Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mpllss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mpllss 20190
 Description: The set of polynomials is closed under scalar multiplication, i.e. it is a linear subspace of the set of power series. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.) (Proof shortened by AV, 16-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mplsubg.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
mplsubg.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplsubg.u 𝑈 = (Base‘𝑃)
mplsubg.i (𝜑𝐼𝑊)
mpllss.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
Assertion
Ref Expression
mpllss (𝜑𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑆))

Proof of Theorem mpllss
Dummy variables 𝑥 𝑓 𝑔 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mplsubg.s . 2 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2 eqid 2820 . 2 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
3 eqid 2820 . 2 (0g𝑅) = (0g𝑅)
4 eqid 2820 . 2 {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
5 mplsubg.i . 2 (𝜑𝐼𝑊)
6 0fin 8720 . . 3 ∅ ∈ Fin
76a1i 11 . 2 (𝜑 → ∅ ∈ Fin)
8 unfi 8759 . . 3 ((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑦 ∈ Fin) → (𝑥𝑦) ∈ Fin)
98adantl 484 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑦 ∈ Fin)) → (𝑥𝑦) ∈ Fin)
10 ssfi 8712 . . 3 ((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦 ∈ Fin)
1110adantl 484 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑦𝑥)) → 𝑦 ∈ Fin)
12 mplsubg.p . . 3 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
13 mplsubg.u . . 3 𝑈 = (Base‘𝑃)
141, 12, 13, 5mplsubglem2 20188 . 2 (𝜑𝑈 = {𝑔 ∈ (Base‘𝑆) ∣ (𝑔 supp (0g𝑅)) ∈ Fin})
15 mpllss.r . 2 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
161, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 11, 14, 15mpllsslem 20187 1 (𝜑𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑆))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  {crab 3129   ∪ cun 3907   ⊆ wss 3909  ∅c0 4265  ◡ccnv 5526   “ cima 5530  ‘cfv 6327  (class class class)co 7129   ↑m cmap 8380  Fincfn 8483  ℕcn 11612  ℕ0cn0 11872  Basecbs 16458  0gc0g 16688  Ringcrg 19272  LSubSpclss 19675   mPwSer cmps 20103   mPoly cmpl 20105 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5162  ax-sep 5175  ax-nul 5182  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7435  ax-cnex 10567  ax-resscn 10568  ax-1cn 10569  ax-icn 10570  ax-addcl 10571  ax-addrcl 10572  ax-mulcl 10573  ax-mulrcl 10574  ax-mulcom 10575  ax-addass 10576  ax-mulass 10577  ax-distr 10578  ax-i2m1 10579  ax-1ne0 10580  ax-1rid 10581  ax-rnegex 10582  ax-rrecex 10583  ax-cnre 10584  ax-pre-lttri 10585  ax-pre-lttrn 10586  ax-pre-ltadd 10587  ax-pre-mulgt0 10588 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rmo 3133  df-rab 3134  df-v 3472  df-sbc 3749  df-csb 3857  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4811  df-int 4849  df-iun 4893  df-br 5039  df-opab 5101  df-mpt 5119  df-tr 5145  df-id 5432  df-eprel 5437  df-po 5446  df-so 5447  df-fr 5486  df-we 5488  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6286  df-fun 6329  df-fn 6330  df-f 6331  df-f1 6332  df-fo 6333  df-f1o 6334  df-fv 6335  df-riota 7087  df-ov 7132  df-oprab 7133  df-mpo 7134  df-of 7383  df-om 7555  df-1st 7663  df-2nd 7664  df-supp 7805  df-wrecs 7921  df-recs 7982  df-rdg 8020  df-1o 8076  df-oadd 8080  df-er 8263  df-map 8382  df-en 8484  df-dom 8485  df-sdom 8486  df-fin 8487  df-fsupp 8808  df-pnf 10651  df-mnf 10652  df-xr 10653  df-ltxr 10654  df-le 10655  df-sub 10846  df-neg 10847  df-nn 11613  df-2 11675  df-3 11676  df-4 11677  df-5 11678  df-6 11679  df-7 11680  df-8 11681  df-9 11682  df-n0 11873  df-z 11957  df-uz 12219  df-fz 12873  df-struct 16460  df-ndx 16461  df-slot 16462  df-base 16464  df-sets 16465  df-ress 16466  df-plusg 16553  df-mulr 16554  df-sca 16556  df-vsca 16557  df-tset 16559  df-0g 16690  df-mgm 17827  df-sgrp 17876  df-mnd 17887  df-grp 18081  df-minusg 18082  df-subg 18251  df-mgp 19215  df-ring 19274  df-lss 19676  df-psr 20108  df-mpl 20110 This theorem is referenced by:  mpllmod  20203  mplassa  20207  mplbas2  20223  mplind  20254  ply1lss  20336
 Copyright terms: Public domain W3C validator