Theorem tgextalt1 33106

Description: tgexta 33108's FIRST conjunct, strict -- the remote interior angle at 𝐴 is strictly less than the exterior angle at 𝐶. tgextale 33101 and tgextancgra 33104 deliver both halves already, but stated about ⟨“𝐶𝐴𝐵”⟩; tgexta 33108 wants ⟨“𝐵𝐴𝐶”⟩, the same angle read backwards. So this is cgraswap 29357 plus two transports: leacgra1 33093 for the ≤_∠ half, and cgratr 29360 under mtand 828 for the negation -- if ⟨“𝐵𝐴𝐶”⟩ were congruent to the exterior angle then so would ⟨“𝐶𝐴𝐵”⟩ be, which tgextancgra 33104 forbids. (Contributed by JAG, 12-Aug-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
tgextalt1.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
tgextalt1.m	⊢ − = (dist‘𝐺)
tgextalt1.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tgextalt1.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
tgextalt1.k	⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
tgextalt1.s	⊢ ≤ = (≤∠‘𝐺)
tgextalt1.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
tgextalt1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
tgextalt1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
tgextalt1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
tgextalt1.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
tgextalt1.ext	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐷))
tgextalt1.ncol	⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶))
tgextalt1.ne	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
tgextalt1	⊢ (𝜑 → (⟨“𝐵𝐴𝐶”⟩ ≤ ⟨“𝐴𝐶𝐷”⟩ ∧ ¬ ⟨“𝐵𝐴𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐴𝐶𝐷”⟩))

Proof of Theorem tgextalt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgextalt1.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		tgextalt1.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
3		tgextalt1.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
4		tgextalt1.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5		tgextalt1.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
6		tgextalt1.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
7		tgextalt1.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
8		tgextalt1.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
9		tgextalt1.m	. . . . 5 ⊢ − = (dist‘𝐺)
10		tgextalt1.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
11		tgextalt1.ext	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐵𝐼𝐷))
12		tgextalt1.ncol	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶))
13		tgextalt1.ne	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐷)
14	1, 9, 2, 10, 3, 4, 6, 7, 5, 8, 11, 12, 13	tgextale 33101	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐶𝐴𝐵”⟩(≤∠‘𝐺)⟨“𝐴𝐶𝐷”⟩)
15	1, 2, 10, 4, 6, 7, 5, 12	ncolne2 29124	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐶)
16	15	necomd 3014	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 𝐴)
17	1, 2, 10, 4, 6, 7, 5, 12	ncolne1 29123	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
18	1, 2, 4, 3, 5, 6, 7, 16, 17	cgraswap 29357	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐶𝐴𝐵”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐵𝐴𝐶”⟩)
19	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 6, 5, 8, 7, 6, 5, 14, 18	leacgra1 33093	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐵𝐴𝐶”⟩(≤∠‘𝐺)⟨“𝐴𝐶𝐷”⟩)
20		tgextalt1.s	. . . 4 ⊢ ≤ = (≤∠‘𝐺)
21	20	breqi 5112	. . 3 ⊢ (⟨“𝐵𝐴𝐶”⟩ ≤ ⟨“𝐴𝐶𝐷”⟩ ↔ ⟨“𝐵𝐴𝐶”⟩(≤∠‘𝐺)⟨“𝐴𝐶𝐷”⟩)
22	19, 21	sylibr 237	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐵𝐴𝐶”⟩ ≤ ⟨“𝐴𝐶𝐷”⟩)
23	1, 9, 2, 10, 3, 4, 6, 7, 5, 8, 11, 12, 13	tgextancgra 33104	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ ⟨“𝐶𝐴𝐵”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐴𝐶𝐷”⟩)
24	4	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨“𝐵𝐴𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐴𝐶𝐷”⟩) → 𝐺 ∈ TarskiG)
25	5	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨“𝐵𝐴𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐴𝐶𝐷”⟩) → 𝐶 ∈ 𝑃)
26	6	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨“𝐵𝐴𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐴𝐶𝐷”⟩) → 𝐴 ∈ 𝑃)
27	7	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨“𝐵𝐴𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐴𝐶𝐷”⟩) → 𝐵 ∈ 𝑃)
28	18	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨“𝐵𝐴𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐴𝐶𝐷”⟩) → ⟨“𝐶𝐴𝐵”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐵𝐴𝐶”⟩)
29	8	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨“𝐵𝐴𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐴𝐶𝐷”⟩) → 𝐷 ∈ 𝑃)
30		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨“𝐵𝐴𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐴𝐶𝐷”⟩) → ⟨“𝐵𝐴𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐴𝐶𝐷”⟩)
31	1, 2, 24, 3, 25, 26, 27, 27, 26, 25, 28, 26, 25, 29, 30	cgratr 29360	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨“𝐵𝐴𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐴𝐶𝐷”⟩) → ⟨“𝐶𝐴𝐵”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐴𝐶𝐷”⟩)
32	23, 31	mtand 828	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ ⟨“𝐵𝐴𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐴𝐶𝐷”⟩)
33	22, 32	jca 521	1 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐵𝐴𝐶”⟩ ≤ ⟨“𝐴𝐶𝐷”⟩ ∧ ¬ ⟨“𝐵𝐴𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐴𝐶𝐷”⟩))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959   class class class wbr 5106  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  ⟨“cs3 15021  Basecbs 17416  distcds 17466  TarskiGcstrkg 28919  Itvcitv 28925  LineGclng 28926  hlGchlg 29093  cgrAccgra 29344  ≤_∠cleag 29385

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-oadd 8508  df-er 8745  df-map 8877  df-pm 8878  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-dju 10009  df-card 10047  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-n0 12634  df-xnn0 12707  df-z 12721  df-uz 12993  df-fz 13667  df-fzo 13816  df-hash 14502  df-word 14686  df-concat 14743  df-s1 14770  df-s2 15027  df-s3 15028  df-trkgc 28940  df-trkgb 28941  df-trkgcb 28942  df-trkgld 28944  df-trkg 28945  df-cgrg 29004  df-leg 29076  df-hlg 29094  df-mir 29155  df-rag 29199  df-perpg 29201  df-hpg 29266  df-mid 29309  df-lmi 29310  df-cgra 29345  df-inag 29386  df-leag 29395

This theorem is used by:  tgexta  33108