Theorem hdmapip0 41428

Description: Zero property that will be used for inner product. (Contributed by NM, 9-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hdmapip0.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmapip0.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmapip0.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmapip0.o	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
hdmapip0.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
hdmapip0.z	⊢ 𝑍 = (0g‘𝑅)
hdmapip0.s	⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmapip0.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hdmapip0.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
hdmapip0	⊢ (𝜑 → (((𝑆‘𝑋)‘𝑋) = 𝑍 ↔ 𝑋 = 0 ))

Proof of Theorem hdmapip0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hdmapip0.h	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		eqid 2728	. . . . . . . 8 ⊢ ((ocH‘𝐾)‘𝑊) = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
3		hdmapip0.u	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4		hdmapip0.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
5		hdmapip0.o	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
6		hdmapip0.k	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
7	6	adantr 479	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
8		hdmapip0.x	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
9	8	anim1i 613	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ))
10		eldifsn 4795	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↔ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ))
11	9, 10	sylibr 233	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
12	1, 2, 3, 4, 5, 7, 11	dochnel 40906	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → ¬ 𝑋 ∈ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘{𝑋}))
13		hdmapip0.r	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
14		hdmapip0.z	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑍 = (0g‘𝑅)
15		eqid 2728	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (LFnl‘𝑈) = (LFnl‘𝑈)
16		eqid 2728	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (LKer‘𝑈) = (LKer‘𝑈)
17	1, 3, 6	dvhlmod 40623	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
18		eqid 2728	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((LCDual‘𝐾)‘𝑊) = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
19		eqid 2728	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)) = (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊))
20		hdmapip0.s	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
21	1, 3, 4, 18, 19, 20, 6, 8	hdmapcl 41343	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑋) ∈ (Base‘((LCDual‘𝐾)‘𝑊)))
22	1, 18, 19, 3, 15, 6, 21	lcdvbaselfl 41108	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑋) ∈ (LFnl‘𝑈))
23	4, 13, 14, 15, 16, 17, 22, 8	ellkr2 38603	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ ((LKer‘𝑈)‘(𝑆‘𝑋)) ↔ ((𝑆‘𝑋)‘𝑋) = 𝑍))
24	23	biimpar 476	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑆‘𝑋)‘𝑋) = 𝑍) → 𝑋 ∈ ((LKer‘𝑈)‘(𝑆‘𝑋)))
25	1, 2, 3, 4, 15, 16, 20, 6, 8	hdmaplkr 41426	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((LKer‘𝑈)‘(𝑆‘𝑋)) = (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘{𝑋}))
26	25	adantr 479	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑆‘𝑋)‘𝑋) = 𝑍) → ((LKer‘𝑈)‘(𝑆‘𝑋)) = (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘{𝑋}))
27	24, 26	eleqtrd 2831	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑆‘𝑋)‘𝑋) = 𝑍) → 𝑋 ∈ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘{𝑋}))
28	27	ex 411	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑆‘𝑋)‘𝑋) = 𝑍 → 𝑋 ∈ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘{𝑋})))
29	28	adantr 479	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (((𝑆‘𝑋)‘𝑋) = 𝑍 → 𝑋 ∈ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘{𝑋})))
30	12, 29	mtod 197	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → ¬ ((𝑆‘𝑋)‘𝑋) = 𝑍)
31	30	neqned 2944	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → ((𝑆‘𝑋)‘𝑋) ≠ 𝑍)
32	31	ex 411	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ≠ 0 → ((𝑆‘𝑋)‘𝑋) ≠ 𝑍))
33	32	necon4d 2961	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑆‘𝑋)‘𝑋) = 𝑍 → 𝑋 = 0 ))
34	33	imp 405	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑆‘𝑋)‘𝑋) = 𝑍) → 𝑋 = 0 )
35		fveq2 6902	. . 3 ⊢ (𝑋 = 0 → ((𝑆‘𝑋)‘𝑋) = ((𝑆‘𝑋)‘ 0 ))
36	13, 14, 5, 15	lfl0 38577	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝑆‘𝑋) ∈ (LFnl‘𝑈)) → ((𝑆‘𝑋)‘ 0 ) = 𝑍)
37	17, 22, 36	syl2anc 582	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝑋)‘ 0 ) = 𝑍)
38	35, 37	sylan9eqr 2790	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 0 ) → ((𝑆‘𝑋)‘𝑋) = 𝑍)
39	34, 38	impbida 799	1 ⊢ (𝜑 → (((𝑆‘𝑋)‘𝑋) = 𝑍 ↔ 𝑋 = 0 ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2937   ∖ cdif 3946  {csn 4632  ‘cfv 6553  Basecbs 17189  Scalarcsca 17245  0_gc0g 17430  LModclmod 20757  LFnlclfn 38569  LKerclk 38597  HLchlt 38862  LHypclh 39497  DVecHcdvh 40591  ocHcoch 40860  LCDualclcd 41099  HDMapchdma 41305

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225  ax-riotaBAD 38465

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-ot 4641  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7692  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-tpos 8240  df-undef 8287  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-er 8733  df-map 8855  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-4 12317  df-5 12318  df-6 12319  df-n0 12513  df-z 12599  df-uz 12863  df-fz 13527  df-struct 17125  df-sets 17142  df-slot 17160  df-ndx 17172  df-base 17190  df-ress 17219  df-plusg 17255  df-mulr 17256  df-sca 17258  df-vsca 17259  df-0g 17432  df-mre 17575  df-mrc 17576  df-acs 17578  df-proset 18296  df-poset 18314  df-plt 18331  df-lub 18347  df-glb 18348  df-join 18349  df-meet 18350  df-p0 18426  df-p1 18427  df-lat 18433  df-clat 18500  df-mgm 18609  df-sgrp 18688  df-mnd 18704  df-submnd 18750  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-sbg 18909  df-subg 19092  df-cntz 19282  df-oppg 19311  df-lsm 19605  df-cmn 19751  df-abl 19752  df-mgp 20089  df-rng 20107  df-ur 20136  df-ring 20189  df-oppr 20287  df-dvdsr 20310  df-unit 20311  df-invr 20341  df-dvr 20354  df-drng 20640  df-lmod 20759  df-lss 20830  df-lsp 20870  df-lvec 21002  df-lsatoms 38488  df-lshyp 38489  df-lcv 38531  df-lfl 38570  df-lkr 38598  df-ldual 38636  df-oposet 38688  df-ol 38690  df-oml 38691  df-covers 38778  df-ats 38779  df-atl 38810  df-cvlat 38834  df-hlat 38863  df-llines 39011  df-lplanes 39012  df-lvols 39013  df-lines 39014  df-psubsp 39016  df-pmap 39017  df-padd 39309  df-lhyp 39501  df-laut 39502  df-ldil 39617  df-ltrn 39618  df-trl 39672  df-tgrp 40256  df-tendo 40268  df-edring 40270  df-dveca 40516  df-disoa 40542  df-dvech 40592  df-dib 40652  df-dic 40686  df-dih 40742  df-doch 40861  df-djh 40908  df-lcdual 41100  df-mapd 41138  df-hvmap 41270  df-hdmap1 41306  df-hdmap 41307

This theorem is referenced by:  hdmapip1  41429  hgmapvvlem3  41438  hlhilphllem  41476