Theorem leacgra 33064

Description: GeoCoq l11_30 analogue: ≤_∠ is preserved when both compared angles are replaced by congruent angles. (Contributed by JAG, 12-Aug-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
leacgra.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
leacgra.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
leacgra.k	⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
leacgra.s	⊢ ≤ = (≤∠‘𝐺)
leacgra.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
leacgra.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
leacgra.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
leacgra.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
leacgra.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
leacgra.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
leacgra.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
leacgra.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑃)
leacgra.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑃)
leacgra.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝑃)
leacgra.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
leacgra.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
leacgra.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
leacgra.1	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ≤ ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
leacgra.2	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐻𝑈𝐽”⟩)
leacgra.3	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩)

Assertion

Ref	Expression
leacgra	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐻𝑈𝐽”⟩ ≤ ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩)

Proof of Theorem leacgra

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leacgra.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		leacgra.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
3		leacgra.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
4		leacgra.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5		leacgra.h	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑃)
6		leacgra.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑃)
7		leacgra.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝑃)
8		leacgra.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
9		leacgra.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
10		leacgra.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
11		leacgra.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
12		leacgra.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
13		leacgra.z	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
14		leacgra.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
15		leacgra.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
16		leacgra.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
17		leacgra.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ≤ ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
18		leacgra.s	. . . . . 6 ⊢ ≤ = (≤∠‘𝐺)
19	18	breqi 5108	. . . . 5 ⊢ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ≤ ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(≤∠‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
20	17, 19	sylib 221	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(≤∠‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
21		leacgra.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐻𝑈𝐽”⟩)
22	1, 2, 3, 4, 14, 15, 16, 8, 9, 10, 5, 6, 7, 20, 21	leacgra1 33063	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐻𝑈𝐽”⟩(≤∠‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
23		leacgra.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩)
24	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 22, 23	leacgra2 33062	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐻𝑈𝐽”⟩(≤∠‘𝐺)⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩)
25	18	breqi 5108	. 2 ⊢ (⟨“𝐻𝑈𝐽”⟩ ≤ ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ↔ ⟨“𝐻𝑈𝐽”⟩(≤∠‘𝐺)⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩)
26	24, 25	sylibr 237	1 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐻𝑈𝐽”⟩ ≤ ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  ‘cfv 6538  ⟨“cs3 14993  Basecbs 17387  TarskiGcstrkg 28889  Itvcitv 28895  hlGchlg 29063  cgrAccgra 29314  ≤_∠cleag 29355

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-oadd 8480  df-er 8717  df-map 8849  df-pm 8850  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-dju 9982  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-n0 12607  df-xnn0 12680  df-z 12694  df-uz 12966  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-hash 14475  df-word 14659  df-concat 14716  df-s1 14743  df-s2 14999  df-s3 15000  df-s4 15001  df-trkgc 28910  df-trkgb 28911  df-trkgcb 28912  df-trkgld 28914  df-trkg 28915  df-cgrg 28974  df-ismt 28996  df-leg 29046  df-hlg 29064  df-mir 29125  df-rag 29169  df-perpg 29171  df-hpg 29236  df-mid 29279  df-lmi 29280  df-cgra 29315  df-inag 29356  df-leag 29365

This theorem is used by:  tgextalt2  33077