Theorem ldualkrsc 39150

Description: The kernel of a nonzero scalar product of a functional equals the kernel of the functional. (Contributed by NM, 28-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ldualkrsc.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
ldualkrsc.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
ldualkrsc.o	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
ldualkrsc.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
ldualkrsc.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑊)
ldualkrsc.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
ldualkrsc.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐷)
ldualkrsc.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
ldualkrsc.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
ldualkrsc.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐾)
ldualkrsc.e	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0 )

Assertion

Ref	Expression
ldualkrsc	⊢ (𝜑 → (𝐿‘(𝑋 · 𝐺)) = (𝐿‘𝐺))

Proof of Theorem ldualkrsc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ldualkrsc.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
2		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
3		ldualkrsc.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
4		ldualkrsc.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
5		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
6		ldualkrsc.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
7		ldualkrsc.s	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐷)
8		ldualkrsc.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
9		ldualkrsc.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐾)
10		ldualkrsc.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	ldualvs 39120	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝐺) = (𝐺 ∘f (.r‘𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑋})))
12	11	fveq2d 6826	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘(𝑋 · 𝐺)) = (𝐿‘(𝐺 ∘f (.r‘𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑋}))))
13		ldualkrsc.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑊)
14		ldualkrsc.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
15		ldualkrsc.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0 )
16	2, 3, 4, 5, 1, 13, 8, 10, 9, 14, 15	lkrsc 39080	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘(𝐺 ∘f (.r‘𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑋}))) = (𝐿‘𝐺))
17	12, 16	eqtrd 2764	1 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘(𝑋 · 𝐺)) = (𝐿‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  {csn 4577   × cxp 5617  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349   ∘_f cof 7611  Basecbs 17120  ._rcmulr 17162  Scalarcsca 17164   ·_𝑠 cvsca 17165  0_gc0g 17343  LVecclvec 21006  LFnlclfn 39040  LKerclk 39068  LDualcld 39106

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-of 7613  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-tpos 8159  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-er 8625  df-map 8755  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-6 12195  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-fz 13411  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-0g 17345  df-mgm 18514  df-sgrp 18593  df-mnd 18609  df-grp 18815  df-minusg 18816  df-cmn 19661  df-abl 19662  df-mgp 20026  df-rng 20038  df-ur 20067  df-ring 20120  df-oppr 20222  df-dvdsr 20242  df-unit 20243  df-invr 20273  df-nzr 20398  df-rlreg 20579  df-domn 20580  df-drng 20616  df-lmod 20765  df-lvec 21007  df-lfl 39041  df-lkr 39069  df-ldual 39107

This theorem is referenced by:  lclkrlem1  41489  lcfrlem31  41556