MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprdsplit Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dprdsplit 18808
Description: The direct product is the binary subgroup product ("sum") of the direct products of the partition. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dprdsplit.2 (𝜑𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
dprdsplit.i (𝜑 → (𝐶𝐷) = ∅)
dprdsplit.u (𝜑𝐼 = (𝐶𝐷))
dprdsplit.s = (LSSum‘𝐺)
dprdsplit.1 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
Assertion
Ref Expression
dprdsplit (𝜑 → (𝐺 DProd 𝑆) = ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) (𝐺 DProd (𝑆𝐷))))

Proof of Theorem dprdsplit
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dprdsplit.1 . . 3 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
2 dprdsplit.2 . . . 4 (𝜑𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
32fdmd 6291 . . 3 (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
4 ssun1 4005 . . . . . . . 8 𝐶 ⊆ (𝐶𝐷)
5 dprdsplit.u . . . . . . . 8 (𝜑𝐼 = (𝐶𝐷))
64, 5syl5sseqr 3879 . . . . . . 7 (𝜑𝐶𝐼)
71, 3, 6dprdres 18788 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺dom DProd (𝑆𝐶) ∧ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆)))
87simpld 490 . . . . 5 (𝜑𝐺dom DProd (𝑆𝐶))
9 dprdsubg 18784 . . . . 5 (𝐺dom DProd (𝑆𝐶) → (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∈ (SubGrp‘𝐺))
108, 9syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∈ (SubGrp‘𝐺))
11 ssun2 4006 . . . . . . . 8 𝐷 ⊆ (𝐶𝐷)
1211, 5syl5sseqr 3879 . . . . . . 7 (𝜑𝐷𝐼)
131, 3, 12dprdres 18788 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺dom DProd (𝑆𝐷) ∧ (𝐺 DProd (𝑆𝐷)) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆)))
1413simpld 490 . . . . 5 (𝜑𝐺dom DProd (𝑆𝐷))
15 dprdsubg 18784 . . . . 5 (𝐺dom DProd (𝑆𝐷) → (𝐺 DProd (𝑆𝐷)) ∈ (SubGrp‘𝐺))
1614, 15syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑆𝐷)) ∈ (SubGrp‘𝐺))
17 dprdsplit.i . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐶𝐷) = ∅)
18 eqid 2825 . . . . . . 7 (Cntz‘𝐺) = (Cntz‘𝐺)
19 eqid 2825 . . . . . . 7 (0g𝐺) = (0g𝐺)
202, 17, 5, 18, 19dmdprdsplit 18807 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺dom DProd 𝑆 ↔ ((𝐺dom DProd (𝑆𝐶) ∧ 𝐺dom DProd (𝑆𝐷)) ∧ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘(𝐺 DProd (𝑆𝐷))) ∧ ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))) = {(0g𝐺)})))
211, 20mpbid 224 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐺dom DProd (𝑆𝐶) ∧ 𝐺dom DProd (𝑆𝐷)) ∧ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘(𝐺 DProd (𝑆𝐷))) ∧ ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))) = {(0g𝐺)}))
2221simp2d 1177 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘(𝐺 DProd (𝑆𝐷))))
23 dprdsplit.s . . . . 5 = (LSSum‘𝐺)
2423, 18lsmsubg 18427 . . . 4 (((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝐺 DProd (𝑆𝐷)) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘(𝐺 DProd (𝑆𝐷)))) → ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) (𝐺 DProd (𝑆𝐷))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
2510, 16, 22, 24syl3anc 1494 . . 3 (𝜑 → ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) (𝐺 DProd (𝑆𝐷))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
265eleq2d 2892 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐼𝑥 ∈ (𝐶𝐷)))
27 elun 3982 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝐶𝐷) ↔ (𝑥𝐶𝑥𝐷))
2826, 27syl6bb 279 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐼 ↔ (𝑥𝐶𝑥𝐷)))
2928biimpa 470 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑥𝐶𝑥𝐷))
30 fvres 6456 . . . . . . . 8 (𝑥𝐶 → ((𝑆𝐶)‘𝑥) = (𝑆𝑥))
3130adantl 475 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐶) → ((𝑆𝐶)‘𝑥) = (𝑆𝑥))
328adantr 474 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐶) → 𝐺dom DProd (𝑆𝐶))
332, 6fssresd 6312 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑆𝐶):𝐶⟶(SubGrp‘𝐺))
3433fdmd 6291 . . . . . . . . 9 (𝜑 → dom (𝑆𝐶) = 𝐶)
3534adantr 474 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐶) → dom (𝑆𝐶) = 𝐶)
36 simpr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐶) → 𝑥𝐶)
3732, 35, 36dprdub 18785 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐶) → ((𝑆𝐶)‘𝑥) ⊆ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)))
3831, 37eqsstr3d 3865 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐶) → (𝑆𝑥) ⊆ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)))
3923lsmub1 18429 . . . . . . . 8 (((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝐺 DProd (𝑆𝐷)) ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ⊆ ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) (𝐺 DProd (𝑆𝐷))))
4010, 16, 39syl2anc 579 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ⊆ ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) (𝐺 DProd (𝑆𝐷))))
4140adantr 474 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐶) → (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ⊆ ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) (𝐺 DProd (𝑆𝐷))))
4238, 41sstrd 3837 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐶) → (𝑆𝑥) ⊆ ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) (𝐺 DProd (𝑆𝐷))))
