Theorem lidlnz 20499

Description: A nonzero ideal contains a nonzero element. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lidlnz.u	⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
lidlnz.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
lidlnz	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → ∃𝑥 ∈ 𝐼 𝑥 ≠ 0 )

Distinct variable groups:   𝑥,𝐼   𝑥, 0

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥)   𝑈(𝑥)

Proof of Theorem lidlnz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lidlnz.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
2		lidlnz.z	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
3	1, 2	lidl0cl 20483	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → 0 ∈ 𝐼)
4	3	snssd 4742	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → { 0 } ⊆ 𝐼)
5	4	3adant3 1131	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → { 0 } ⊆ 𝐼)
6		simp3 1137	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → 𝐼 ≠ { 0 })
7	6	necomd 2999	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → { 0 } ≠ 𝐼)
8		df-pss 3906	. . . 4 ⊢ ({ 0 } ⊊ 𝐼 ↔ ({ 0 } ⊆ 𝐼 ∧ { 0 } ≠ 𝐼))
9	5, 7, 8	sylanbrc 583	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → { 0 } ⊊ 𝐼)
10		pssnel 4404	. . 3 ⊢ ({ 0 } ⊊ 𝐼 → ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐼 ∧ ¬ 𝑥 ∈ { 0 }))
11	9, 10	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐼 ∧ ¬ 𝑥 ∈ { 0 }))
12		velsn 4577	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ { 0 } ↔ 𝑥 = 0 )
13	12	necon3bbii 2991	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ { 0 } ↔ 𝑥 ≠ 0 )
14	13	anbi2i 623	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ ¬ 𝑥 ∈ { 0 }) ↔ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑥 ≠ 0 ))
15	14	exbii 1850	. . 3 ⊢ (∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐼 ∧ ¬ 𝑥 ∈ { 0 }) ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑥 ≠ 0 ))
16		df-rex 3070	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐼 𝑥 ≠ 0 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑥 ≠ 0 ))
17	15, 16	bitr4i 277	. 2 ⊢ (∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐼 ∧ ¬ 𝑥 ∈ { 0 }) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐼 𝑥 ≠ 0 )
18	11, 17	sylib 217	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → ∃𝑥 ∈ 𝐼 𝑥 ≠ 0 )

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539  ∃wex 1782   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∃wrex 3065   ⊆ wss 3887   ⊊ wpss 3888  {csn 4561  ‘cfv 6433  0_gc0g 17150  Ringcrg 19783  LIdealclidl 20432

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-0g 17152  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-sbg 18582  df-subg 18752  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-subrg 20022  df-lmod 20125  df-lss 20194  df-sra 20434  df-rgmod 20435  df-lidl 20436

This theorem is referenced by:  drngnidl  20500  zringlpirlem1  20684  lidldomn1  45479