Theorem eqlkr4 36303

Description: Two functionals with the same kernel are the same up to a constant. (Contributed by NM, 4-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqlkr4.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
eqlkr4.r	⊢ 𝑅 = (Base‘𝑆)
eqlkr4.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
eqlkr4.k	⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)
eqlkr4.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
eqlkr4.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐷)
eqlkr4.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
eqlkr4.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
eqlkr4.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝐹)
eqlkr4.e	⊢ (𝜑 → (𝐾‘𝐺) = (𝐾‘𝐻))

Assertion

Ref	Expression
eqlkr4	⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ 𝑅 𝐻 = (𝑟 · 𝐺))

Distinct variable groups:   𝐹,𝑟   𝐺,𝑟   𝐻,𝑟   𝐾,𝑟   𝑅,𝑟   𝑆,𝑟   𝑊,𝑟   𝜑,𝑟

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑟)   · (𝑟)

Proof of Theorem eqlkr4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqlkr4.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
2		eqlkr4.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
3		eqlkr4.h	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝐹)
4		eqlkr4.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘𝐺) = (𝐾‘𝐻))
5		eqlkr4.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
6		eqlkr4.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (Base‘𝑆)
7		eqid 2823	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑆) = (.r‘𝑆)
8		eqid 2823	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
9		eqlkr4.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
10		eqlkr4.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)
11	5, 6, 7, 8, 9, 10	eqlkr2 36238	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) ∧ (𝐾‘𝐺) = (𝐾‘𝐻)) → ∃𝑟 ∈ 𝑅 𝐻 = (𝐺 ∘f (.r‘𝑆)((Base‘𝑊) × {𝑟})))
12	1, 2, 3, 4, 11	syl121anc 1371	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ 𝑅 𝐻 = (𝐺 ∘f (.r‘𝑆)((Base‘𝑊) × {𝑟})))
13		eqlkr4.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
14		eqlkr4.t	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐷)
15	1	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) → 𝑊 ∈ LVec)
16		simpr 487	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) → 𝑟 ∈ 𝑅)
17	2	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) → 𝐺 ∈ 𝐹)
18	9, 8, 5, 6, 7, 13, 14, 15, 16, 17	ldualvs 36275	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) → (𝑟 · 𝐺) = (𝐺 ∘f (.r‘𝑆)((Base‘𝑊) × {𝑟})))
19	18	eqeq2d 2834	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) → (𝐻 = (𝑟 · 𝐺) ↔ 𝐻 = (𝐺 ∘f (.r‘𝑆)((Base‘𝑊) × {𝑟}))))
20	19	rexbidva 3298	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑟 ∈ 𝑅 𝐻 = (𝑟 · 𝐺) ↔ ∃𝑟 ∈ 𝑅 𝐻 = (𝐺 ∘f (.r‘𝑆)((Base‘𝑊) × {𝑟}))))
21	12, 20	mpbird 259	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ 𝑅 𝐻 = (𝑟 · 𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3141  {csn 4569   × cxp 5555  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158   ∘_f cof 7409  Basecbs 16485  ._rcmulr 16568  Scalarcsca 16570   ·_𝑠 cvsca 16571  LVecclvec 19876  LFnlclfn 36195  LKerclk 36223  LDualcld 36261

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-of 7411  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-tpos 7894  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-oadd 8108  df-er 8291  df-map 8410  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-fz 12896  df-struct 16487  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-base 16491  df-sets 16492  df-ress 16493  df-plusg 16580  df-mulr 16581  df-sca 16583  df-vsca 16584  df-0g 16717  df-mgm 17854  df-sgrp 17903  df-mnd 17914  df-grp 18108  df-minusg 18109  df-sbg 18110  df-cmn 18910  df-abl 18911  df-mgp 19242  df-ur 19254  df-ring 19301  df-oppr 19375  df-dvdsr 19393  df-unit 19394  df-invr 19424  df-drng 19506  df-lmod 19638  df-lvec 19877  df-lfl 36196  df-lkr 36224  df-ldual 36262

This theorem is referenced by:  lkrss2N  36307  lcfrlem16  38696  mapdrvallem2  38783