Theorem islpir2 21669

Description: Principal ideal rings are where all ideals are principal. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lpival.p	⊢ 𝑃 = (LPIdeal‘𝑅)
lpiss.u	⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
islpir2	⊢ (𝑅 ∈ LPIR ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 ⊆ 𝑃))

Proof of Theorem islpir2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lpival.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (LPIdeal‘𝑅)
2		lpiss.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
3	1, 2	islpir 21667	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ LPIR ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = 𝑃))
4		eqss 3928	. . . 4 ⊢ (𝑈 = 𝑃 ↔ (𝑈 ⊆ 𝑃 ∧ 𝑃 ⊆ 𝑈))
5	1, 2	lpiss 21668	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ⊆ 𝑈)
6	5	biantrud 541	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑈 ⊆ 𝑃 ↔ (𝑈 ⊆ 𝑃 ∧ 𝑃 ⊆ 𝑈)))
7	4, 6	bitr4id 293	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑈 = 𝑃 ↔ 𝑈 ⊆ 𝑃))
8	7	pm5.32i 585	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = 𝑃) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 ⊆ 𝑃))
9	3, 8	bitri 278	1 ⊢ (𝑅 ∈ LPIR ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 ⊆ 𝑃))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2146   ⊆ wss 3900  ‘cfv 6547  Ringcrg 20474  LIdealclidl 21499  LPIdealclpidl 21659  LPIRclpir 21660

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761  ax-cnex 11269  ax-resscn 11270  ax-1cn 11271  ax-icn 11272  ax-addcl 11273  ax-addrcl 11274  ax-mulcl 11275  ax-mulrcl 11276  ax-mulcom 11277  ax-addass 11278  ax-mulass 11279  ax-distr 11280  ax-i2m1 11281  ax-1ne0 11282  ax-1rid 11283  ax-rnegex 11284  ax-rrecex 11285  ax-cnre 11286  ax-pre-lttri 11287  ax-pre-lttrn 11288  ax-pre-ltadd 11289  ax-pre-mulgt0 11290

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6311  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7888  df-1st 8011  df-2nd 8012  df-frecs 8313  df-wrecs 8344  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-er 8731  df-en 8988  df-dom 8989  df-sdom 8990  df-pnf 11358  df-mnf 11359  df-xr 11360  df-ltxr 11361  df-le 11362  df-sub 11556  df-neg 11557  df-nn 12349  df-2 12418  df-3 12419  df-4 12420  df-5 12421  df-6 12422  df-7 12423  df-8 12424  df-sets 17357  df-slot 17375  df-ndx 17387  df-base 17403  df-ress 17424  df-plusg 17456  df-mulr 17457  df-sca 17459  df-vsca 17460  df-ip 17461  df-0g 17627  df-mgm 18831  df-sgrp 18923  df-mnd 18939  df-grp 19162  df-minusg 19163  df-sbg 19164  df-subg 19348  df-mgp 20376  df-ur 20423  df-ring 20476  df-subrg 20837  df-lmod 21152  df-lss 21222  df-lsp 21262  df-sra 21463  df-rgmod 21464  df-lidl 21501  df-rsp 21502  df-lpidl 21661  df-lpir 21662

This theorem is used by:  drnglpir  21671  zringlpir  21788  ply1lpir  26515