Theorem lspindp1 21049

Description: Alternate way to say 3 vectors are mutually independent (swap 1st and 2nd). (Contributed by NM, 11-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspindp1.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspindp1.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lspindp1.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspindp1.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lspindp1.y	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
lspindp1.z	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
lspindp1.x	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
lspindp1.q	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
lspindp1.e	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))

Assertion

Ref	Expression
lspindp1	⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑍}) ≠ (𝑁‘{𝑌}) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑌})))

Proof of Theorem lspindp1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspindp1.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		lspindp1.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
3		lspindp1.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
4		lspindp1.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
5		lspindp1.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
6	5	eldifad 3928	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
7		lspindp1.z	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
8		lspindp1.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
9	1, 2, 3, 4, 6, 7, 8	lspindpi 21048	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑍}) ≠ (𝑁‘{𝑋}) ∧ (𝑁‘{𝑍}) ≠ (𝑁‘{𝑌})))
10	9	simprd 495	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑍}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
11		lspindp1.o	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
12	3	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑌})) → 𝑊 ∈ LVec)
13	5	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑌})) → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
14	4	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑌})) → 𝑍 ∈ 𝑉)
15	7	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑌})) → 𝑌 ∈ 𝑉)
16		lspindp1.q	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
17	16	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑌})) → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
18		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑌})) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑌}))
19	1, 11, 2, 12, 13, 14, 15, 17, 18	lspexch 21045	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑌})) → 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}))
20	8, 19	mtand 815	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑌}))
21	10, 20	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑍}) ≠ (𝑁‘{𝑌}) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑍, 𝑌})))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926   ∖ cdif 3913  {csn 4591  {cpr 4593  ‘cfv 6513  Basecbs 17185  0_gc0g 17408  LSpanclspn 20883  LVecclvec 21015

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4913  df-iun 4959  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6276  df-ord 6337  df-on 6338  df-lim 6339  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-riota 7346  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-om 7845  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-tpos 8207  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8380  df-er 8673  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-pnf 11216  df-mnf 11217  df-xr 11218  df-ltxr 11219  df-le 11220  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12188  df-2 12250  df-3 12251  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17186  df-ress 17207  df-plusg 17239  df-mulr 17240  df-0g 17410  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18717  df-grp 18874  df-minusg 18875  df-sbg 18876  df-subg 19061  df-cntz 19255  df-lsm 19572  df-cmn 19718  df-abl 19719  df-mgp 20056  df-rng 20068  df-ur 20097  df-ring 20150  df-oppr 20252  df-dvdsr 20272  df-unit 20273  df-invr 20303  df-drng 20646  df-lmod 20774  df-lss 20844  df-lsp 20884  df-lvec 21016

This theorem is referenced by:  lspindp2l  21050  lspindp2  21051  mapdindp3  41711  mapdindp4  41712  mapdheq4lem  41720  mapdheq4  41721  mapdh6lem1N  41722  mapdh6lem2N  41723  mapdh6aN  41724  mapdh6dN  41728  mapdh6eN  41729  mapdh6fN  41730  mapdh7dN  41739  hdmap1l6lem1  41796  hdmap1l6lem2  41797  hdmap1l6a  41798  hdmap1l6d  41802  hdmap1l6e  41803  hdmap1l6f  41804