Theorem tgextalt1 33076

Description: tgexta 33078's FIRST conjunct, strict -- the remote interior angle at 𝐴 is strictly less than the exterior angle at 𝐶. tgextale 33071 and tgextancgra 33074 deliver both halves already, but stated about ⟨“𝐶𝐴𝐵”⟩; tgexta 33078 wants ⟨“𝐵𝐴𝐶”⟩, the same angle read backwards. So this is cgraswap 29327 plus two transports: leacgra1 33063 for the ≤_∠ half, and cgratr 29330 under mtand 828 for the negation -- if ⟨“𝐵𝐴𝐶”⟩ were congruent to the exterior angle then so would ⟨“𝐶𝐴𝐵”⟩ be, which tgextancgra 33074 forbids. (Contributed by JAG, 12-Aug-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
tgextalt1.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
tgextalt1.m	⊢ − = (dist‘𝐺)
tgextalt1.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tgextalt1.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
tgextalt1.k	⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
tgextalt1.s	⊢ ≤ = (≤∠‘𝐺)
tgextalt1.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
tgextalt1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
tgextalt1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
tgextalt1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
tgextalt1.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
tgextalt1.ext	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐷))
tgextalt1.ncol	⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶))
tgextalt1.ne	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
tgextalt1	⊢ (𝜑 → (⟨“𝐵𝐴𝐶”⟩ ≤ ⟨“𝐴𝐶𝐷”⟩ ∧ ¬ ⟨“𝐵𝐴𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐴𝐶𝐷”⟩))

Proof of Theorem tgextalt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgextalt1.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		tgextalt1.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
3		tgextalt1.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
4		tgextalt1.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5		tgextalt1.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
6		tgextalt1.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
7		tgextalt1.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
8		tgextalt1.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
9		tgextalt1.m	. . . . 5 ⊢ − = (dist‘𝐺)
10		tgextalt1.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
11		tgextalt1.ext	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐷))
12		tgextalt1.ncol	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶))
13		tgextalt1.ne	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐷)
14	1, 9, 2, 10, 3, 4, 6, 7, 5, 8, 11, 12, 13	tgextale 33071	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐶𝐴𝐵”⟩(≤∠‘𝐺)⟨“𝐴𝐶𝐷”⟩)
15	1, 2, 10, 4, 6, 7, 5, 12	ncolne2 29094	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐶)
16	15	necomd 3010	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐴)
17	1, 2, 10, 4, 6, 7, 5, 12	ncolne1 29093	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
18	1, 2, 4, 3, 5, 6, 7, 16, 17	cgraswap 29327	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐶𝐴𝐵”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐵𝐴𝐶”⟩)
19	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 6, 5, 8, 7, 6, 5, 14, 18	leacgra1 33063	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐵𝐴𝐶”⟩(≤∠‘𝐺)⟨“𝐴𝐶𝐷”⟩)
20		tgextalt1.s	. . . 4 ⊢ ≤ = (≤∠‘𝐺)
21	20	breqi 5108	. . 3 ⊢ (⟨“𝐵𝐴𝐶”⟩ ≤ ⟨“𝐴𝐶𝐷”⟩ ↔ ⟨“𝐵𝐴𝐶”⟩(≤∠‘𝐺)⟨“𝐴𝐶𝐷”⟩)
22	19, 21	sylibr 237	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐵𝐴𝐶”⟩ ≤ ⟨“𝐴𝐶𝐷”⟩)
23	1, 9, 2, 10, 3, 4, 6, 7, 5, 8, 11, 12, 13	tgextancgra 33074	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ ⟨“𝐶𝐴𝐵”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐴𝐶𝐷”⟩)
24	4	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨“𝐵𝐴𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐴𝐶𝐷”⟩) → 𝐺 ∈ TarskiG)
25	5	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨“𝐵𝐴𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐴𝐶𝐷”⟩) → 𝐶 ∈ 𝑃)
26	6	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨“𝐵𝐴𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐴𝐶𝐷”⟩) → 𝐴 ∈ 𝑃)
27	7	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨“𝐵𝐴𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐴𝐶𝐷”⟩) → 𝐵 ∈ 𝑃)
28	18	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨“𝐵𝐴𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐴𝐶𝐷”⟩) → ⟨“𝐶𝐴𝐵”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐵𝐴𝐶”⟩)
29	8	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨“𝐵𝐴𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐴𝐶𝐷”⟩) → 𝐷 ∈ 𝑃)
30		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨“𝐵𝐴𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐴𝐶𝐷”⟩) → ⟨“𝐵𝐴𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐴𝐶𝐷”⟩)
31	1, 2, 24, 3, 25, 26, 27, 27, 26, 25, 28, 26, 25, 29, 30	cgratr 29330	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨“𝐵𝐴𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐴𝐶𝐷”⟩) → ⟨“𝐶𝐴𝐵”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐴𝐶𝐷”⟩)
32	23, 31	mtand 828	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ ⟨“𝐵𝐴𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐴𝐶𝐷”⟩)
33	22, 32	jca 521	1 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐵𝐴𝐶”⟩ ≤ ⟨“𝐴𝐶𝐷”⟩ ∧ ¬ ⟨“𝐵𝐴𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐴𝐶𝐷”⟩))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955   class class class wbr 5102  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ⟨“cs3 14993  Basecbs 17387  distcds 17437  TarskiGcstrkg 28889  Itvcitv 28895  LineGclng 28896  hlGchlg 29063  cgrAccgra 29314  ≤_∠cleag 29355

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-oadd 8480  df-er 8717  df-map 8849  df-pm 8850  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-dju 9982  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-n0 12607  df-xnn0 12680  df-z 12694  df-uz 12966  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-hash 14475  df-word 14659  df-concat 14716  df-s1 14743  df-s2 14999  df-s3 15000  df-trkgc 28910  df-trkgb 28911  df-trkgcb 28912  df-trkgld 28914  df-trkg 28915  df-cgrg 28974  df-leg 29046  df-hlg 29064  df-mir 29125  df-rag 29169  df-perpg 29171  df-hpg 29236  df-mid 29279  df-lmi 29280  df-cgra 29315  df-inag 29356  df-leag 29365

This theorem is used by:  tgexta  33078