼 = (invr‘𝑆)
lclkrlem2m.m	⊢ − = (-g‘𝑈)
lclkrlem2m.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lclkrlem2m.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
lclkrlem2m.p	⊢ + = (+g‘𝐷)
lclkrlem2m.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lclkrlem2m.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
lclkrlem2m.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐹)
lclkrlem2m.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
lclkrlem2n.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
lclkrlem2n.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lclkrlem2o.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lclkrlem2o.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lclkrlem2o.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lclkrlem2o.a	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑈)
lclkrlem2o.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
lclkrlem2q.le	⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐸) = ( ⊥ ‘{𝑋}))
lclkrlem2q.lg	⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑌}))
lclkrlem2u.n	⊢ (𝜑 → ((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) ≠ 0 )

Assertion

Ref	Expression
lclkrlem2u	⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))) = (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))

Proof of Theorem lclkrlem2u

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lclkrlem2m.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
2		lclkrlem2m.t	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
3		lclkrlem2m.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
4		lclkrlem2m.q	. . 3 ⊢ × = (.r‘𝑆)
5		lclkrlem2m.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑆)
6		lclkrlem2m.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (invr‘𝑆)
7		lclkrlem2m.m	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝑈)
8		lclkrlem2m.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
9		lclkrlem2m.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
10		lclkrlem2m.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐷)
11		lclkrlem2m.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
12		lclkrlem2m.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
13		lclkrlem2m.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
14		lclkrlem2m.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐹)
15		lclkrlem2n.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
16		lclkrlem2n.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
17		lclkrlem2o.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
18		lclkrlem2o.o	. . 3 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
19		lclkrlem2o.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
20		lclkrlem2o.a	. . 3 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑈)
21		lclkrlem2o.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
22		lclkrlem2q.lg	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑌}))
23		lclkrlem2q.le	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐸) = ( ⊥ ‘{𝑋}))
24	17, 19, 21	dvhlmod 38686	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
25	8, 9, 10, 24, 14, 13	ldualvaddcom 36716	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐸 + 𝐺) = (𝐺 + 𝐸))
26	25	fveq1d 6660	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) = ((𝐺 + 𝐸)‘𝑋))
27		lclkrlem2u.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) ≠ 0 )
28	26, 27	eqnetrrd 3019	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 + 𝐸)‘𝑋) ≠ 0 )
29	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 28	lclkrlem2t 39102	. 2 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘(𝐺 + 𝐸)))) = (𝐿‘(𝐺 + 𝐸)))
30	25	fveq2d 6662	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) = (𝐿‘(𝐺 + 𝐸)))
31	30	fveq2d 6662	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺))) = ( ⊥ ‘(𝐿‘(𝐺 + 𝐸))))
32	31	fveq2d 6662	. 2 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))) = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘(𝐺 + 𝐸)))))
33	29, 32, 30	3eqtr4d 2803	1 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))) = (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2951  {csn 4522  ‘cfv 6335  (class class class)co 7150  Basecbs 16541  +_gcplusg 16623  ._rcmulr 16624  Scalarcsca 16626   ·_𝑠 cvsca 16627  0_gc0g 16771  -_gcsg 18171  LSSumclsm 18826  inv_rcinvr 19492  LSpanclspn 19811  LFnlclfn 36633  LKerclk 36661  LDualcld 36699  HLchlt 36926  LHypclh 37560  DVecHcdvh 38654  ocHcoch 38923

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5156  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652  ax-riotaBAD 36529

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-int 4839  df-iun 4885  df-iin 4886  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7405  df-om 7580  df-1st 7693  df-2nd 7694  df-tpos 7902  df-undef 7949  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-1o 8112  df-er 8299  df-map 8418  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-fin 8531  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-nn 11675  df-2 11737  df-3 11738  df-4 11739  df-5 11740  df-6 11741  df-n0 11935  df-z 12021  df-uz 12283  df-fz 12940  df-struct 16543  df-ndx 16544  df-slot 16545  df-base 16547  df-sets 16548  df-ress 16549  df-plusg 16636  df-mulr 16637  df-sca 16639  df-vsca 16640  df-0g 16773  df-mre 16915  df-mrc 16916  df-acs 16918  df-proset 17604  df-poset 17622  df-plt 17634  df-lub 17650  df-glb 17651  df-join 17652  df-meet 17653  df-p0 17715  df-p1 17716  df-lat 17722  df-clat 17784  df-mgm 17918  df-sgrp 17967  df-mnd 17978  df-submnd 18023  df-grp 18172  df-minusg 18173  df-sbg 18174  df-subg 18343  df-cntz 18514  df-oppg 18541  df-lsm 18828  df-cmn 18975  df-abl 18976  df-mgp 19308  df-ur 19320  df-ring 19367  df-oppr 19444  df-dvdsr 19462  df-unit 19463  df-invr 19493  df-dvr 19504  df-drng 19572  df-lmod 19704  df-lss 19772  df-lsp 19812  df-lvec 19943  df-lsatoms 36552  df-lshyp 36553  df-lcv 36595  df-lfl 36634  df-lkr 36662  df-ldual 36700  df-oposet 36752  df-ol 36754  df-oml 36755  df-covers 36842  df-ats 36843  df-atl 36874  df-cvlat 36898  df-hlat 36927  df-llines 37074  df-lplanes 37075  df-lvols 37076  df-lines 37077  df-psubsp 37079  df-pmap 37080  df-padd 37372  df-lhyp 37564  df-laut 37565  df-ldil 37680  df-ltrn 37681  df-trl 37735  df-tgrp 38319  df-tendo 38331  df-edring 38333  df-dveca 38579  df-disoa 38605  df-dvech 38655  df-dib 38715  df-dic 38749  df-dih 38805  df-doch 38924  df-djh 38971

This theorem is referenced by:  lclkrlem2x  39106