MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mpllss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mpllss 21315
Description: The set of polynomials is closed under scalar multiplication, i.e. it is a linear subspace of the set of power series. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.) (Proof shortened by AV, 16-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mplsubg.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
mplsubg.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplsubg.u 𝑈 = (Base‘𝑃)
mplsubg.i (𝜑𝐼𝑊)
mpllss.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
Assertion
Ref Expression
mpllss (𝜑𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑆))

Proof of Theorem mpllss
Dummy variables 𝑥 𝑓 𝑔 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mplsubg.s . 2 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2 eqid 2736 . 2 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
3 eqid 2736 . 2 (0g𝑅) = (0g𝑅)
4 eqid 2736 . 2 {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
5 mplsubg.i . 2 (𝜑𝐼𝑊)
6 0fin 9036 . . 3 ∅ ∈ Fin
76a1i 11 . 2 (𝜑 → ∅ ∈ Fin)
8 unfi 9037 . . 3 ((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑦 ∈ Fin) → (𝑥𝑦) ∈ Fin)
98adantl 482 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑦 ∈ Fin)) → (𝑥𝑦) ∈ Fin)
10 ssfi 9038 . . 3 ((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦 ∈ Fin)
1110adantl 482 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑦𝑥)) → 𝑦 ∈ Fin)
12 mplsubg.p . . 3 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
13 mplsubg.u . . 3 𝑈 = (Base‘𝑃)
141, 12, 13, 5mplsubglem2 21313 . 2 (𝜑𝑈 = {𝑔 ∈ (Base‘𝑆) ∣ (𝑔 supp (0g𝑅)) ∈ Fin})
15 mpllss.r . 2 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
161, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 11, 14, 15mpllsslem 21312 1 (𝜑𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1540  wcel 2105  {crab 3403  cun 3896  wss 3898  c0 4269  ccnv 5619  cima 5623  cfv 6479  (class class class)co 7337  m cmap 8686  Fincfn 8804  cn 12074  0cn0 12334  Basecbs 17009  0gc0g 17247  Ringcrg 19878  LSubSpclss 20299   mPwSer cmps 21213   mPoly cmpl 21215
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5229  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650  ax-cnex 11028  ax-resscn 11029  ax-1cn 11030  ax-icn 11031  ax-addcl 11032  ax-addrcl 11033  ax-mulcl 11034  ax-mulrcl 11035  ax-mulcom 11036  ax-addass 11037  ax-mulass 11038  ax-distr 11039  ax-i2m1 11040  ax-1ne0 11041  ax-1rid 11042  ax-rnegex 11043  ax-rrecex 11044  ax-cnre 11045  ax-pre-lttri 11046  ax-pre-lttrn 11047  ax-pre-ltadd 11048  ax-pre-mulgt0 11049
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-uni 4853  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-tr 5210  df-id 5518  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6238  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-of 7595  df-om 7781  df-1st 7899  df-2nd 7900  df-supp 8048  df-frecs 8167  df-wrecs 8198  df-recs 8272  df-rdg 8311  df-1o 8367  df-er 8569  df-map 8688  df-en 8805  df-dom 8806  df-sdom 8807  df-fin 8808  df-fsupp 9227  df-pnf 11112  df-mnf 11113  df-xr 11114  df-ltxr 11115  df-le 11116  df-sub 11308  df-neg 11309  df-nn 12075  df-2 12137  df-3 12138  df-4 12139  df-5 12140  df-6 12141  df-7 12142  df-8 12143  df-9 12144  df-n0 12335  df-z 12421  df-uz 12684  df-fz 13341  df-struct 16945  df-sets 16962  df-slot 16980  df-ndx 16992  df-base 17010  df-ress 17039  df-plusg 17072  df-mulr 17073  df-sca 17075  df-vsca 17076  df-tset 17078  df-0g 17249  df-mgm 18423  df-sgrp 18472  df-mnd 18483  df-grp 18676  df-minusg 18677  df-subg 18848  df-mgp 19816  df-ring 19880  df-lss 20300  df-psr 21218  df-mpl 21220
This theorem is referenced by:  mpllmod  21329  mplassa  21333  mplbas2  21349  mplind  21384  ply1lss  21473
  Copyright terms: Public domain W3C validator