Theorem eqlkr4 39611

Description: Two functionals with the same kernel are the same up to a constant. (Contributed by NM, 4-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqlkr4.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
eqlkr4.r	⊢ 𝑅 = (Base‘𝑆)
eqlkr4.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
eqlkr4.k	⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)
eqlkr4.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
eqlkr4.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐷)
eqlkr4.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
eqlkr4.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
eqlkr4.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝐹)
eqlkr4.e	⊢ (𝜑 → (𝐾‘𝐺) = (𝐾‘𝐻))

Assertion

Ref	Expression
eqlkr4	⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ 𝑅 𝐻 = (𝑟 · 𝐺))

Distinct variable groups:   𝐹,𝑟   𝐺,𝑟   𝐻,𝑟   𝐾,𝑟   𝑅,𝑟   𝑆,𝑟   𝑊,𝑟   𝜑,𝑟

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑟)   · (𝑟)

Proof of Theorem eqlkr4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqlkr4.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
2		eqlkr4.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
3		eqlkr4.h	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝐹)
4		eqlkr4.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘𝐺) = (𝐾‘𝐻))
5		eqlkr4.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
6		eqlkr4.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (Base‘𝑆)
7		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑆) = (.r‘𝑆)
8		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
9		eqlkr4.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
10		eqlkr4.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)
11	5, 6, 7, 8, 9, 10	eqlkr2 39546	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) ∧ (𝐾‘𝐺) = (𝐾‘𝐻)) → ∃𝑟 ∈ 𝑅 𝐻 = (𝐺 ∘f (.r‘𝑆)((Base‘𝑊) × {𝑟})))
12	1, 2, 3, 4, 11	syl121anc 1378	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ 𝑅 𝐻 = (𝐺 ∘f (.r‘𝑆)((Base‘𝑊) × {𝑟})))
13		eqlkr4.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
14		eqlkr4.t	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐷)
15	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) → 𝑊 ∈ LVec)
16		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) → 𝑟 ∈ 𝑅)
17	2	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) → 𝐺 ∈ 𝐹)
18	9, 8, 5, 6, 7, 13, 14, 15, 16, 17	ldualvs 39583	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) → (𝑟 · 𝐺) = (𝐺 ∘f (.r‘𝑆)((Base‘𝑊) × {𝑟})))
19	18	eqeq2d 2747	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) → (𝐻 = (𝑟 · 𝐺) ↔ 𝐻 = (𝐺 ∘f (.r‘𝑆)((Base‘𝑊) × {𝑟}))))
20	19	rexbidva 3159	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑟 ∈ 𝑅 𝐻 = (𝑟 · 𝐺) ↔ ∃𝑟 ∈ 𝑅 𝐻 = (𝐺 ∘f (.r‘𝑆)((Base‘𝑊) × {𝑟}))))
21	12, 20	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ 𝑅 𝐻 = (𝑟 · 𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3061  {csn 4567   × cxp 5629  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367   ∘_f cof 7629  Basecbs 17179  ._rcmulr 17221  Scalarcsca 17223   ·_𝑠 cvsca 17224  LVecclvec 21097  LFnlclfn 39503  LKerclk 39531  LDualcld 39569

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-of 7631  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-tpos 8176  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-map 8775  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-fz 13462  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-0g 17404  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-grp 18912  df-minusg 18913  df-sbg 18914  df-cmn 19757  df-abl 19758  df-mgp 20122  df-rng 20134  df-ur 20163  df-ring 20216  df-oppr 20317  df-dvdsr 20337  df-unit 20338  df-invr 20368  df-drng 20708  df-lmod 20857  df-lvec 21098  df-lfl 39504  df-lkr 39532  df-ldual 39570

This theorem is referenced by:  lkrss2N  39615  lcfrlem16  42004  mapdrvallem2  42091