Theorem dprdsplit 20121

Description: The direct product is the binary subgroup product ("sum") of the direct products of the partition. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dprdsplit.2	⊢ (𝜑 → 𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
dprdsplit.i	⊢ (𝜑 → (𝐶 ∩ 𝐷) = ∅)
dprdsplit.u	⊢ (𝜑 → 𝐼 = (𝐶 ∪ 𝐷))
dprdsplit.s	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
dprdsplit.1	⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
dprdsplit	⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd 𝑆) = ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ⊕ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))))

Proof of Theorem dprdsplit

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dprdsplit.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)
2		dprdsplit.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
3	2	fdmd 6718	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
4		ssun1 4132	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 ⊆ (𝐶 ∪ 𝐷)
5		dprdsplit.u	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 = (𝐶 ∪ 𝐷))
6	4, 5	sseqtrrid 3981	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐼)
7	1, 3, 6	dprdres 20101	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐶) ∧ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆)))
8	7	simpld 499	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐶))
9		dprdsubg 20097	. . . . 5 ⊢ (𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐶) → (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∈ (SubGrp‘𝐺))
10	8, 9	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∈ (SubGrp‘𝐺))
11		ssun2 4133	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 ⊆ (𝐶 ∪ 𝐷)
12	11, 5	sseqtrrid 3981	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ 𝐼)
13	1, 3, 12	dprdres 20101	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐷) ∧ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆)))
14	13	simpld 499	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐷))
15		dprdsubg 20097	. . . . 5 ⊢ (𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐷) → (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)) ∈ (SubGrp‘𝐺))
16	14, 15	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)) ∈ (SubGrp‘𝐺))
17		dprdsplit.i	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∩ 𝐷) = ∅)
18		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (Cntz‘𝐺) = (Cntz‘𝐺)
19		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
20	2, 17, 5, 18, 19	dmdprdsplit 20120	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺dom DProd 𝑆 ↔ ((𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐶) ∧ 𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐷)) ∧ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘(𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) ∧ ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) = {(0g‘𝐺)})))
21	1, 20	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐶) ∧ 𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐷)) ∧ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘(𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) ∧ ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) = {(0g‘𝐺)}))
22	21	simp2d 1161	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘(𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))))
23		dprdsplit.s	. . . . 5 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
24	23, 18	lsmsubg 19725	. . . 4 ⊢ (((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘(𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)))) → ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ⊕ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
25	10, 16, 22, 24	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ⊕ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
26	5	eleq2d 2849	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↔ 𝑥 ∈ (𝐶 ∪ 𝐷)))
27		elun 4108	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐶 ∪ 𝐷) ↔ (𝑥 ∈ 𝐶 ∨ 𝑥 ∈ 𝐷))
28	26, 27	bitrdi 290	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↔ (𝑥 ∈ 𝐶 ∨ 𝑥 ∈ 𝐷)))
29	28	biimpa 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑥 ∈ 𝐶 ∨ 𝑥 ∈ 𝐷))
30		fvres 6902	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐶 → ((𝑆 ↾ 𝐶)‘𝑥) = (𝑆‘𝑥))
31	30	adantl 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → ((𝑆 ↾ 𝐶)‘𝑥) = (𝑆‘𝑥))
32	8	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐶))
33	2, 6	fssresd 6747	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ↾ 𝐶):𝐶⟶(SubGrp‘𝐺))
34	33	fdmd 6718	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 ↾ 𝐶) = 𝐶)
35	34	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → dom (𝑆 ↾ 𝐶) = 𝐶)
36		simpr 489	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝑥 ∈ 𝐶)
37	32, 35, 36	dprdub 20098	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → ((𝑆 ↾ 𝐶)‘𝑥) ⊆ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)))
38	31, 37	eqsstrrd 3973	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (𝑆‘𝑥) ⊆ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)))
39	23	lsmub1 19728	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)) ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ⊆ ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ⊕ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))))
40	10, 16, 39	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ⊆ ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ⊕ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))))
