MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspindp2l Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lspindp2l 21039
Description: Alternate way to say 3 vectors are mutually independent (rotate left). (Contributed by NM, 10-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lspindp1.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspindp1.o 0 = (0g𝑊)
lspindp1.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspindp1.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lspindp1.y (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
lspindp1.z (𝜑𝑌𝑉)
lspindp1.x (𝜑𝑍𝑉)
lspindp1.q (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
lspindp1.e (𝜑 → ¬ 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
Assertion
Ref Expression
lspindp2l (𝜑 → ((𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍})))

Proof of Theorem lspindp2l
StepHypRef Expression
1 lspindp1.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑊)
2 lspindp1.o . . . . 5 0 = (0g𝑊)
3 lspindp1.n . . . . 5 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
4 lspindp1.w . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
5 lspindp1.y . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
6 lspindp1.z . . . . 5 (𝜑𝑌𝑉)
7 lspindp1.x . . . . 5 (𝜑𝑍𝑉)
8 lspindp1.q . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
9 lspindp1.e . . . . 5 (𝜑 → ¬ 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9lspindp1 21038 . . . 4 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑍}) ≠ (𝑁‘{𝑌}) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑌})))
1110simpld 493 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘{𝑍}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
1211necomd 2985 . 2 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
1310simprd 494 . . 3 (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑌}))
14 prcom 4738 . . . . 5 {𝑍, 𝑌} = {𝑌, 𝑍}
1514fveq2i 6899 . . . 4 (𝑁‘{𝑍, 𝑌}) = (𝑁‘{𝑌, 𝑍})
1615eleq2i 2817 . . 3 (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑌}) ↔ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
1713, 16sylnib 327 . 2 (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
1812, 17jca 510 1 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2929  cdif 3941  {csn 4630  {cpr 4632  cfv 6549  Basecbs 17188  0gc0g 17429  LSpanclspn 20872  LVecclvec 21004
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11201  ax-resscn 11202  ax-1cn 11203  ax-icn 11204  ax-addcl 11205  ax-addrcl 11206  ax-mulcl 11207  ax-mulrcl 11208  ax-mulcom 11209  ax-addass 11210  ax-mulass 11211  ax-distr 11212  ax-i2m1 11213  ax-1ne0 11214  ax-1rid 11215  ax-rnegex 11216  ax-rrecex 11217  ax-cnre 11218  ax-pre-lttri 11219  ax-pre-lttrn 11220  ax-pre-ltadd 11221  ax-pre-mulgt0 11222
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-tpos 8232  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11287  df-mnf 11288  df-xr 11289  df-ltxr 11290  df-le 11291  df-sub 11483  df-neg 11484  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17189  df-ress 17218  df-plusg 17254  df-mulr 17255  df-0g 17431  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-submnd 18749  df-grp 18906  df-minusg 18907  df-sbg 18908  df-subg 19091  df-cntz 19285  df-lsm 19608  df-cmn 19754  df-abl 19755  df-mgp 20092  df-rng 20110  df-ur 20139  df-ring 20192  df-oppr 20290  df-dvdsr 20313  df-unit 20314  df-invr 20344  df-drng 20643  df-lmod 20762  df-lss 20833  df-lsp 20873  df-lvec 21005
This theorem is referenced by:  mapdh8e  41389
  Copyright terms: Public domain W3C validator