Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprdsplit Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dprdsplit 18808
 Description: The direct product is the binary subgroup product ("sum") of the direct products of the partition. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dprdsplit.2 (𝜑𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
dprdsplit.i (𝜑 → (𝐶𝐷) = ∅)
dprdsplit.u (𝜑𝐼 = (𝐶𝐷))
dprdsplit.s = (LSSum‘𝐺)
dprdsplit.1 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
Assertion
Ref Expression
dprdsplit (𝜑 → (𝐺 DProd 𝑆) = ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) (𝐺 DProd (𝑆𝐷))))

Proof of Theorem dprdsplit
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dprdsplit.1 . . 3 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
2 dprdsplit.2 . . . 4 (𝜑𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
32fdmd 6291 . . 3 (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
4 ssun1 4005 . . . . . . . 8 𝐶 ⊆ (𝐶𝐷)
5 dprdsplit.u . . . . . . . 8 (𝜑𝐼 = (𝐶𝐷))
64, 5syl5sseqr 3879 . . . . . . 7 (𝜑𝐶𝐼)
71, 3, 6dprdres 18788 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺dom DProd (𝑆𝐶) ∧ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆)))
87simpld 490 . . . . 5 (𝜑𝐺dom DProd (𝑆𝐶))
9 dprdsubg 18784 . . . . 5 (𝐺dom DProd (𝑆𝐶) → (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∈ (SubGrp‘𝐺))
108, 9syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∈ (SubGrp‘𝐺))
11 ssun2 4006 . . . . . . . 8 𝐷 ⊆ (𝐶𝐷)
1211, 5syl5sseqr 3879 . . . . . . 7 (𝜑𝐷𝐼)
131, 3, 12dprdres 18788 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺dom DProd (𝑆𝐷) ∧ (𝐺 DProd (𝑆𝐷)) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆)))
1413simpld 490 . . . . 5 (𝜑𝐺dom DProd (𝑆𝐷))
15 dprdsubg 18784 . . . . 5 (𝐺dom DProd (𝑆𝐷) → (𝐺 DProd (𝑆𝐷)) ∈ (SubGrp‘𝐺))
1614, 15syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑆𝐷)) ∈ (SubGrp‘𝐺))
17 dprdsplit.i . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐶𝐷) = ∅)
18 eqid 2825 . . . . . . 7 (Cntz‘𝐺) = (Cntz‘𝐺)
19 eqid 2825 . . . . . . 7 (0g𝐺) = (0g𝐺)
202, 17, 5, 18, 19dmdprdsplit 18807 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺dom DProd 𝑆 ↔ ((𝐺dom DProd (𝑆𝐶) ∧ 𝐺dom DProd (𝑆𝐷)) ∧ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘(𝐺 DProd (𝑆𝐷))) ∧ ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))) = {(0g𝐺)})))
211, 20mpbid 224 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐺dom DProd (𝑆𝐶) ∧ 𝐺dom DProd (𝑆𝐷)) ∧ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘(𝐺 DProd (𝑆𝐷))) ∧ ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))) = {(0g𝐺)}))
2221simp2d 1177 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘(𝐺 DProd (𝑆𝐷))))
23 dprdsplit.s . . . . 5 = (LSSum‘𝐺)
2423, 18lsmsubg 18427 . . . 4 (((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝐺 DProd (𝑆𝐷)) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘(𝐺 DProd (𝑆𝐷)))) → ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) (𝐺 DProd (𝑆𝐷))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
2510, 16, 22, 24syl3anc 1494 . . 3 (𝜑 → ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) (𝐺 DProd (𝑆𝐷))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
265eleq2d 2892 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐼𝑥 ∈ (𝐶𝐷)))
27 elun 3982 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝐶𝐷) ↔ (𝑥𝐶𝑥𝐷))
2826, 27syl6bb 279 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐼 ↔ (𝑥𝐶𝑥𝐷)))
2928biimpa 470 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑥𝐶𝑥𝐷))
30 fvres 6456 . . . . . . . 8 (𝑥𝐶 → ((𝑆𝐶)‘𝑥) = (𝑆𝑥))
3130adantl 475 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐶) → ((𝑆𝐶)‘𝑥) = (𝑆𝑥))
328adantr 474 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐶) → 𝐺dom DProd (𝑆𝐶))
332, 6fssresd 6312 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑆𝐶):𝐶⟶(SubGrp‘𝐺))
3433fdmd 6291 . . . . . . . . 9 (𝜑 → dom (𝑆𝐶) = 𝐶)
3534adantr 474 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐶) → dom (𝑆𝐶) = 𝐶)
36 simpr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐶) → 𝑥𝐶)
3732, 35, 36dprdub 18785 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐶) → ((𝑆𝐶)‘𝑥) ⊆ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)))
3831, 37eqsstr3d 3865 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐶) → (𝑆𝑥) ⊆ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)))
3923lsmub1 18429 . . . . . . . 8 (((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝐺 DProd (𝑆𝐷)) ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ⊆ ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) (𝐺 DProd (𝑆𝐷))))
4010, 16, 39syl2anc 579 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ⊆ ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) (𝐺 DProd (𝑆𝐷))))
4140adantr 474 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐶) → (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ⊆ ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) (𝐺 DProd (𝑆𝐷))))
4238, 41sstrd 3837 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐶) → (𝑆𝑥) ⊆ ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) (𝐺 DProd (𝑆𝐷))))
