MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lidlnz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lidlnz 19976
Description: A nonzero ideal contains a nonzero element. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lidlnz.u 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
lidlnz.z 0 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
lidlnz ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) → ∃𝑥𝐼 𝑥0 )
Distinct variable groups:   𝑥,𝐼   𝑥, 0
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥)   𝑈(𝑥)

Proof of Theorem lidlnz
StepHypRef Expression
1 lidlnz.u . . . . . . 7 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
2 lidlnz.z . . . . . . 7 0 = (0g𝑅)
31, 2lidl0cl 19960 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈) → 0𝐼)
43snssd 4715 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈) → { 0 } ⊆ 𝐼)
543adant3 1129 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) → { 0 } ⊆ 𝐼)
6 simp3 1135 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) → 𝐼 ≠ { 0 })
76necomd 3062 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) → { 0 } ≠ 𝐼)
8 df-pss 3929 . . . 4 ({ 0 } ⊊ 𝐼 ↔ ({ 0 } ⊆ 𝐼 ∧ { 0 } ≠ 𝐼))
95, 7, 8sylanbrc 586 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) → { 0 } ⊊ 𝐼)
10 pssnel 4393 . . 3 ({ 0 } ⊊ 𝐼 → ∃𝑥(𝑥𝐼 ∧ ¬ 𝑥 ∈ { 0 }))
119, 10syl 17 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) → ∃𝑥(𝑥𝐼 ∧ ¬ 𝑥 ∈ { 0 }))
12 velsn 4556 . . . . . 6 (𝑥 ∈ { 0 } ↔ 𝑥 = 0 )
1312necon3bbii 3054 . . . . 5 𝑥 ∈ { 0 } ↔ 𝑥0 )
1413anbi2i 625 . . . 4 ((𝑥𝐼 ∧ ¬ 𝑥 ∈ { 0 }) ↔ (𝑥𝐼𝑥0 ))
1514exbii 1849 . . 3 (∃𝑥(𝑥𝐼 ∧ ¬ 𝑥 ∈ { 0 }) ↔ ∃𝑥(𝑥𝐼𝑥0 ))
16 df-rex 3132 . . 3 (∃𝑥𝐼 𝑥0 ↔ ∃𝑥(𝑥𝐼𝑥0 ))
1715, 16bitr4i 281 . 2 (∃𝑥(𝑥𝐼 ∧ ¬ 𝑥 ∈ { 0 }) ↔ ∃𝑥𝐼 𝑥0 )
1811, 17sylib 221 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑈𝐼 ≠ { 0 }) → ∃𝑥𝐼 𝑥0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wex 1781  wcel 2115  wne 3007  wrex 3127  wss 3910  wpss 3911  {csn 4540  cfv 6328  0gc0g 16691  Ringcrg 19275  LIdealclidl 19917
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-rep 5163  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rmo 3134  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-iun 4894  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-om 7556  df-1st 7664  df-2nd 7665  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-er 8264  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-nn 11616  df-2 11678  df-3 11679  df-4 11680  df-5 11681  df-6 11682  df-7 11683  df-8 11684  df-ndx 16464  df-slot 16465  df-base 16467  df-sets 16468  df-ress 16469  df-plusg 16556  df-mulr 16557  df-sca 16559  df-vsca 16560  df-ip 16561  df-0g 16693  df-mgm 17830  df-sgrp 17879  df-mnd 17890  df-grp 18084  df-minusg 18085  df-sbg 18086  df-subg 18254  df-mgp 19218  df-ur 19230  df-ring 19277  df-subrg 19508  df-lmod 19611  df-lss 19679  df-sra 19919  df-rgmod 19920  df-lidl 19921
This theorem is referenced by:  drngnidl  19977  zringlpirlem1  20606  lidldomn1  44339
  Copyright terms: Public domain W3C validator