Theorem leacgra2 33092

Description: Target-side ≤_∠ transport: replacing the larger angle by a congruent angle preserves the angle order. Proved from leawittrg 33091 and isleag 29396, the witness form of ≤_∠. (Contributed by JAG, 12-Aug-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
leacgra2.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
leacgra2.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
leacgra2.k	⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
leacgra2.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
leacgra2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
leacgra2.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
leacgra2.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
leacgra2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
leacgra2.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
leacgra2.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
leacgra2.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
leacgra2.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
leacgra2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
leacgra2.1	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(≤∠‘𝐺)⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩)
leacgra2.2	⊢ (𝜑 → ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)

Assertion

Ref	Expression
leacgra2	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(≤∠‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)

Proof of Theorem leacgra2

Dummy variables 𝑤 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leacgra2.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		leacgra2.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
3		leacgra2.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
4		leacgra2.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5	4	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6	5	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑤(inA‘𝐺)⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑋𝑌𝑤”⟩)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
7		leacgra2.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
8	7	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) → 𝑋 ∈ 𝑃)
9	8	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑤(inA‘𝐺)⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑋𝑌𝑤”⟩)) → 𝑋 ∈ 𝑃)
10		leacgra2.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
11	10	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) → 𝑌 ∈ 𝑃)
12	11	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑤(inA‘𝐺)⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑋𝑌𝑤”⟩)) → 𝑌 ∈ 𝑃)
13		leacgra2.z	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
14	13	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) → 𝑍 ∈ 𝑃)
15	14	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑤(inA‘𝐺)⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑋𝑌𝑤”⟩)) → 𝑍 ∈ 𝑃)
16		leacgra2.d	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
17	16	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) → 𝐷 ∈ 𝑃)
18	17	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑤(inA‘𝐺)⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑋𝑌𝑤”⟩)) → 𝐷 ∈ 𝑃)
19		leacgra2.e	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
20	19	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) → 𝐸 ∈ 𝑃)
21	20	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑤(inA‘𝐺)⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑋𝑌𝑤”⟩)) → 𝐸 ∈ 𝑃)
22		leacgra2.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
23	22	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) → 𝐹 ∈ 𝑃)
24	23	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑤(inA‘𝐺)⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑋𝑌𝑤”⟩)) → 𝐹 ∈ 𝑃)
25		leacgra2.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
26	25	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) → 𝐴 ∈ 𝑃)
27	26	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑤(inA‘𝐺)⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑋𝑌𝑤”⟩)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
28		leacgra2.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
29	28	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) → 𝐵 ∈ 𝑃)
30	29	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑤(inA‘𝐺)⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑋𝑌𝑤”⟩)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
31		leacgra2.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
32	31	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) → 𝐶 ∈ 𝑃)
33	32	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑤(inA‘𝐺)⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑋𝑌𝑤”⟩)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
34		simpl 488	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑤(inA‘𝐺)⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑋𝑌𝑤”⟩)) → (𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑃))
35	34	simprd 501	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑤(inA‘𝐺)⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑋𝑌𝑤”⟩)) → 𝑤 ∈ 𝑃)
36		simpr 490	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑤(inA‘𝐺)⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑋𝑌𝑤”⟩)) → (𝑤(inA‘𝐺)⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑋𝑌𝑤”⟩))
37	36	simpld 500	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑤(inA‘𝐺)⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑋𝑌𝑤”⟩)) → 𝑤(inA‘𝐺)⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩)
38	36	simprd 501	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑤(inA‘𝐺)⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑋𝑌𝑤”⟩)) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑋𝑌𝑤”⟩)
39		leacgra2.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
40	39	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) → ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
41	40	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑤(inA‘𝐺)⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑋𝑌𝑤”⟩)) → ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
42	1, 2, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 35, 37, 38, 41	leawittrg 33091	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑤(inA‘𝐺)⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑋𝑌𝑤”⟩)) → ∃𝑣 ∈ 𝑃 (𝑣(inA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑣”⟩))
43		leacgra2.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(≤∠‘𝐺)⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩)
44	1, 4, 25, 28, 31, 7, 10, 13	isleag 29396	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(≤∠‘𝐺)⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ↔ ∃𝑤 ∈ 𝑃 (𝑤(inA‘𝐺)⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑋𝑌𝑤”⟩)))
45	43, 44	mpbid 235	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑤 ∈ 𝑃 (𝑤(inA‘𝐺)⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑋𝑌𝑤”⟩))
46	42, 45	r19.29a 3174	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑣 ∈ 𝑃 (𝑣(inA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑣”⟩))
47	1, 4, 25, 28, 31, 16, 19, 22	isleag 29396	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(≤∠‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ↔ ∃𝑣 ∈ 𝑃 (𝑣(inA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑣”⟩)))
48	46, 47	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(≤∠‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∃wrex 3090   class class class wbr 5106  ‘cfv 6558  ⟨“cs3 15021  Basecbs 17416  TarskiGcstrkg 28919  Itvcitv 28925  hlGchlg 29093  cgrAccgra 29344  inAcinag 29384  ≤_∠cleag 29385

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-oadd 8508  df-er 8745  df-map 8877  df-pm 8878  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-dju 10009  df-card 10047  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-4 12434  df-n0 12634  df-xnn0 12707  df-z 12721  df-uz 12993  df-fz 13667  df-fzo 13816  df-hash 14502  df-word 14686  df-concat 14743  df-s1 14770  df-s2 15027  df-s3 15028  df-s4 15029  df-trkgc 28940  df-trkgb 28941  df-trkgcb 28942  df-trkgld 28944  df-trkg 28945  df-cgrg 29004  df-ismt 29026  df-leg 29076  df-hlg 29094  df-mir 29155  df-rag 29199  df-perpg 29201  df-hpg 29266  df-mid 29309  df-lmi 29310  df-cgra 29345  df-inag 29386  df-leag 29395

This theorem is used by:  leacgra  33094