Theorem leacgra1 33093

Description: Source-side ≤_∠ transport: replacing the smaller angle by a congruent angle preserves the angle order. The counterpart of leacgra2 33092, proved directly from the witness form of ≤_∠ (isleag 29396, isleagd 29397). (Contributed by JAG, 12-Aug-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
leacgra1.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
leacgra1.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
leacgra1.k	⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
leacgra1.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
leacgra1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
leacgra1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
leacgra1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
leacgra1.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
leacgra1.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
leacgra1.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
leacgra1.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑃)
leacgra1.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑃)
leacgra1.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝑃)
leacgra1.1	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(≤∠‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
leacgra1.2	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐻𝑈𝐽”⟩)

Assertion

Ref	Expression
leacgra1	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐻𝑈𝐽”⟩(≤∠‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)

Proof of Theorem leacgra1

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leacgra1.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		leacgra1.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
3	2	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) → 𝐺 ∈ TarskiG)
4	3	adantr 486	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑤(inA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑤”⟩)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
5		leacgra1.h	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑃)
6	5	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) → 𝐻 ∈ 𝑃)
7	6	adantr 486	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑤(inA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑤”⟩)) → 𝐻 ∈ 𝑃)
8		leacgra1.u	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑃)
9	8	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) → 𝑈 ∈ 𝑃)
10	9	adantr 486	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑤(inA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑤”⟩)) → 𝑈 ∈ 𝑃)
11		leacgra1.j	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝑃)
12	11	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) → 𝐽 ∈ 𝑃)
13	12	adantr 486	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑤(inA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑤”⟩)) → 𝐽 ∈ 𝑃)
14		leacgra1.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
15	14	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) → 𝐷 ∈ 𝑃)
16	15	adantr 486	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑤(inA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑤”⟩)) → 𝐷 ∈ 𝑃)
17		leacgra1.e	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
18	17	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) → 𝐸 ∈ 𝑃)
19	18	adantr 486	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑤(inA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑤”⟩)) → 𝐸 ∈ 𝑃)
20		leacgra1.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
21	20	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) → 𝐹 ∈ 𝑃)
22	21	adantr 486	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑤(inA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑤”⟩)) → 𝐹 ∈ 𝑃)
23		eqid 2763	. . 3 ⊢ (≤∠‘𝐺) = (≤∠‘𝐺)
24		simpl 488	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑤(inA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑤”⟩)) → (𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑃))
25	24	simprd 501	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑤(inA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑤”⟩)) → 𝑤 ∈ 𝑃)
26		simpr 490	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑤(inA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑤”⟩)) → (𝑤(inA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑤”⟩))
27	26	simpld 500	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑤(inA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑤”⟩)) → 𝑤(inA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
28		leacgra1.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
29		leacgra1.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
30		leacgra1.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
31	30	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) → 𝐴 ∈ 𝑃)
32	31	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑤(inA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑤”⟩)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
33		leacgra1.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
34	33	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) → 𝐵 ∈ 𝑃)
35	34	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑤(inA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑤”⟩)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
36		leacgra1.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
37	36	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) → 𝐶 ∈ 𝑃)
38	37	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑤(inA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑤”⟩)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
39		leacgra1.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐻𝑈𝐽”⟩)
40	39	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐻𝑈𝐽”⟩)
41	40	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑤(inA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑤”⟩)) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐻𝑈𝐽”⟩)
42	1, 28, 4, 29, 32, 35, 38, 7, 10, 13, 41	cgracom 29359	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑤(inA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑤”⟩)) → ⟨“𝐻𝑈𝐽”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩)
43	26	simprd 501	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑤(inA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑤”⟩)) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑤”⟩)
44	1, 28, 4, 29, 7, 10, 13, 32, 35, 38, 42, 16, 19, 25, 43	cgratr 29360	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑤(inA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑤”⟩)) → ⟨“𝐻𝑈𝐽”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑤”⟩)
45	1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 23, 25, 27, 44	isleagd 29397	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑤(inA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑤”⟩)) → ⟨“𝐻𝑈𝐽”⟩(≤∠‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
46		leacgra1.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(≤∠‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
47	1, 2, 30, 33, 36, 14, 17, 20	isleag 29396	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(≤∠‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ↔ ∃𝑤 ∈ 𝑃 (𝑤(inA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑤”⟩)))
48	46, 47	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑤 ∈ 𝑃 (𝑤(inA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑤”⟩))
49	45, 48	r19.29a 3174	1 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐻𝑈𝐽”⟩(≤∠‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∃wrex 3090   class class class wbr 5106  ‘cfv 6558  ⟨“cs3 15021  Basecbs 17416  TarskiGcstrkg 28919  Itvcitv 28925  hlGchlg 29093  cgrAccgra 29344  inAcinag 29384  ≤_∠cleag 29385

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-oadd 8508  df-er 8745  df-map 8877  df-pm 8878  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-dju 10009  df-card 10047  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-n0 12634  df-xnn0 12707  df-z 12721  df-uz 12993  df-fz 13667  df-fzo 13816  df-hash 14502  df-word 14686  df-concat 14743  df-s1 14770  df-s2 15027  df-s3 15028  df-trkgc 28940  df-trkgb 28941  df-trkgcb 28942  df-trkg 28945  df-cgrg 29004  df-leg 29076  df-hlg 29094  df-cgra 29345  df-leag 29395

This theorem is used by:  leacgra  33094  tgextale  33101  tgextalt1  33106