Theorem eqlkr4 39672

Description: Two functionals with the same kernel are the same up to a constant. (Contributed by NM, 4-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqlkr4.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
eqlkr4.r	⊢ 𝑅 = (Base‘𝑆)
eqlkr4.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
eqlkr4.k	⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)
eqlkr4.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
eqlkr4.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐷)
eqlkr4.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
eqlkr4.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
eqlkr4.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝐹)
eqlkr4.e	⊢ (𝜑 → (𝐾‘𝐺) = (𝐾‘𝐻))

Assertion

Ref	Expression
eqlkr4	⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ 𝑅 𝐻 = (𝑟 · 𝐺))

Distinct variable groups:   𝐹,𝑟   𝐺,𝑟   𝐻,𝑟   𝐾,𝑟   𝑅,𝑟   𝑆,𝑟   𝑊,𝑟   𝜑,𝑟

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑟)   · (𝑟)

Proof of Theorem eqlkr4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqlkr4.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
2		eqlkr4.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
3		eqlkr4.h	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝐹)
4		eqlkr4.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘𝐺) = (𝐾‘𝐻))
5		eqlkr4.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
6		eqlkr4.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (Base‘𝑆)
7		eqid 2741	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑆) = (.r‘𝑆)
8		eqid 2741	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
9		eqlkr4.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
10		eqlkr4.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)
11	5, 6, 7, 8, 9, 10	eqlkr2 39607	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) ∧ (𝐾‘𝐺) = (𝐾‘𝐻)) → ∃𝑟 ∈ 𝑅 𝐻 = (𝐺 ∘f (.r‘𝑆)((Base‘𝑊) × {𝑟})))
12	1, 2, 3, 4, 11	syl121anc 1384	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ 𝑅 𝐻 = (𝐺 ∘f (.r‘𝑆)((Base‘𝑊) × {𝑟})))
13		eqlkr4.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
14		eqlkr4.t	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐷)
15	1	adantr 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) → 𝑊 ∈ LVec)
16		simpr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) → 𝑟 ∈ 𝑅)
17	2	adantr 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) → 𝐺 ∈ 𝐹)
18	9, 8, 5, 6, 7, 13, 14, 15, 16, 17	ldualvs 39644	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) → (𝑟 · 𝐺) = (𝐺 ∘f (.r‘𝑆)((Base‘𝑊) × {𝑟})))
19	18	eqeq2d 2752	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) → (𝐻 = (𝑟 · 𝐺) ↔ 𝐻 = (𝐺 ∘f (.r‘𝑆)((Base‘𝑊) × {𝑟}))))
20	19	rexbidva 3163	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑟 ∈ 𝑅 𝐻 = (𝑟 · 𝐺) ↔ ∃𝑟 ∈ 𝑅 𝐻 = (𝐺 ∘f (.r‘𝑆)((Base‘𝑊) × {𝑟}))))
21	12, 20	mpbird 259	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ 𝑅 𝐻 = (𝑟 · 𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  ∃wrex 3065  {csn 4558   × cxp 5619  ‘cfv 6489  (class class class)co 7360   ∘_f cof 7622  Basecbs 17174  ._rcmulr 17216  Scalarcsca 17218   ·_𝑠 cvsca 17219  LVecclvec 21096  LFnlclfn 39564  LKerclk 39592  LDualcld 39630

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5202  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4842  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-tpos 8170  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-map 8769  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784  df-fz 13457  df-struct 17112  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-ress 17196  df-plusg 17228  df-mulr 17229  df-sca 17231  df-vsca 17232  df-0g 17399  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-sbg 18909  df-cmn 19752  df-abl 19753  df-mgp 20117  df-rng 20129  df-ur 20158  df-ring 20211  df-oppr 20312  df-dvdsr 20332  df-unit 20333  df-invr 20363  df-drng 20707  df-lmod 20856  df-lvec 21097  df-lfl 39565  df-lkr 39593  df-ldual 39631

This theorem is referenced by:  lkrss2N  39676  lcfrlem16  42065  mapdrvallem2  42152