Theorem lclkrlem2u 41226

Description: Lemma for lclkr 41232. lclkrlem2t 41225 with 𝑋 and 𝑌 swapped. (Contributed by NM, 18-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lclkrlem2m.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
lclkrlem2m.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
lclkrlem2m.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
lclkrlem2m.q	⊢ × = (.r‘𝑆)
lclkrlem2m.z	⊢ 0 = (0g‘𝑆)
lclkrlem2m.i	⊢ 𝐼 = (invr‘𝑆)
lclkrlem2m.m	⊢ − = (-g‘𝑈)
lclkrlem2m.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lclkrlem2m.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
lclkrlem2m.p	⊢ + = (+g‘𝐷)
lclkrlem2m.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lclkrlem2m.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
lclkrlem2m.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐹)
lclkrlem2m.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
lclkrlem2n.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
lclkrlem2n.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lclkrlem2o.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lclkrlem2o.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lclkrlem2o.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lclkrlem2o.a	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑈)
lclkrlem2o.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
lclkrlem2q.le	⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐸) = ( ⊥ ‘{𝑋}))
lclkrlem2q.lg	⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑌}))
lclkrlem2u.n	⊢ (𝜑 → ((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) ≠ 0 )

Assertion

Ref	Expression
lclkrlem2u	⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))) = (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))

Proof of Theorem lclkrlem2u

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lclkrlem2m.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
2		lclkrlem2m.t	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
3		lclkrlem2m.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
4		lclkrlem2m.q	. . 3 ⊢ × = (.r‘𝑆)
5		lclkrlem2m.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑆)
6		lclkrlem2m.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (invr‘𝑆)
7		lclkrlem2m.m	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝑈)
8		lclkrlem2m.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
9		lclkrlem2m.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
10		lclkrlem2m.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐷)
11		lclkrlem2m.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
12		lclkrlem2m.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
13		lclkrlem2m.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
14		lclkrlem2m.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐹)
15		lclkrlem2n.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
16		lclkrlem2n.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
17		lclkrlem2o.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
18		lclkrlem2o.o	. . 3 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
19		lclkrlem2o.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
20		lclkrlem2o.a	. . 3 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑈)
21		lclkrlem2o.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
22		lclkrlem2q.lg	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑌}))
23		lclkrlem2q.le	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐸) = ( ⊥ ‘{𝑋}))
24	17, 19, 21	dvhlmod 40809	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
25	8, 9, 10, 24, 14, 13	ldualvaddcom 38838	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐸 + 𝐺) = (𝐺 + 𝐸))
26	25	fveq1d 6903	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) = ((𝐺 + 𝐸)‘𝑋))
27		lclkrlem2u.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 + 𝐺)‘𝑋) ≠ 0 )
28	26, 27	eqnetrrd 2999	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 + 𝐸)‘𝑋) ≠ 0 )
29	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 28	lclkrlem2t 41225	. 2 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘(𝐺 + 𝐸)))) = (𝐿‘(𝐺 + 𝐸)))
30	25	fveq2d 6905	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) = (𝐿‘(𝐺 + 𝐸)))
31	30	fveq2d 6905	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺))) = ( ⊥ ‘(𝐿‘(𝐺 + 𝐸))))
32	31	fveq2d 6905	. 2 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))) = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘(𝐺 + 𝐸)))))
33	29, 32, 30	3eqtr4d 2776	1 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))) = (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2930  {csn 4633  ‘cfv 6554  (class class class)co 7424  Basecbs 17213  +_gcplusg 17266  ._rcmulr 17267  Scalarcsca 17269   ·_𝑠 cvsca 17270  0_gc0g 17454  -_gcsg 18930  LSSumclsm 19632  inv_rcinvr 20369  LSpanclspn 20948  LFnlclfn 38755  LKerclk 38783  LDualcld 38821  HLchlt 39048  LHypclh 39683  DVecHcdvh 40777  ocHcoch 41046

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235  ax-riotaBAD 38651

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-tp 4638  df-op 4640  df-uni 4914  df-int 4955  df-iun 5003  df-iin 5004  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7690  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-tpos 8241  df-undef 8288  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-2o 8497  df-er 8734  df-map 8857  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-n0 12525  df-z 12611  df-uz 12875  df-fz 13539  df-struct 17149  df-sets 17166  df-slot 17184  df-ndx 17196  df-base 17214  df-ress 17243  df-plusg 17279  df-mulr 17280  df-sca 17282  df-vsca 17283  df-0g 17456  df-mre 17599  df-mrc 17600  df-acs 17602  df-proset 18320  df-poset 18338  df-plt 18355  df-lub 18371  df-glb 18372  df-join 18373  df-meet 18374  df-p0 18450  df-p1 18451  df-lat 18457  df-clat 18524  df-mgm 18633  df-sgrp 18712  df-mnd 18728  df-submnd 18774  df-grp 18931  df-minusg 18932  df-sbg 18933  df-subg 19117  df-cntz 19311  df-oppg 19340  df-lsm 19634  df-cmn 19780  df-abl 19781  df-mgp 20118  df-rng 20136  df-ur 20165  df-ring 20218  df-oppr 20316  df-dvdsr 20339  df-unit 20340  df-invr 20370  df-dvr 20383  df-drng 20709  df-lmod 20838  df-lss 20909  df-lsp 20949  df-lvec 21081  df-lsatoms 38674  df-lshyp 38675  df-lcv 38717  df-lfl 38756  df-lkr 38784  df-ldual 38822  df-oposet 38874  df-ol 38876  df-oml 38877  df-covers 38964  df-ats 38965  df-atl 38996  df-cvlat 39020  df-hlat 39049  df-llines 39197  df-lplanes 39198  df-lvols 39199  df-lines 39200  df-psubsp 39202  df-pmap 39203  df-padd 39495  df-lhyp 39687  df-laut 39688  df-ldil 39803  df-ltrn 39804  df-trl 39858  df-tgrp 40442  df-tendo 40454  df-edring 40456  df-dveca 40702  df-disoa 40728  df-dvech 40778  df-dib 40838  df-dic 40872  df-dih 40928  df-doch 41047  df-djh 41094

This theorem is referenced by:  lclkrlem2x  41229