Theorem lidlnz 21563

Description: A nonzero ideal contains a nonzero element. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lidlnz.u	⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
lidlnz.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
lidlnz	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → ∃𝑥 ∈ 𝐼 𝑥 ≠ 0 )

Distinct variable groups:   𝑥,𝐼   𝑥, 0

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥)   𝑈(𝑥)

Proof of Theorem lidlnz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lidlnz.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
2		lidlnz.z	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
3	1, 2	lidl0cl 21532	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → 0 ∈ 𝐼)
4	3	snssd 4747	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → { 0 } ⊆ 𝐼)
5	4	3adant3 1150	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → { 0 } ⊆ 𝐼)
6		simp3 1156	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → 𝐼 ≠ { 0 })
7	6	necomd 3014	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → { 0 } ≠ 𝐼)
8		df-pss 4017	. . . 4 ⊢ ({ 0 } ⊊ 𝐼 ↔ ({ 0 } ⊆ 𝐼 ∧ { 0 } ≠ 𝐼))
9	5, 7, 8	sylanbrc 595	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → { 0 } ⊊ 𝐼)
10		pssnel 4427	. . 3 ⊢ ({ 0 } ⊊ 𝐼 → ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐼 ∧ ¬ 𝑥 ∈ { 0 }))
11	9, 10	syl 18	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐼 ∧ ¬ 𝑥 ∈ { 0 }))
12		velsn 4600	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ { 0 } ↔ 𝑥 = 0 )
13	12	necon3bbii 3006	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ { 0 } ↔ 𝑥 ≠ 0 )
14	13	anbi2i 635	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ ¬ 𝑥 ∈ { 0 }) ↔ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑥 ≠ 0 ))
15	14	exbii 1881	. . 3 ⊢ (∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐼 ∧ ¬ 𝑥 ∈ { 0 }) ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑥 ≠ 0 ))
16		df-rex 3091	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐼 𝑥 ≠ 0 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑥 ≠ 0 ))
17	15, 16	bitr4i 281	. 2 ⊢ (∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐼 ∧ ¬ 𝑥 ∈ { 0 }) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐼 𝑥 ≠ 0 )
18	11, 17	sylib 221	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → ∃𝑥 ∈ 𝐼 𝑥 ≠ 0 )

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∃wrex 3090   ⊆ wss 3900   ⊊ wpss 4016  {csn 4588  ‘cfv 6561  0_gc0g 17642  Ringcrg 20492  LIdealclidl 21517

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-om 7905  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8748  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-nn 12366  df-2 12435  df-3 12436  df-4 12437  df-5 12438  df-6 12439  df-7 12440  df-8 12441  df-sets 17374  df-slot 17392  df-ndx 17404  df-base 17420  df-ress 17441  df-plusg 17473  df-mulr 17474  df-sca 17476  df-vsca 17477  df-ip 17478  df-0g 17644  df-mgm 18848  df-sgrp 18940  df-mnd 18956  df-grp 19179  df-minusg 19180  df-sbg 19181  df-subg 19365  df-mgp 20394  df-ur 20441  df-ring 20494  df-subrg 20855  df-lmod 21170  df-lss 21240  df-sra 21481  df-rgmod 21482  df-lidl 21519

This theorem is used by:  drngnidl  21564  zringlpirlem1  21801  dfufd2  34166  lidldomn1  49543