43 fvres 6456 . . . . . . . 8 (𝑥𝐷 → ((𝑆𝐷)‘𝑥) = (𝑆𝑥))
4443adantl 475 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐷) → ((𝑆𝐷)‘𝑥) = (𝑆𝑥))
4514adantr 474 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐷) → 𝐺dom DProd (𝑆𝐷))
462, 12fssresd 6312 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑆𝐷):𝐷⟶(SubGrp‘𝐺))
4746fdmd 6291 . . . . . . . . 9 (𝜑 → dom (𝑆𝐷) = 𝐷)
4847adantr 474 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐷) → dom (𝑆𝐷) = 𝐷)
49 simpr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐷) → 𝑥𝐷)
5045, 48, 49dprdub 18785 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐷) → ((𝑆𝐷)‘𝑥) ⊆ (𝐺 DProd (𝑆𝐷)))
5144, 50eqsstr3d 3865 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝑆𝑥) ⊆ (𝐺 DProd (𝑆𝐷)))
5223lsmub2 18430 . . . . . . . 8 (((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝐺 DProd (𝑆𝐷)) ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝐺 DProd (𝑆𝐷)) ⊆ ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) (𝐺 DProd (𝑆𝐷))))
5310, 16, 52syl2anc 579 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑆𝐷)) ⊆ ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) (𝐺 DProd (𝑆𝐷))))
5453adantr 474 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝐺 DProd (𝑆𝐷)) ⊆ ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) (𝐺 DProd (𝑆𝐷))))
5551, 54sstrd 3837 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝑆𝑥) ⊆ ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) (𝐺 DProd (𝑆𝐷))))
5642, 55jaodan 985 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐶𝑥𝐷)) → (𝑆𝑥) ⊆ ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) (𝐺 DProd (𝑆𝐷))))
5729, 56syldan 585 . . 3 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑆𝑥) ⊆ ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) (𝐺 DProd (𝑆𝐷))))
581, 3, 25, 57dprdlub 18786 . 2 (𝜑 → (𝐺 DProd 𝑆) ⊆ ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) (𝐺 DProd (𝑆𝐷))))
597simprd 491 . . 3 (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆))
6013simprd 491 . . 3 (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑆𝐷)) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆))
61 dprdsubg 18784 . . . . 5 (𝐺dom DProd 𝑆 → (𝐺 DProd 𝑆) ∈ (SubGrp‘𝐺))
621, 61syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 DProd 𝑆) ∈ (SubGrp‘𝐺))
6323lsmlub 18436 . . . 4 (((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝐺 DProd (𝑆𝐷)) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝐺 DProd 𝑆) ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆) ∧ (𝐺 DProd (𝑆𝐷)) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆)) ↔ ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) (𝐺 DProd (𝑆𝐷))) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆)))
6410, 16, 62, 63syl3anc 1494 . . 3 (𝜑 → (((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆) ∧ (𝐺 DProd (𝑆𝐷)) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆)) ↔ ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) (𝐺 DProd (𝑆𝐷))) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆)))
6559, 60, 64mpbi2and 703 . 2 (𝜑 → ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) (𝐺 DProd (𝑆𝐷))) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆))
6658, 65eqssd 3844 1 (𝜑 → (𝐺 DProd 𝑆) = ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) (𝐺 DProd (𝑆𝐷))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386  wo 878  w3a 1111   = wceq 1656  wcel 2164  cun 3796  cin 3797  wss 3798  c0 4146  {csn 4399   class class class wbr 4875  dom cdm 5346  cres 5348  wf 6123  cfv 6127  (class class class)co 6910  0gc0g 16460  SubGrpcsubg 17946  Cntzccntz 18105  LSSumclsm 18407   DProd cdprd 18753
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-inf2 8822  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-int 4700  df-iun 4744  df-iin 4745  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-se 5306  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-isom 6136  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-of 7162  df-om 7332  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-supp 7565  df-tpos 7622  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-1o 7831  df-oadd 7835  df-er 8014  df-map 8129  df-ixp 8182  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-fin 8232  df-fsupp 8551  df-oi 8691  df-card 9085  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-nn 11358  df-2 11421  df-n0 11626  df-z 11712  df-uz 11976  df-fz 12627  df-fzo 12768  df-seq 13103  df-hash 13418  df-ndx 16232  df-slot 16233  df-base 16235  df-sets 16236  df-ress 16237  df-plusg 16325  df-0g 16462  df-gsum 16463  df-mre 16606  df-mrc 16607  df-acs 16609  df-mgm 17602  df-sgrp 17644  df-mnd 17655  df-mhm 17695  df-submnd 17696  df-grp 17786  df-minusg 17787  df-sbg 17788  df-mulg 17902  df-subg 17949  df-ghm 18016  df-gim 18059  df-cntz 18107  df-oppg 18133  df-lsm 18409  df-cmn 18555  df-dprd 18755
This theorem is referenced by:  dprdpr  18810  dpjlsm  18814  ablfac1eulem  18832  ablfac1eu  18833  pgpfaclem1  18841
  Copyright terms: Public domain W3C validator