41	40	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ⊆ ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ⊕ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))))
42	38, 41	sstrd 3948	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (𝑆‘𝑥) ⊆ ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ⊕ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))))
43		fvres 6902	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → ((𝑆 ↾ 𝐷)‘𝑥) = (𝑆‘𝑥))
44	43	adantl 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((𝑆 ↾ 𝐷)‘𝑥) = (𝑆‘𝑥))
45	14	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝐺dom DProd (𝑆 ↾ 𝐷))
46	2, 12	fssresd 6747	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ↾ 𝐷):𝐷⟶(SubGrp‘𝐺))
47	46	fdmd 6718	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 ↾ 𝐷) = 𝐷)
48	47	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → dom (𝑆 ↾ 𝐷) = 𝐷)
49		simpr 489	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝑥 ∈ 𝐷)
50	45, 48, 49	dprdub 20098	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((𝑆 ↾ 𝐷)‘𝑥) ⊆ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)))
51	44, 50	eqsstrrd 3973	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑆‘𝑥) ⊆ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)))
52	23	lsmub2 19729	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)) ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)) ⊆ ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ⊕ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))))
53	10, 16, 52	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)) ⊆ ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ⊕ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))))
54	53	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)) ⊆ ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ⊕ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))))
55	51, 54	sstrd 3948	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑆‘𝑥) ⊆ ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ⊕ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))))
56	42, 55	jaodan 972	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∨ 𝑥 ∈ 𝐷)) → (𝑆‘𝑥) ⊆ ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ⊕ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))))
57	29, 56	syldan 602	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑆‘𝑥) ⊆ ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ⊕ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))))
58	1, 3, 25, 57	dprdlub 20099	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd 𝑆) ⊆ ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ⊕ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))))
59	7	simprd 500	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆))
60	13	simprd 500	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆))
61		dprdsubg 20097	. . . . 5 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → (𝐺 DProd 𝑆) ∈ (SubGrp‘𝐺))
62	1, 61	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd 𝑆) ∈ (SubGrp‘𝐺))
63	23	lsmlub 19735	. . . 4 ⊢ (((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝐺 DProd 𝑆) ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆) ∧ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆)) ↔ ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ⊕ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆)))
64	10, 16, 62, 63	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆) ∧ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷)) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆)) ↔ ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ⊕ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆)))
65	59, 60, 64	mpbi2and 724	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ⊕ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆))
66	58, 65	eqssd 3955	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd 𝑆) = ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐶)) ⊕ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ 𝐷))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ∪ cun 3904   ∩ cin 3905   ⊆ wss 3906  ∅c0 4287  {csn 4590   class class class wbr 5110  dom cdm 5663   ↾ cres 5665  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  0_gc0g 17493  SubGrpcsubg 19187  Cntzccntz 19386  LSSumclsm 19705   DProd cdprd 20066

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-iin 4960  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7676  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8158  df-tpos 8223  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-2o 8455  df-er 8695  df-map 8827  df-ixp 8897  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-fsupp 9323  df-oi 9473  df-card 9926  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-2 12304  df-n0 12506  df-z 12593  df-uz 12864  df-fz 13537  df-fzo 13685  df-seq 14040  df-hash 14369  df-sets 17225  df-slot 17243  df-ndx 17255  df-base 17271  df-ress 17292  df-plusg 17324  df-0g 17495  df-gsum 17496  df-mre 17639  df-mrc 17640  df-acs 17642  df-mgm 18699  df-sgrp 18778  df-mnd 18794  df-mhm 18842  df-submnd 18843  df-grp 19004  df-minusg 19005  df-sbg 19006  df-mulg 19135  df-subg 19190  df-ghm 19285  df-gim 19330  df-cntz 19388  df-oppg 19417  df-lsm 19707  df-cmn 19853  df-dprd 20068

This theorem is referenced by:  dprdpr  20123  dpjlsm  20127  ablfac1eulem  20145  ablfac1eu  20146  pgpfaclem1  20154