Theorem lspindp2l 19628

Description: Alternate way to say 3 vectors are mutually independent (rotate left). (Contributed by NM, 10-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspindp1.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspindp1.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lspindp1.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspindp1.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lspindp1.y	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
lspindp1.z	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
lspindp1.x	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
lspindp1.q	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
lspindp1.e	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))

Assertion

Ref	Expression
lspindp2l	⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍})))

Proof of Theorem lspindp2l

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspindp1.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		lspindp1.o	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
3		lspindp1.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
4		lspindp1.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
5		lspindp1.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
6		lspindp1.z	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
7		lspindp1.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
8		lspindp1.q	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
9		lspindp1.e	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	lspindp1 19627	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑍}) ≠ (𝑁‘{𝑌}) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑌})))
11	10	simpld 487	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑍}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
12	11	necomd 3023	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
13	10	simprd 488	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑌}))
14		prcom 4542	. . . . 5 ⊢ {𝑍, 𝑌} = {𝑌, 𝑍}
15	14	fveq2i 6502	. . . 4 ⊢ (𝑁‘{𝑍, 𝑌}) = (𝑁‘{𝑌, 𝑍})
16	15	eleq2i 2858	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑌}) ↔ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
17	13, 16	sylnib 320	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
18	12, 17	jca 504	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍})))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 387   = wceq 1507   ∈ wcel 2050   ≠ wne 2968   ∖ cdif 3827  {csn 4441  {cpr 4443  ‘cfv 6188  Basecbs 16339  0_gc0g 16569  LSpanclspn 19465  LVecclvec 19596

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2751  ax-rep 5049  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-cnex 10391  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411  ax-pre-mulgt0 10412

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2760  df-cleq 2772  df-clel 2847  df-nfc 2919  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3418  df-sbc 3683  df-csb 3788  df-dif 3833  df-un 3835  df-in 3837  df-ss 3844  df-pss 3846  df-nul 4180  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-int 4750  df-iun 4794  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-om 7397  df-1st 7501  df-2nd 7502  df-tpos 7695  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-er 8089  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673  df-nn 11440  df-2 11503  df-3 11504  df-ndx 16342  df-slot 16343  df-base 16345  df-sets 16346  df-ress 16347  df-plusg 16434  df-mulr 16435  df-0g 16571  df-mgm 17710  df-sgrp 17752  df-mnd 17763  df-submnd 17804  df-grp 17894  df-minusg 17895  df-sbg 17896  df-subg 18060  df-cntz 18218  df-lsm 18522  df-cmn 18668  df-abl 18669  df-mgp 18963  df-ur 18975  df-ring 19022  df-oppr 19096  df-dvdsr 19114  df-unit 19115  df-invr 19145  df-drng 19227  df-lmod 19358  df-lss 19426  df-lsp 19466  df-lvec 19597

This theorem is referenced by:  mapdh8e  38362