43 fvres 6456 . . . . . . . 8 (𝑥𝐷 → ((𝑆𝐷)‘𝑥) = (𝑆𝑥))
4443adantl 475 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐷) → ((𝑆𝐷)‘𝑥) = (𝑆𝑥))
4514adantr 474 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐷) → 𝐺dom DProd (𝑆𝐷))
462, 12fssresd 6312 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑆𝐷):𝐷⟶(SubGrp‘𝐺))
4746fdmd 6291 . . . . . . . . 9 (𝜑 → dom (𝑆𝐷) = 𝐷)
4847adantr 474 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐷) → dom (𝑆𝐷) = 𝐷)
49 simpr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐷) → 𝑥𝐷)
5045, 48, 49dprdub 18785 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐷) → ((𝑆𝐷)‘𝑥) ⊆ (𝐺 DProd (𝑆𝐷)))
5144, 50eqsstr3d 3865 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝑆𝑥) ⊆ (𝐺 DProd (𝑆𝐷)))
5223lsmub2 18430 . . . . . . . 8 (((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝐺 DProd (𝑆𝐷)) ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝐺 DProd (𝑆𝐷)) ⊆ ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) (𝐺 DProd (𝑆𝐷))))
5310, 16, 52syl2anc 579 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑆𝐷)) ⊆ ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) (𝐺 DProd (𝑆𝐷))))
5453adantr 474 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝐺 DProd (𝑆𝐷)) ⊆ ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) (𝐺 DProd (𝑆𝐷))))
5551, 54sstrd 3837 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝑆𝑥) ⊆ ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) (𝐺 DProd (𝑆𝐷))))
5642, 55jaodan 985 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐶𝑥𝐷)) → (𝑆𝑥) ⊆ ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) (𝐺 DProd (𝑆𝐷))))
5729, 56syldan 585 . . 3 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑆𝑥) ⊆ ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) (𝐺 DProd (𝑆𝐷))))
581, 3, 25, 57dprdlub 18786 . 2 (𝜑 → (𝐺 DProd 𝑆) ⊆ ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) (𝐺 DProd (𝑆𝐷))))
597simprd 491 . . 3 (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆))
6013simprd 491 . . 3 (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑆𝐷)) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆))
61 dprdsubg 18784 . . . . 5 (𝐺dom DProd 𝑆 → (𝐺 DProd 𝑆) ∈ (SubGrp‘𝐺))
621, 61syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 DProd 𝑆) ∈ (SubGrp‘𝐺))
6323lsmlub 18436 . . . 4 (((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝐺 DProd (𝑆𝐷)) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝐺 DProd 𝑆) ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆) ∧ (𝐺 DProd (𝑆𝐷)) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆)) ↔ ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) (𝐺 DProd (𝑆𝐷))) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆)))
6410, 16, 62, 63syl3anc 1494 . . 3 (𝜑 → (((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆) ∧ (𝐺 DProd (𝑆𝐷)) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆)) ↔ ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) (𝐺 DProd (𝑆𝐷))) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆)))
6559, 60, 64mpbi2and 703 . 2 (𝜑 → ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) (𝐺 DProd (𝑆𝐷))) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆))
6658, 65eqssd 3844 1 (𝜑 → (𝐺 DProd 𝑆) = ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) (𝐺 DProd (𝑆𝐷))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   ∨ wo 878   ∧ w3a 1111   = wceq 1656   ∈ wcel 2164   ∪ cun 3796   ∩ cin 3797   ⊆ wss 3798  ∅c0 4146  {csn 4399   class class class wbr 4875  dom cdm 5346   ↾ cres 5348  ⟶wf 6123  ‘cfv 6127  (class class class)co 6910  0gc0g 16460  SubGrpcsubg 17946  Cntzccntz 18105  LSSumclsm 18407   DProd cdprd 18753 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-inf2 8822  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-int 4700  df-iun 4744  df-iin 4745  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-se 5306  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-isom 6136  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-of 7162  df-om 7332  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-supp 7565  df-tpos 7622  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-1o 7831  df-oadd 7835  df-er 8014  df-map 8129  df-ixp 8182  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-fin 8232  df-fsupp 8551  df-oi 8691  df-card 9085  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-nn 11358  df-2 11421  df-n0 11626  df-z 11712  df-uz 11976  df-fz 12627  df-fzo 12768  df-seq 13103  df-hash 13418  df-ndx 16232  df-slot 16233  df-base 16235  df-sets 16236  df-ress 16237  df-plusg 16325  df-0g 16462  df-gsum 16463  df-mre 16606  df-mrc 16607  df-acs 16609  df-mgm 17602  df-sgrp 17644  df-mnd 17655  df-mhm 17695  df-submnd 17696  df-grp 17786  df-minusg 17787  df-sbg 17788  df-mulg 17902  df-subg 17949  df-ghm 18016  df-gim 18059  df-cntz 18107  df-oppg 18133  df-lsm 18409  df-cmn 18555  df-dprd 18755 This theorem is referenced by:  dprdpr  18810  dpjlsm  18814  ablfac1eulem  18832  ablfac1eu  18833  pgpfaclem1  18841
 Copyright terms: Public domain W3C validator