Theorem lidlnz 20605

Description: A nonzero ideal contains a nonzero element. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lidlnz.u	⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
lidlnz.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
lidlnz	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → ∃𝑥 ∈ 𝐼 𝑥 ≠ 0 )

Distinct variable groups:   𝑥,𝐼   𝑥, 0

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥)   𝑈(𝑥)

Proof of Theorem lidlnz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lidlnz.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
2		lidlnz.z	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
3	1, 2	lidl0cl 20589	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → 0 ∈ 𝐼)
4	3	snssd 4761	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → { 0 } ⊆ 𝐼)
5	4	3adant3 1132	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → { 0 } ⊆ 𝐼)
6		simp3 1138	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → 𝐼 ≠ { 0 })
7	6	necomd 2997	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → { 0 } ≠ 𝐼)
8		df-pss 3921	. . . 4 ⊢ ({ 0 } ⊊ 𝐼 ↔ ({ 0 } ⊆ 𝐼 ∧ { 0 } ≠ 𝐼))
9	5, 7, 8	sylanbrc 584	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → { 0 } ⊊ 𝐼)
10		pssnel 4422	. . 3 ⊢ ({ 0 } ⊊ 𝐼 → ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐼 ∧ ¬ 𝑥 ∈ { 0 }))
11	9, 10	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐼 ∧ ¬ 𝑥 ∈ { 0 }))
12		velsn 4594	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ { 0 } ↔ 𝑥 = 0 )
13	12	necon3bbii 2989	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ { 0 } ↔ 𝑥 ≠ 0 )
14	13	anbi2i 624	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ ¬ 𝑥 ∈ { 0 }) ↔ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑥 ≠ 0 ))
15	14	exbii 1850	. . 3 ⊢ (∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐼 ∧ ¬ 𝑥 ∈ { 0 }) ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑥 ≠ 0 ))
16		df-rex 3072	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐼 𝑥 ≠ 0 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑥 ≠ 0 ))
17	15, 16	bitr4i 278	. 2 ⊢ (∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐼 ∧ ¬ 𝑥 ∈ { 0 }) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐼 𝑥 ≠ 0 )
18	11, 17	sylib 217	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐼 ≠ { 0 }) → ∃𝑥 ∈ 𝐼 𝑥 ≠ 0 )

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1087   = wceq 1541  ∃wex 1781   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2941  ∃wrex 3071   ⊆ wss 3902   ⊊ wpss 3903  {csn 4578  ‘cfv 6484  0_gc0g 17248  Ringcrg 19878  LIdealclidl 20538

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5234  ax-sep 5248  ax-nul 5255  ax-pow 5313  ax-pr 5377  ax-un 7655  ax-cnex 11033  ax-resscn 11034  ax-1cn 11035  ax-icn 11036  ax-addcl 11037  ax-addrcl 11038  ax-mulcl 11039  ax-mulrcl 11040  ax-mulcom 11041  ax-addass 11042  ax-mulass 11043  ax-distr 11044  ax-i2m1 11045  ax-1ne0 11046  ax-1rid 11047  ax-rnegex 11048  ax-rrecex 11049  ax-cnre 11050  ax-pre-lttri 11051  ax-pre-lttrn 11052  ax-pre-ltadd 11053  ax-pre-mulgt0 11054

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3444  df-sbc 3732  df-csb 3848  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3921  df-nul 4275  df-if 4479  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4858  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5181  df-tr 5215  df-id 5523  df-eprel 5529  df-po 5537  df-so 5538  df-fr 5580  df-we 5582  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6243  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6436  df-fun 6486  df-fn 6487  df-f 6488  df-f1 6489  df-fo 6490  df-f1o 6491  df-fv 6492  df-riota 7298  df-ov 7345  df-oprab 7346  df-mpo 7347  df-om 7786  df-1st 7904  df-2nd 7905  df-frecs 8172  df-wrecs 8203  df-recs 8277  df-rdg 8316  df-er 8574  df-en 8810  df-dom 8811  df-sdom 8812  df-pnf 11117  df-mnf 11118  df-xr 11119  df-ltxr 11120  df-le 11121  df-sub 11313  df-neg 11314  df-nn 12080  df-2 12142  df-3 12143  df-4 12144  df-5 12145  df-6 12146  df-7 12147  df-8 12148  df-sets 16963  df-slot 16981  df-ndx 16993  df-base 17011  df-ress 17040  df-plusg 17073  df-mulr 17074  df-sca 17076  df-vsca 17077  df-ip 17078  df-0g 17250  df-mgm 18424  df-sgrp 18473  df-mnd 18484  df-grp 18677  df-minusg 18678  df-sbg 18679  df-subg 18849  df-mgp 19816  df-ur 19833  df-ring 19880  df-subrg 20127  df-lmod 20231  df-lss 20300  df-sra 20540  df-rgmod 20541  df-lidl 20542

This theorem is referenced by:  drngnidl  20606  zringlpirlem1  20790  lidldomn1  45895