Theorem lkrss 39602

Description: The kernel of a scalar product of a functional includes the kernel of the functional. (Contributed by NM, 27-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lkrss.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
lkrss.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
lkrss.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lkrss.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑊)
lkrss.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
lkrss.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐷)
lkrss.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lkrss.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
lkrss.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lkrss	⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘(𝑋 · 𝐺)))

Proof of Theorem lkrss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2735	. . 3 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2		lkrss.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
3		lkrss.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
4		eqid 2735	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
5		lkrss.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
6		lkrss.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑊)
7		lkrss.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
8		lkrss.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
9		lkrss.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐾)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	lkrscss 39532	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘(𝐺 ∘f (.r‘𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑋}))))
11		lkrss.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
12		lkrss.s	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐷)
13	5, 1, 2, 3, 4, 11, 12, 7, 9, 8	ldualvs 39571	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝐺) = (𝐺 ∘f (.r‘𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑋})))
14	13	fveq2d 6833	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘(𝑋 · 𝐺)) = (𝐿‘(𝐺 ∘f (.r‘𝑅)((Base‘𝑊) × {𝑋}))))
15	10, 14	sseqtrrd 3954	1 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐺) ⊆ (𝐿‘(𝑋 · 𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3885  {csn 4557   × cxp 5618  ‘cfv 6487  (class class class)co 7356   ∘_f cof 7618  Basecbs 17168  ._rcmulr 17210  Scalarcsca 17212   ·_𝑠 cvsca 17213  LVecclvec 21086  LFnlclfn 39491  LKerclk 39519  LDualcld 39557

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2184  ax-ext 2707  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7678  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3060  df-rmo 3340  df-reu 3341  df-rab 3388  df-v 3429  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4841  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-tpos 8165  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-er 8632  df-map 8764  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-fin 8886  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12164  df-2 12233  df-3 12234  df-4 12235  df-5 12236  df-6 12237  df-n0 12427  df-z 12514  df-uz 12778  df-fz 13451  df-struct 17106  df-sets 17123  df-slot 17141  df-ndx 17153  df-base 17169  df-ress 17190  df-plusg 17222  df-mulr 17223  df-sca 17225  df-vsca 17226  df-0g 17393  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-grp 18901  df-minusg 18902  df-sbg 18903  df-cmn 19746  df-abl 19747  df-mgp 20111  df-rng 20123  df-ur 20152  df-ring 20205  df-oppr 20306  df-dvdsr 20326  df-unit 20327  df-invr 20357  df-nzr 20479  df-rlreg 20660  df-domn 20661  df-drng 20697  df-lmod 20846  df-lss 20916  df-lvec 21087  df-lfl 39492  df-lkr 39520  df-ldual 39558

This theorem is referenced by:  lkrss2N  39603  lkreqN  39604  lclkrslem1  41971  lcfrlem2  41977