Theorem eqlkr4 38637

Description: Two functionals with the same kernel are the same up to a constant. (Contributed by NM, 4-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqlkr4.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
eqlkr4.r	⊢ 𝑅 = (Base‘𝑆)
eqlkr4.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
eqlkr4.k	⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)
eqlkr4.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
eqlkr4.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐷)
eqlkr4.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
eqlkr4.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
eqlkr4.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝐹)
eqlkr4.e	⊢ (𝜑 → (𝐾‘𝐺) = (𝐾‘𝐻))

Assertion

Ref	Expression
eqlkr4	⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ 𝑅 𝐻 = (𝑟 · 𝐺))

Distinct variable groups:   𝐹,𝑟   𝐺,𝑟   𝐻,𝑟   𝐾,𝑟   𝑅,𝑟   𝑆,𝑟   𝑊,𝑟   𝜑,𝑟

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑟)   · (𝑟)

Proof of Theorem eqlkr4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqlkr4.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
2		eqlkr4.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
3		eqlkr4.h	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝐹)
4		eqlkr4.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘𝐺) = (𝐾‘𝐻))
5		eqlkr4.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
6		eqlkr4.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (Base‘𝑆)
7		eqid 2728	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑆) = (.r‘𝑆)
8		eqid 2728	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
9		eqlkr4.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
10		eqlkr4.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)
11	5, 6, 7, 8, 9, 10	eqlkr2 38572	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) ∧ (𝐾‘𝐺) = (𝐾‘𝐻)) → ∃𝑟 ∈ 𝑅 𝐻 = (𝐺 ∘f (.r‘𝑆)((Base‘𝑊) × {𝑟})))
12	1, 2, 3, 4, 11	syl121anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ 𝑅 𝐻 = (𝐺 ∘f (.r‘𝑆)((Base‘𝑊) × {𝑟})))
13		eqlkr4.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
14		eqlkr4.t	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐷)
15	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) → 𝑊 ∈ LVec)
16		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) → 𝑟 ∈ 𝑅)
17	2	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) → 𝐺 ∈ 𝐹)
18	9, 8, 5, 6, 7, 13, 14, 15, 16, 17	ldualvs 38609	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) → (𝑟 · 𝐺) = (𝐺 ∘f (.r‘𝑆)((Base‘𝑊) × {𝑟})))
19	18	eqeq2d 2739	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) → (𝐻 = (𝑟 · 𝐺) ↔ 𝐻 = (𝐺 ∘f (.r‘𝑆)((Base‘𝑊) × {𝑟}))))
20	19	rexbidva 3173	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑟 ∈ 𝑅 𝐻 = (𝑟 · 𝐺) ↔ ∃𝑟 ∈ 𝑅 𝐻 = (𝐺 ∘f (.r‘𝑆)((Base‘𝑊) × {𝑟}))))
21	12, 20	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ 𝑅 𝐻 = (𝑟 · 𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ∃wrex 3067  {csn 4629   × cxp 5676  ‘cfv 6548  (class class class)co 7420   ∘_f cof 7683  Basecbs 17180  ._rcmulr 17234  Scalarcsca 17236   ·_𝑠 cvsca 17237  LVecclvec 20987  LFnlclfn 38529  LKerclk 38557  LDualcld 38595

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7685  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-tpos 8232  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-fz 13518  df-struct 17116  df-sets 17133  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-ress 17210  df-plusg 17246  df-mulr 17247  df-sca 17249  df-vsca 17250  df-0g 17423  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-grp 18893  df-minusg 18894  df-sbg 18895  df-cmn 19737  df-abl 19738  df-mgp 20075  df-rng 20093  df-ur 20122  df-ring 20175  df-oppr 20273  df-dvdsr 20296  df-unit 20297  df-invr 20327  df-drng 20626  df-lmod 20745  df-lvec 20988  df-lfl 38530  df-lkr 38558  df-ldual 38596

This theorem is referenced by:  lkrss2N  38641  lcfrlem16  41031  mapdrvallem2  41118