MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metnrm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metnrm 24702
Description: A metric space is normal. (Contributed by Jeff Hankins, 31-Aug-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 30-Sep-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
metnrm.j 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
metnrm (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ Nrm)

Proof of Theorem metnrm
Dummy variables 𝑡 𝑠 𝑢 𝑣 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 metnrm.j . . 3 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
21mopntop 24270 . 2 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
3 eqid 2724 . . . . 5 (𝑢𝑋 ↦ inf(ran (𝑣𝑥 ↦ (𝑢𝐷𝑣)), ℝ*, < )) = (𝑢𝑋 ↦ inf(ran (𝑣𝑥 ↦ (𝑢𝐷𝑣)), ℝ*, < ))
4 simp1 1133 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ (𝑥𝑦) = ∅) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
5 simp2l 1196 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ (𝑥𝑦) = ∅) → 𝑥 ∈ (Clsd‘𝐽))
6 simp2r 1197 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ (𝑥𝑦) = ∅) → 𝑦 ∈ (Clsd‘𝐽))
7 simp3 1135 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ (𝑥𝑦) = ∅) → (𝑥𝑦) = ∅)
8 eqid 2724 . . . . 5 𝑠𝑦 (𝑠(ball‘𝐷)(if(1 ≤ ((𝑢𝑋 ↦ inf(ran (𝑣𝑥 ↦ (𝑢𝐷𝑣)), ℝ*, < ))‘𝑠), 1, ((𝑢𝑋 ↦ inf(ran (𝑣𝑥 ↦ (𝑢𝐷𝑣)), ℝ*, < ))‘𝑠)) / 2)) = 𝑠𝑦 (𝑠(ball‘𝐷)(if(1 ≤ ((𝑢𝑋 ↦ inf(ran (𝑣𝑥 ↦ (𝑢𝐷𝑣)), ℝ*, < ))‘𝑠), 1, ((𝑢𝑋 ↦ inf(ran (𝑣𝑥 ↦ (𝑢𝐷𝑣)), ℝ*, < ))‘𝑠)) / 2))
9 eqid 2724 . . . . 5 (𝑢𝑋 ↦ inf(ran (𝑣𝑦 ↦ (𝑢𝐷𝑣)), ℝ*, < )) = (𝑢𝑋 ↦ inf(ran (𝑣𝑦 ↦ (𝑢𝐷𝑣)), ℝ*, < ))
10 eqid 2724 . . . . 5 𝑡𝑥 (𝑡(ball‘𝐷)(if(1 ≤ ((𝑢𝑋 ↦ inf(ran (𝑣𝑦 ↦ (𝑢𝐷𝑣)), ℝ*, < ))‘𝑡), 1, ((𝑢𝑋 ↦ inf(ran (𝑣𝑦 ↦ (𝑢𝐷𝑣)), ℝ*, < ))‘𝑡)) / 2)) = 𝑡𝑥 (𝑡(ball‘𝐷)(if(1 ≤ ((𝑢𝑋 ↦ inf(ran (𝑣𝑦 ↦ (𝑢𝐷𝑣)), ℝ*, < ))‘𝑡), 1, ((𝑢𝑋 ↦ inf(ran (𝑣𝑦 ↦ (𝑢𝐷𝑣)), ℝ*, < ))‘𝑡)) / 2))
113, 1, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10metnrmlem3 24701 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ (𝑥𝑦) = ∅) → ∃𝑧𝐽𝑤𝐽 (𝑥𝑧𝑦𝑤 ∧ (𝑧𝑤) = ∅))
12113expia 1118 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (Clsd‘𝐽))) → ((𝑥𝑦) = ∅ → ∃𝑧𝐽𝑤𝐽 (𝑥𝑧𝑦𝑤 ∧ (𝑧𝑤) = ∅)))
1312ralrimivva 3192 . 2 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ∀𝑥 ∈ (Clsd‘𝐽)∀𝑦 ∈ (Clsd‘𝐽)((𝑥𝑦) = ∅ → ∃𝑧𝐽𝑤𝐽 (𝑥𝑧𝑦𝑤 ∧ (𝑧𝑤) = ∅)))
14 isnrm3 23187 . 2 (𝐽 ∈ Nrm ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑥 ∈ (Clsd‘𝐽)∀𝑦 ∈ (Clsd‘𝐽)((𝑥𝑦) = ∅ → ∃𝑧𝐽𝑤𝐽 (𝑥𝑧𝑦𝑤 ∧ (𝑧𝑤) = ∅))))
152, 13, 14sylanbrc 582 1 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ Nrm)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wral 3053  wrex 3062  cin 3940  wss 3941  c0 4315  ifcif 4521   ciun 4988   class class class wbr 5139  cmpt 5222  ran crn 5668  cfv 6534  (class class class)co 7402  infcinf 9433  1c1 11108  *cxr 11245   < clt 11246  cle 11247   / cdiv 11869  2c2 12265  ∞Metcxmet 21215  ballcbl 21217  MetOpencmopn 21220  Topctop 22719  Clsdccld 22844  Nrmcnrm 23138
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-iin 4991  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8700  df-ec 8702  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-sup 9434  df-inf 9435  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11870  df-nn 12211  df-2 12273  df-n0 12471  df-z 12557  df-uz 12821  df-q 12931  df-rp 12973  df-xneg 13090  df-xadd 13091  df-xmul 13092  df-icc 13329  df-topgen 17390  df-psmet 21222  df-xmet 21223  df-bl 21225  df-mopn 21226  df-top 22720  df-topon 22737  df-bases 22773  df-cld 22847  df-ntr 22848  df-cls 22849  df-nrm 23145
This theorem is referenced by:  metreg  24703
  Copyright terms: Public domain W3C validator