Theorem lcd0v 40471

Description: The zero functional in the set of functionals with closed kernels. (Contributed by NM, 20-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcd0v.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcd0v.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcd0v.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
lcd0v.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
lcd0v.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
lcd0v.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
lcd0v.o	⊢ 𝑂 = (0g‘𝐶)
lcd0v.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))

Assertion

Ref	Expression
lcd0v	⊢ (𝜑 → 𝑂 = (𝑉 × { 0 }))

Proof of Theorem lcd0v

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcd0v.o	. . 3 ⊢ 𝑂 = (0g‘𝐶)
2		lcd0v.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ ((ocH‘𝐾)‘𝑊) = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
4		lcd0v.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
5		lcd0v.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
6		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (LFnl‘𝑈) = (LFnl‘𝑈)
7		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (LKer‘𝑈) = (LKer‘𝑈)
8		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (LDual‘𝑈) = (LDual‘𝑈)
9		lcd0v.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
10	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	lcdval 40449	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = ((LDual‘𝑈) ↾s {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)}))
11	10	fveq2d 6893	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐶) = (0g‘((LDual‘𝑈) ↾s {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)})))
12	1, 11	eqtrid 2785	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑂 = (0g‘((LDual‘𝑈) ↾s {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)})))
13	2, 5, 9	dvhlmod 39970	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
14	8, 13	lduallmod 38012	. . 3 ⊢ (𝜑 → (LDual‘𝑈) ∈ LMod)
15		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (LSubSp‘(LDual‘𝑈)) = (LSubSp‘(LDual‘𝑈))
16		eqid 2733	. . . 4 ⊢ {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)} = {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)}
17	2, 5, 3, 6, 7, 8, 15, 16, 9	lclkr 40393	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)} ∈ (LSubSp‘(LDual‘𝑈)))
18		eqid 2733	. . . 4 ⊢ ((LDual‘𝑈) ↾s {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)}) = ((LDual‘𝑈) ↾s {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)})
19		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (0g‘(LDual‘𝑈)) = (0g‘(LDual‘𝑈))
20		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (0g‘((LDual‘𝑈) ↾s {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)})) = (0g‘((LDual‘𝑈) ↾s {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)}))
21	18, 19, 20, 15	lss0v 20620	. . 3 ⊢ (((LDual‘𝑈) ∈ LMod ∧ {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)} ∈ (LSubSp‘(LDual‘𝑈))) → (0g‘((LDual‘𝑈) ↾s {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)})) = (0g‘(LDual‘𝑈)))
22	14, 17, 21	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝜑 → (0g‘((LDual‘𝑈) ↾s {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)})) = (0g‘(LDual‘𝑈)))
23		lcd0v.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
24		lcd0v.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
25		lcd0v.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
26	23, 24, 25, 8, 19, 13	ldual0v 38009	. 2 ⊢ (𝜑 → (0g‘(LDual‘𝑈)) = (𝑉 × { 0 }))
27	12, 22, 26	3eqtrd 2777	1 ⊢ (𝜑 → 𝑂 = (𝑉 × { 0 }))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {crab 3433  {csn 4628   × cxp 5674  ‘cfv 6541  (class class class)co 7406  Basecbs 17141   ↾_s cress 17170  Scalarcsca 17197  0_gc0g 17382  LModclmod 20464  LSubSpclss 20535  LFnlclfn 37916  LKerclk 37944  LDualcld 37982  HLchlt 38209  LHypclh 38844  DVecHcdvh 39938  ocHcoch 40207  LCDualclcd 40446

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-riotaBAD 37812

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-tpos 8208  df-undef 8255  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-er 8700  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-fz 13482  df-struct 17077  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17142  df-ress 17171  df-plusg 17207  df-mulr 17208  df-sca 17210  df-vsca 17211  df-0g 17384  df-mre 17527  df-mrc 17528  df-acs 17530  df-proset 18245  df-poset 18263  df-plt 18280  df-lub 18296  df-glb 18297  df-join 18298  df-meet 18299  df-p0 18375  df-p1 18376  df-lat 18382  df-clat 18449  df-mgm 18558  df-sgrp 18607  df-mnd 18623  df-submnd 18669  df-grp 18819  df-minusg 18820  df-sbg 18821  df-subg 18998  df-cntz 19176  df-oppg 19205  df-lsm 19499  df-cmn 19645  df-abl 19646  df-mgp 19983  df-ur 20000  df-ring 20052  df-oppr 20143  df-dvdsr 20164  df-unit 20165  df-invr 20195  df-dvr 20208  df-drng 20310  df-lmod 20466  df-lss 20536  df-lsp 20576  df-lvec 20707  df-lsatoms 37835  df-lshyp 37836  df-lcv 37878  df-lfl 37917  df-lkr 37945  df-ldual 37983  df-oposet 38035  df-ol 38037  df-oml 38038  df-covers 38125  df-ats 38126  df-atl 38157  df-cvlat 38181  df-hlat 38210  df-llines 38358  df-lplanes 38359  df-lvols 38360  df-lines 38361  df-psubsp 38363  df-pmap 38364  df-padd 38656  df-lhyp 38848  df-laut 38849  df-ldil 38964  df-ltrn 38965  df-trl 39019  df-tgrp 39603  df-tendo 39615  df-edring 39617  df-dveca 39863  df-disoa 39889  df-dvech 39939  df-dib 39999  df-dic 40033  df-dih 40089  df-doch 40208  df-djh 40255  df-lcdual 40447

This theorem is referenced by:  lcd0v2  40472  lcd0vvalN  40473  mapd0  40525  hdmaplkr  40773