MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metnrm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metnrm 23469
Description: A metric space is normal. (Contributed by Jeff Hankins, 31-Aug-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 30-Sep-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
metnrm.j 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
metnrm (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ Nrm)

Proof of Theorem metnrm
Dummy variables 𝑡 𝑠 𝑢 𝑣 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 metnrm.j . . 3 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
21mopntop 23049 . 2 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
3 eqid 2821 . . . . 5 (𝑢𝑋 ↦ inf(ran (𝑣𝑥 ↦ (𝑢𝐷𝑣)), ℝ*, < )) = (𝑢𝑋 ↦ inf(ran (𝑣𝑥 ↦ (𝑢𝐷𝑣)), ℝ*, < ))
4 simp1 1132 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ (𝑥𝑦) = ∅) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
5 simp2l 1195 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ (𝑥𝑦) = ∅) → 𝑥 ∈ (Clsd‘𝐽))
6 simp2r 1196 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ (𝑥𝑦) = ∅) → 𝑦 ∈ (Clsd‘𝐽))
7 simp3 1134 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ (𝑥𝑦) = ∅) → (𝑥𝑦) = ∅)
8 eqid 2821 . . . . 5 𝑠𝑦 (𝑠(ball‘𝐷)(if(1 ≤ ((𝑢𝑋 ↦ inf(ran (𝑣𝑥 ↦ (𝑢𝐷𝑣)), ℝ*, < ))‘𝑠), 1, ((𝑢𝑋 ↦ inf(ran (𝑣𝑥 ↦ (𝑢𝐷𝑣)), ℝ*, < ))‘𝑠)) / 2)) = 𝑠𝑦 (𝑠(ball‘𝐷)(if(1 ≤ ((𝑢𝑋 ↦ inf(ran (𝑣𝑥 ↦ (𝑢𝐷𝑣)), ℝ*, < ))‘𝑠), 1, ((𝑢𝑋 ↦ inf(ran (𝑣𝑥 ↦ (𝑢𝐷𝑣)), ℝ*, < ))‘𝑠)) / 2))
9 eqid 2821 . . . . 5 (𝑢𝑋 ↦ inf(ran (𝑣𝑦 ↦ (𝑢𝐷𝑣)), ℝ*, < )) = (𝑢𝑋 ↦ inf(ran (𝑣𝑦 ↦ (𝑢𝐷𝑣)), ℝ*, < ))
10 eqid 2821 . . . . 5 𝑡𝑥 (𝑡(ball‘𝐷)(if(1 ≤ ((𝑢𝑋 ↦ inf(ran (𝑣𝑦 ↦ (𝑢𝐷𝑣)), ℝ*, < ))‘𝑡), 1, ((𝑢𝑋 ↦ inf(ran (𝑣𝑦 ↦ (𝑢𝐷𝑣)), ℝ*, < ))‘𝑡)) / 2)) = 𝑡𝑥 (𝑡(ball‘𝐷)(if(1 ≤ ((𝑢𝑋 ↦ inf(ran (𝑣𝑦 ↦ (𝑢𝐷𝑣)), ℝ*, < ))‘𝑡), 1, ((𝑢𝑋 ↦ inf(ran (𝑣𝑦 ↦ (𝑢𝐷𝑣)), ℝ*, < ))‘𝑡)) / 2))
113, 1, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10metnrmlem3 23468 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (Clsd‘𝐽)) ∧ (𝑥𝑦) = ∅) → ∃𝑧𝐽𝑤𝐽 (𝑥𝑧𝑦𝑤 ∧ (𝑧𝑤) = ∅))
12113expia 1117 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (Clsd‘𝐽))) → ((𝑥𝑦) = ∅ → ∃𝑧𝐽𝑤𝐽 (𝑥𝑧𝑦𝑤 ∧ (𝑧𝑤) = ∅)))
1312ralrimivva 3191 . 2 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ∀𝑥 ∈ (Clsd‘𝐽)∀𝑦 ∈ (Clsd‘𝐽)((𝑥𝑦) = ∅ → ∃𝑧𝐽𝑤𝐽 (𝑥𝑧𝑦𝑤 ∧ (𝑧𝑤) = ∅)))
14 isnrm3 21966 . 2 (𝐽 ∈ Nrm ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑥 ∈ (Clsd‘𝐽)∀𝑦 ∈ (Clsd‘𝐽)((𝑥𝑦) = ∅ → ∃𝑧𝐽𝑤𝐽 (𝑥𝑧𝑦𝑤 ∧ (𝑧𝑤) = ∅))))
152, 13, 14sylanbrc 585 1 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ Nrm)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398  w3a 1083   = wceq 1533  wcel 2110  wral 3138  wrex 3139  cin 3934  wss 3935  c0 4290  ifcif 4466   ciun 4918   class class class wbr 5065  cmpt 5145  ran crn 5555  cfv 6354  (class class class)co 7155  infcinf 8904  1c1 10537  *cxr 10673   < clt 10674  cle 10675   / cdiv 11296  2c2 11691  ∞Metcxmet 20529  ballcbl 20531  MetOpencmopn 20534  Topctop 21500  Clsdccld 21623  Nrmcnrm 21917
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5189  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613  ax-pre-sup 10614
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-int 4876  df-iun 4920  df-iin 4921  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7580  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-er 8288  df-ec 8290  df-map 8407  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-sup 8905  df-inf 8906  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-div 11297  df-nn 11638  df-2 11699  df-n0 11897  df-z 11981  df-uz 12243  df-q 12348  df-rp 12389  df-xneg 12506  df-xadd 12507  df-xmul 12508  df-icc 12744  df-topgen 16716  df-psmet 20536  df-xmet 20537  df-bl 20539  df-mopn 20540  df-top 21501  df-topon 21518  df-bases 21553  df-cld 21626  df-ntr 21627  df-cls 21628  df-nrm 21924
This theorem is referenced by:  metreg  23470
  Copyright terms: Public domain W3C validator