Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspindp1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lspindp1 19908
 Description: Alternate way to say 3 vectors are mutually independent (swap 1st and 2nd). (Contributed by NM, 11-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lspindp1.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspindp1.o 0 = (0g𝑊)
lspindp1.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspindp1.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lspindp1.y (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
lspindp1.z (𝜑𝑌𝑉)
lspindp1.x (𝜑𝑍𝑉)
lspindp1.q (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
lspindp1.e (𝜑 → ¬ 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
Assertion
Ref Expression
lspindp1 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑍}) ≠ (𝑁‘{𝑌}) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑌})))

Proof of Theorem lspindp1
StepHypRef Expression
1 lspindp1.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑊)
2 lspindp1.n . . . 4 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
3 lspindp1.w . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
4 lspindp1.x . . . 4 (𝜑𝑍𝑉)
5 lspindp1.y . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
65eldifad 3932 . . . 4 (𝜑𝑋𝑉)
7 lspindp1.z . . . 4 (𝜑𝑌𝑉)
8 lspindp1.e . . . 4 (𝜑 → ¬ 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
91, 2, 3, 4, 6, 7, 8lspindpi 19907 . . 3 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑍}) ≠ (𝑁‘{𝑋}) ∧ (𝑁‘{𝑍}) ≠ (𝑁‘{𝑌})))
109simprd 499 . 2 (𝜑 → (𝑁‘{𝑍}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
11 lspindp1.o . . . 4 0 = (0g𝑊)
123adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑌})) → 𝑊 ∈ LVec)
135adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑌})) → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
144adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑌})) → 𝑍𝑉)
157adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑌})) → 𝑌𝑉)
16 lspindp1.q . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
1716adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑌})) → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
18 simpr 488 . . . 4 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑌})) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑌}))
191, 11, 2, 12, 13, 14, 15, 17, 18lspexch 19904 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑌})) → 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
208, 19mtand 815 . 2 (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑌}))
2110, 20jca 515 1 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑍}) ≠ (𝑁‘{𝑌}) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑌})))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2115   ≠ wne 3014   ∖ cdif 3917  {csn 4551  {cpr 4553  ‘cfv 6344  Basecbs 16486  0gc0g 16716  LSpanclspn 19746  LVecclvec 19877 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7456  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3483  df-sbc 3760  df-csb 3868  df-dif 3923  df-un 3925  df-in 3927  df-ss 3937  df-pss 3939  df-nul 4278  df-if 4452  df-pw 4525  df-sn 4552  df-pr 4554  df-tp 4556  df-op 4558  df-uni 4826  df-int 4864  df-iun 4908  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6136  df-ord 6182  df-on 6183  df-lim 6184  df-suc 6185  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7576  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-tpos 7889  df-wrecs 7944  df-recs 8005  df-rdg 8043  df-er 8286  df-en 8507  df-dom 8508  df-sdom 8509  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-nn 11638  df-2 11700  df-3 11701  df-ndx 16489  df-slot 16490  df-base 16492  df-sets 16493  df-ress 16494  df-plusg 16581  df-mulr 16582  df-0g 16718  df-mgm 17855  df-sgrp 17904  df-mnd 17915  df-submnd 17960  df-grp 18109  df-minusg 18110  df-sbg 18111  df-subg 18279  df-cntz 18450  df-lsm 18764  df-cmn 18911  df-abl 18912  df-mgp 19243  df-ur 19255  df-ring 19302  df-oppr 19379  df-dvdsr 19397  df-unit 19398  df-invr 19428  df-drng 19507  df-lmod 19639  df-lss 19707  df-lsp 19747  df-lvec 19878 This theorem is referenced by:  lspindp2l  19909  lspindp2  19910  mapdindp3  38964  mapdindp4  38965  mapdheq4lem  38973  mapdheq4  38974  mapdh6lem1N  38975  mapdh6lem2N  38976  mapdh6aN  38977  mapdh6dN  38981  mapdh6eN  38982  mapdh6fN  38983  mapdh7dN  38992  hdmap1l6lem1  39049  hdmap1l6lem2  39050  hdmap1l6a  39051  hdmap1l6d  39055  hdmap1l6e  39056  hdmap1l6f  39057
 Copyright terms: Public domain W3C validator