Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eqlkr4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eqlkr4 38539
Description: Two functionals with the same kernel are the same up to a constant. (Contributed by NM, 4-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
eqlkr4.s 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘Š)
eqlkr4.r 𝑅 = (Baseβ€˜π‘†)
eqlkr4.f 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘Š)
eqlkr4.k 𝐾 = (LKerβ€˜π‘Š)
eqlkr4.d 𝐷 = (LDualβ€˜π‘Š)
eqlkr4.t Β· = ( ·𝑠 β€˜π·)
eqlkr4.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
eqlkr4.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
eqlkr4.h (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ 𝐹)
eqlkr4.e (πœ‘ β†’ (πΎβ€˜πΊ) = (πΎβ€˜π»))
Assertion
Ref Expression
eqlkr4 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 𝐻 = (π‘Ÿ Β· 𝐺))
Distinct variable groups:   𝐹,π‘Ÿ   𝐺,π‘Ÿ   𝐻,π‘Ÿ   𝐾,π‘Ÿ   𝑅,π‘Ÿ   𝑆,π‘Ÿ   π‘Š,π‘Ÿ   πœ‘,π‘Ÿ
Allowed substitution hints:   𝐷(π‘Ÿ)   Β· (π‘Ÿ)

Proof of Theorem eqlkr4
StepHypRef Expression
1 eqlkr4.w . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
2 eqlkr4.g . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
3 eqlkr4.h . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ 𝐹)
4 eqlkr4.e . . 3 (πœ‘ β†’ (πΎβ€˜πΊ) = (πΎβ€˜π»))
5 eqlkr4.s . . . 4 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘Š)
6 eqlkr4.r . . . 4 𝑅 = (Baseβ€˜π‘†)
7 eqid 2724 . . . 4 (.rβ€˜π‘†) = (.rβ€˜π‘†)
8 eqid 2724 . . . 4 (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘Š)
9 eqlkr4.f . . . 4 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘Š)
10 eqlkr4.k . . . 4 𝐾 = (LKerβ€˜π‘Š)
115, 6, 7, 8, 9, 10eqlkr2 38474 . . 3 ((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) ∧ (πΎβ€˜πΊ) = (πΎβ€˜π»)) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 𝐻 = (𝐺 ∘f (.rβ€˜π‘†)((Baseβ€˜π‘Š) Γ— {π‘Ÿ})))
121, 2, 3, 4, 11syl121anc 1372 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 𝐻 = (𝐺 ∘f (.rβ€˜π‘†)((Baseβ€˜π‘Š) Γ— {π‘Ÿ})))
13 eqlkr4.d . . . . 5 𝐷 = (LDualβ€˜π‘Š)
14 eqlkr4.t . . . . 5 Β· = ( ·𝑠 β€˜π·)
151adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑅) β†’ π‘Š ∈ LVec)
16 simpr 484 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑅) β†’ π‘Ÿ ∈ 𝑅)
172adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑅) β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
189, 8, 5, 6, 7, 13, 14, 15, 16, 17ldualvs 38511 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑅) β†’ (π‘Ÿ Β· 𝐺) = (𝐺 ∘f (.rβ€˜π‘†)((Baseβ€˜π‘Š) Γ— {π‘Ÿ})))
1918eqeq2d 2735 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑅) β†’ (𝐻 = (π‘Ÿ Β· 𝐺) ↔ 𝐻 = (𝐺 ∘f (.rβ€˜π‘†)((Baseβ€˜π‘Š) Γ— {π‘Ÿ}))))
2019rexbidva 3168 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 𝐻 = (π‘Ÿ Β· 𝐺) ↔ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 𝐻 = (𝐺 ∘f (.rβ€˜π‘†)((Baseβ€˜π‘Š) Γ— {π‘Ÿ}))))
2112, 20mpbird 257 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑅 𝐻 = (π‘Ÿ Β· 𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆƒwrex 3062  {csn 4621   Γ— cxp 5665  β€˜cfv 6534  (class class class)co 7402   ∘f cof 7662  Basecbs 17149  .rcmulr 17203  Scalarcsca 17205   ·𝑠 cvsca 17206  LVecclvec 20946  LFnlclfn 38431  LKerclk 38459  LDualcld 38497
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-tp 4626  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-of 7664  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-tpos 8207  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8700  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-fz 13486  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-0g 17392  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-grp 18862  df-minusg 18863  df-sbg 18864  df-cmn 19698  df-abl 19699  df-mgp 20036  df-rng 20054  df-ur 20083  df-ring 20136  df-oppr 20232  df-dvdsr 20255  df-unit 20256  df-invr 20286  df-drng 20585  df-lmod 20704  df-lvec 20947  df-lfl 38432  df-lkr 38460  df-ldual 38498
This theorem is referenced by:  lkrss2N  38543  lcfrlem16  40933  mapdrvallem2  41020
  Copyright terms: Public domain W3C validator