Theorem mopntop 24359

Description: The set of open sets of a metric space is a topology. (Contributed by NM, 28-Aug-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Nov-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
mopnval.1	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
mopntop	⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ Top)

Proof of Theorem mopntop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mopnval.1	. . 3 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
2	1	mopntopon 24358	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
3		topontop 22828	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
4	2, 3	syl 17	1 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ Top)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ‘cfv 6548  ∞Metcxmet 21264  MetOpencmopn 21269  Topctop 22808  TopOnctopon 22825

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-pre-sup 11217

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-sup 9466  df-inf 9467  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-2 12306  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-q 12964  df-rp 13008  df-xneg 13125  df-xadd 13126  df-xmul 13127  df-topgen 17425  df-psmet 21271  df-xmet 21272  df-bl 21274  df-mopn 21275  df-top 22809  df-topon 22826  df-bases 22862

This theorem is referenced by:  unimopn  24418  mopnin  24419  mopn0  24420  neibl  24423  blnei  24424  lpbl  24425  blcld  24427  met1stc  24443  met2ndci  24444  metrest  24446  prdsxmslem2  24451  metnrmlem2  24789  metnrm  24791  lebnumlem1  24900  metcld  25247  flimcfil  25255  metsscmetcld  25256  cmpcmet  25260  bcthlem2  25266  bcthlem4  25268  bcthlem5  25269  bcth3  25272  ubthlem1  30693  minvecolem4b  30701  minvecolem4  30703  hhsscms  31101  heibor1lem  37282  heiborlem8  37291  heibor  37294