Theorem lspindp2l 21104

Description: Alternate way to say 3 vectors are mutually independent (rotate left). (Contributed by NM, 10-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspindp1.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspindp1.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lspindp1.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspindp1.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lspindp1.y	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
lspindp1.z	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
lspindp1.x	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
lspindp1.q	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
lspindp1.e	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))

Assertion

Ref	Expression
lspindp2l	⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍})))

Proof of Theorem lspindp2l

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspindp1.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		lspindp1.o	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
3		lspindp1.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
4		lspindp1.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
5		lspindp1.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
6		lspindp1.z	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
7		lspindp1.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
8		lspindp1.q	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
9		lspindp1.e	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	lspindp1 21103	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑍}) ≠ (𝑁‘{𝑌}) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑌})))
11	10	simpld 494	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑍}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
12	11	necomd 2986	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
13	10	simprd 495	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑌}))
14		prcom 4712	. . . . 5 ⊢ {𝑍, 𝑌} = {𝑌, 𝑍}
15	14	fveq2i 6889	. . . 4 ⊢ (𝑁‘{𝑍, 𝑌}) = (𝑁‘{𝑌, 𝑍})
16	15	eleq2i 2825	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑌}) ↔ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
17	13, 16	sylnib 328	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
18	12, 17	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍})))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2931   ∖ cdif 3928  {csn 4606  {cpr 4608  ‘cfv 6541  Basecbs 17229  0_gc0g 17455  LSpanclspn 20937  LVecclvec 21069

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5259  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737  ax-cnex 11193  ax-resscn 11194  ax-1cn 11195  ax-icn 11196  ax-addcl 11197  ax-addrcl 11198  ax-mulcl 11199  ax-mulrcl 11200  ax-mulcom 11201  ax-addass 11202  ax-mulass 11203  ax-distr 11204  ax-i2m1 11205  ax-1ne0 11206  ax-1rid 11207  ax-rnegex 11208  ax-rrecex 11209  ax-cnre 11210  ax-pre-lttri 11211  ax-pre-lttrn 11212  ax-pre-ltadd 11213  ax-pre-mulgt0 11214

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-int 4927  df-iun 4973  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7870  df-1st 7996  df-2nd 7997  df-tpos 8233  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-er 8727  df-en 8968  df-dom 8969  df-sdom 8970  df-pnf 11279  df-mnf 11280  df-xr 11281  df-ltxr 11282  df-le 11283  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17230  df-ress 17253  df-plusg 17286  df-mulr 17287  df-0g 17457  df-mgm 18622  df-sgrp 18701  df-mnd 18717  df-submnd 18766  df-grp 18923  df-minusg 18924  df-sbg 18925  df-subg 19110  df-cntz 19304  df-lsm 19622  df-cmn 19768  df-abl 19769  df-mgp 20106  df-rng 20118  df-ur 20147  df-ring 20200  df-oppr 20302  df-dvdsr 20325  df-unit 20326  df-invr 20356  df-drng 20699  df-lmod 20828  df-lss 20898  df-lsp 20938  df-lvec 21070

This theorem is referenced by:  mapdh8e  41745