Theorem lkrss 39673

Description: The kernel of a scalar product of a functional includes the kernel of the functional. (Contributed by NM, 27-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lkrss.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
lkrss.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
lkrss.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lkrss.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑊)
lkrss.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
lkrss.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐷)
lkrss.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lkrss.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
lkrss.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lkrss	⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘(𝑋 · 𝐺)))

Proof of Theorem lkrss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2741	. . 3 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2		lkrss.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
3		lkrss.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
4		eqid 2741	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
5		lkrss.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
6		lkrss.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑊)
7		lkrss.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
8		lkrss.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
9		lkrss.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐾)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	lkrscss 39603	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘(𝐺 ∘f (.r‘𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑋}))))
11		lkrss.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
12		lkrss.s	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐷)
13	5, 1, 2, 3, 4, 11, 12, 7, 9, 8	ldualvs 39642	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝐺) = (𝐺 ∘f (.r‘𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑋})))
14	13	fveq2d 6834	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘(𝑋 · 𝐺)) = (𝐿‘(𝐺 ∘f (.r‘𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑋}))))
15	10, 14	sseqtrrd 3953	1 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘(𝑋 · 𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1548   ∈ wcel 2121   ⊆ wss 3884  {csn 4557   × cxp 5618  ‘cfv 6488  (class class class)co 7359   ∘_f cof 7621  Basecbs 17174  ._rcmulr 17216  Scalarcsca 17218   ·_𝑠 cvsca 17219  LVecclvec 21095  LFnlclfn 39562  LKerclk 39590  LDualcld 39628

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7681  ax-cnex 11090  ax-resscn 11091  ax-1cn 11092  ax-icn 11093  ax-addcl 11094  ax-addrcl 11095  ax-mulcl 11096  ax-mulrcl 11097  ax-mulcom 11098  ax-addass 11099  ax-mulass 11100  ax-distr 11101  ax-i2m1 11102  ax-1ne0 11103  ax-1rid 11104  ax-rnegex 11105  ax-rrecex 11106  ax-cnre 11107  ax-pre-lttri 11108  ax-pre-lttrn 11109  ax-pre-ltadd 11110  ax-pre-mulgt0 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3725  df-csb 3833  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3904  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4841  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7316  df-ov 7362  df-oprab 7363  df-mpo 7364  df-of 7623  df-om 7810  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-tpos 8168  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-map 8769  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-pnf 11177  df-mnf 11178  df-xr 11179  df-ltxr 11180  df-le 11181  df-sub 11375  df-neg 11376  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784  df-fz 13457  df-struct 17112  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-ress 17196  df-plusg 17228  df-mulr 17229  df-sca 17231  df-vsca 17232  df-0g 17399  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-sbg 18909  df-cmn 19751  df-abl 19752  df-mgp 20116  df-rng 20128  df-ur 20157  df-ring 20210  df-oppr 20311  df-dvdsr 20331  df-unit 20332  df-invr 20362  df-nzr 20488  df-rlreg 20669  df-domn 20670  df-drng 20706  df-lmod 20855  df-lss 20925  df-lvec 21096  df-lfl 39563  df-lkr 39591  df-ldual 39629

This theorem is referenced by:  lkrss2N  39674  lkreqN  39675  lclkrslem1  42042  lcfrlem2  42048