Theorem mplsubg 21208

Description: The set of polynomials is closed under addition, i.e. it is a subgroup of the set of power series. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jan-2015.) (Proof shortened by AV, 16-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mplsubg.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
mplsubg.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplsubg.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
mplsubg.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
mplsubg.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)

Assertion

Ref	Expression
mplsubg	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑆))

Proof of Theorem mplsubg

Dummy variables 𝑥 𝑓 𝑔 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mplsubg.s	. 2 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2		eqid 2738	. 2 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
3		eqid 2738	. 2 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
4		eqid 2738	. 2 ⊢ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
5		mplsubg.i	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
6		0fin 8954	. . 3 ⊢ ∅ ∈ Fin
7	6	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ Fin)
8		unfi 8955	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑦 ∈ Fin) → (𝑥 ∪ 𝑦) ∈ Fin)
9	8	adantl 482	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑦 ∈ Fin)) → (𝑥 ∪ 𝑦) ∈ Fin)
10		ssfi 8956	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑦 ⊆ 𝑥) → 𝑦 ∈ Fin)
11	10	adantl 482	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑦 ⊆ 𝑥)) → 𝑦 ∈ Fin)
12		mplsubg.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
13		mplsubg.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
14	1, 12, 13, 5	mplsubglem2 21207	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = {𝑔 ∈ (Base‘𝑆) ∣ (𝑔 supp (0g‘𝑅)) ∈ Fin})
15		mplsubg.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
16	1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 11, 14, 15	mplsubglem 21205	1 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  {crab 3068   ∪ cun 3885   ⊆ wss 3887  ∅c0 4256  ^◡ccnv 5588   “ cima 5592  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275   ↑_m cmap 8615  Fincfn 8733  ℕcn 11973  ℕ₀cn0 12233  Basecbs 16912  0_gc0g 17150  Grpcgrp 18577  SubGrpcsubg 18749   mPwSer cmps 21107   mPoly cmpl 21109

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-tset 16981  df-0g 17152  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-subg 18752  df-psr 21112  df-mpl 21114

This theorem is referenced by:  mplsubrg  21211  mpl0  21212  mplneg  21214  mplgrp  21222