Theorem leacgra2 33062

Description: Target-side ≤_∠ transport: replacing the larger angle by a congruent angle preserves the angle order. Proved from leawittrg 33061 and isleag 29366, the witness form of ≤_∠. (Contributed by JAG, 12-Aug-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
leacgra2.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
leacgra2.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
leacgra2.k	⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
leacgra2.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
leacgra2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
leacgra2.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
leacgra2.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
leacgra2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
leacgra2.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
leacgra2.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
leacgra2.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
leacgra2.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
leacgra2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
leacgra2.1	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(≤∠‘𝐺)⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩)
leacgra2.2	⊢ (𝜑 → ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)

Assertion

Ref	Expression
leacgra2	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(≤∠‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)

Proof of Theorem leacgra2

Dummy variables 𝑤 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leacgra2.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		leacgra2.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
3		leacgra2.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
4		leacgra2.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5	4	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6	5	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑤(inA‘𝐺)⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑋𝑌𝑤”⟩)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
7		leacgra2.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
8	7	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) → 𝑋 ∈ 𝑃)
9	8	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑤(inA‘𝐺)⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑋𝑌𝑤”⟩)) → 𝑋 ∈ 𝑃)
10		leacgra2.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
11	10	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) → 𝑌 ∈ 𝑃)
12	11	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑤(inA‘𝐺)⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑋𝑌𝑤”⟩)) → 𝑌 ∈ 𝑃)
13		leacgra2.z	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
14	13	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) → 𝑍 ∈ 𝑃)
15	14	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑤(inA‘𝐺)⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑋𝑌𝑤”⟩)) → 𝑍 ∈ 𝑃)
16		leacgra2.d	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
17	16	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) → 𝐷 ∈ 𝑃)
18	17	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑤(inA‘𝐺)⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑋𝑌𝑤”⟩)) → 𝐷 ∈ 𝑃)
19		leacgra2.e	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
20	19	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) → 𝐸 ∈ 𝑃)
21	20	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑤(inA‘𝐺)⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑋𝑌𝑤”⟩)) → 𝐸 ∈ 𝑃)
22		leacgra2.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
23	22	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) → 𝐹 ∈ 𝑃)
24	23	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑤(inA‘𝐺)⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑋𝑌𝑤”⟩)) → 𝐹 ∈ 𝑃)
25		leacgra2.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
26	25	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) → 𝐴 ∈ 𝑃)
27	26	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑤(inA‘𝐺)⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑋𝑌𝑤”⟩)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
28		leacgra2.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
29	28	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) → 𝐵 ∈ 𝑃)
30	29	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑤(inA‘𝐺)⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑋𝑌𝑤”⟩)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
31		leacgra2.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
32	31	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) → 𝐶 ∈ 𝑃)
33	32	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑤(inA‘𝐺)⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑋𝑌𝑤”⟩)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
34		simpl 488	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑤(inA‘𝐺)⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑋𝑌𝑤”⟩)) → (𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑃))
35	34	simprd 501	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑤(inA‘𝐺)⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑋𝑌𝑤”⟩)) → 𝑤 ∈ 𝑃)
36		simpr 490	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑤(inA‘𝐺)⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑋𝑌𝑤”⟩)) → (𝑤(inA‘𝐺)⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑋𝑌𝑤”⟩))
37	36	simpld 500	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑤(inA‘𝐺)⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑋𝑌𝑤”⟩)) → 𝑤(inA‘𝐺)⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩)
38	36	simprd 501	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑤(inA‘𝐺)⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑋𝑌𝑤”⟩)) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑋𝑌𝑤”⟩)
39		leacgra2.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
40	39	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) → ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
41	40	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑤(inA‘𝐺)⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑋𝑌𝑤”⟩)) → ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
42	1, 2, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 35, 37, 38, 41	leawittrg 33061	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑤(inA‘𝐺)⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑋𝑌𝑤”⟩)) → ∃𝑣 ∈ 𝑃 (𝑣(inA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑣”⟩))
43		leacgra2.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(≤∠‘𝐺)⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩)
44	1, 4, 25, 28, 31, 7, 10, 13	isleag 29366	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(≤∠‘𝐺)⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ↔ ∃𝑤 ∈ 𝑃 (𝑤(inA‘𝐺)⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑋𝑌𝑤”⟩)))
45	43, 44	mpbid 235	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑤 ∈ 𝑃 (𝑤(inA‘𝐺)⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑋𝑌𝑤”⟩))
46	42, 45	r19.29a 3170	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑣 ∈ 𝑃 (𝑣(inA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑣”⟩))
47	1, 4, 25, 28, 31, 16, 19, 22	isleag 29366	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(≤∠‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ↔ ∃𝑣 ∈ 𝑃 (𝑣(inA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑣”⟩)))
48	46, 47	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(≤∠‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∃wrex 3086   class class class wbr 5102  ‘cfv 6538  ⟨“cs3 14993  Basecbs 17387  TarskiGcstrkg 28889  Itvcitv 28895  hlGchlg 29063  cgrAccgra 29314  inAcinag 29354  ≤_∠cleag 29355

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-oadd 8480  df-er 8717  df-map 8849  df-pm 8850  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-dju 9982  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-n0 12607  df-xnn0 12680  df-z 12694  df-uz 12966  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-hash 14475  df-word 14659  df-concat 14716  df-s1 14743  df-s2 14999  df-s3 15000  df-s4 15001  df-trkgc 28910  df-trkgb 28911  df-trkgcb 28912  df-trkgld 28914  df-trkg 28915  df-cgrg 28974  df-ismt 28996  df-leg 29046  df-hlg 29064  df-mir 29125  df-rag 29169  df-perpg 29171  df-hpg 29236  df-mid 29279  df-lmi 29280  df-cgra 29315  df-inag 29356  df-leag 29365

This theorem is used by:  leacgra  33064