Theorem mplsubg 21940

Description: The set of polynomials is closed under addition, i.e. it is a subgroup of the set of power series. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jan-2015.) (Proof shortened by AV, 16-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mplsubg.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
mplsubg.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplsubg.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
mplsubg.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
mplsubg.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)

Assertion

Ref	Expression
mplsubg	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑆))

Proof of Theorem mplsubg

Dummy variables 𝑥 𝑓 𝑔 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mplsubg.s	. 2 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2		eqid 2733	. 2 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
3		eqid 2733	. 2 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
4		eqid 2733	. 2 ⊢ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
5		mplsubg.i	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
6		0fi 8971	. . 3 ⊢ ∅ ∈ Fin
7	6	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ Fin)
8		unfi 9087	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑦 ∈ Fin) → (𝑥 ∪ 𝑦) ∈ Fin)
9	8	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑦 ∈ Fin)) → (𝑥 ∪ 𝑦) ∈ Fin)
10		ssfi 9089	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑦 ⊆ 𝑥) → 𝑦 ∈ Fin)
11	10	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑦 ⊆ 𝑥)) → 𝑦 ∈ Fin)
12		mplsubg.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
13		mplsubg.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
14	1, 12, 13, 5	mplsubglem2 21939	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = {𝑔 ∈ (Base‘𝑆) ∣ (𝑔 supp (0g‘𝑅)) ∈ Fin})
15		mplsubg.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
16	1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 11, 14, 15	mplsubglem 21937	1 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  {crab 3396   ∪ cun 3896   ⊆ wss 3898  ∅c0 4282  ^◡ccnv 5618   “ cima 5622  ‘cfv 6486  (class class class)co 7352   ↑_m cmap 8756  Fincfn 8875  ℕcn 12132  ℕ₀cn0 12388  Basecbs 17122  0_gc0g 17345  Grpcgrp 18848  SubGrpcsubg 19035   mPwSer cmps 21843   mPoly cmpl 21845

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-tp 4580  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-of 7616  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-supp 8097  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-er 8628  df-map 8758  df-ixp 8828  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-fsupp 9253  df-sup 9333  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-nn 12133  df-2 12195  df-3 12196  df-4 12197  df-5 12198  df-6 12199  df-7 12200  df-8 12201  df-9 12202  df-n0 12389  df-z 12476  df-dec 12595  df-uz 12739  df-fz 13410  df-struct 17060  df-sets 17077  df-slot 17095  df-ndx 17107  df-base 17123  df-ress 17144  df-plusg 17176  df-mulr 17177  df-sca 17179  df-vsca 17180  df-ip 17181  df-tset 17182  df-ple 17183  df-ds 17185  df-hom 17187  df-cco 17188  df-0g 17347  df-prds 17353  df-pws 17355  df-mgm 18550  df-sgrp 18629  df-mnd 18645  df-grp 18851  df-minusg 18852  df-subg 19038  df-psr 21848  df-mpl 21850

This theorem is referenced by:  mplsubrg  21943  mpl0  21944  mplneg  21948  mplgrp  21955