Theorem lcd0v 42057

Description: The zero functional in the set of functionals with closed kernels. (Contributed by NM, 20-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcd0v.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcd0v.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcd0v.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
lcd0v.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
lcd0v.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
lcd0v.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
lcd0v.o	⊢ 𝑂 = (0g‘𝐶)
lcd0v.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))

Assertion

Ref	Expression
lcd0v	⊢ (𝜑 → 𝑂 = (𝑉 × { 0 }))

Proof of Theorem lcd0v

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcd0v.o	. . 3 ⊢ 𝑂 = (0g‘𝐶)
2		lcd0v.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ ((ocH‘𝐾)‘𝑊) = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
4		lcd0v.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
5		lcd0v.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
6		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (LFnl‘𝑈) = (LFnl‘𝑈)
7		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (LKer‘𝑈) = (LKer‘𝑈)
8		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (LDual‘𝑈) = (LDual‘𝑈)
9		lcd0v.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
10	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	lcdval 42035	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = ((LDual‘𝑈) ↾s {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)}))
11	10	fveq2d 6844	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐶) = (0g‘((LDual‘𝑈) ↾s {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)})))
12	1, 11	eqtrid 2783	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑂 = (0g‘((LDual‘𝑈) ↾s {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)})))
13	2, 5, 9	dvhlmod 41556	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
14	8, 13	lduallmod 39599	. . 3 ⊢ (𝜑 → (LDual‘𝑈) ∈ LMod)
15		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (LSubSp‘(LDual‘𝑈)) = (LSubSp‘(LDual‘𝑈))
16		eqid 2736	. . . 4 ⊢ {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)} = {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)}
17	2, 5, 3, 6, 7, 8, 15, 16, 9	lclkr 41979	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)} ∈ (LSubSp‘(LDual‘𝑈)))
18		eqid 2736	. . . 4 ⊢ ((LDual‘𝑈) ↾s {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)}) = ((LDual‘𝑈) ↾s {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)})
19		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (0g‘(LDual‘𝑈)) = (0g‘(LDual‘𝑈))
20		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (0g‘((LDual‘𝑈) ↾s {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)})) = (0g‘((LDual‘𝑈) ↾s {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)}))
21	18, 19, 20, 15	lss0v 21011	. . 3 ⊢ (((LDual‘𝑈) ∈ LMod ∧ {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)} ∈ (LSubSp‘(LDual‘𝑈))) → (0g‘((LDual‘𝑈) ↾s {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)})) = (0g‘(LDual‘𝑈)))
22	14, 17, 21	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝜑 → (0g‘((LDual‘𝑈) ↾s {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)})) = (0g‘(LDual‘𝑈)))
23		lcd0v.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
24		lcd0v.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
25		lcd0v.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
26	23, 24, 25, 8, 19, 13	ldual0v 39596	. 2 ⊢ (𝜑 → (0g‘(LDual‘𝑈)) = (𝑉 × { 0 }))
27	12, 22, 26	3eqtrd 2775	1 ⊢ (𝜑 → 𝑂 = (𝑉 × { 0 }))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {crab 3389  {csn 4567   × cxp 5629  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  Basecbs 17179   ↾_s cress 17200  Scalarcsca 17223  0_gc0g 17402  LModclmod 20855  LSubSpclss 20926  LFnlclfn 39503  LKerclk 39531  LDualcld 39569  HLchlt 39796  LHypclh 40430  DVecHcdvh 41524  ocHcoch 41793  LCDualclcd 42032

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-riotaBAD 39399

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-iin 4936  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-of 7631  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-tpos 8176  df-undef 8223  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-er 8643  df-map 8775  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-fz 13462  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-0g 17404  df-mre 17548  df-mrc 17549  df-acs 17551  df-proset 18260  df-poset 18279  df-plt 18294  df-lub 18310  df-glb 18311  df-join 18312  df-meet 18313  df-p0 18389  df-p1 18390  df-lat 18398  df-clat 18465  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-submnd 18752  df-grp 18912  df-minusg 18913  df-sbg 18914  df-subg 19099  df-cntz 19292  df-oppg 19321  df-lsm 19611  df-cmn 19757  df-abl 19758  df-mgp 20122  df-rng 20134  df-ur 20163  df-ring 20216  df-oppr 20317  df-dvdsr 20337  df-unit 20338  df-invr 20368  df-dvr 20381  df-nzr 20490  df-rlreg 20671  df-domn 20672  df-drng 20708  df-lmod 20857  df-lss 20927  df-lsp 20967  df-lvec 21098  df-lsatoms 39422  df-lshyp 39423  df-lcv 39465  df-lfl 39504  df-lkr 39532  df-ldual 39570  df-oposet 39622  df-ol 39624  df-oml 39625  df-covers 39712  df-ats 39713  df-atl 39744  df-cvlat 39768  df-hlat 39797  df-llines 39944  df-lplanes 39945  df-lvols 39946  df-lines 39947  df-psubsp 39949  df-pmap 39950  df-padd 40242  df-lhyp 40434  df-laut 40435  df-ldil 40550  df-ltrn 40551  df-trl 40605  df-tgrp 41189  df-tendo 41201  df-edring 41203  df-dveca 41449  df-disoa 41475  df-dvech 41525  df-dib 41585  df-dic 41619  df-dih 41675  df-doch 41794  df-djh 41841  df-lcdual 42033

This theorem is referenced by:  lcd0v2  42058  lcd0vvalN  42059  mapd0  42111  hdmaplkr  42359