Theorem mpllss 21781

Description: The set of polynomials is closed under scalar multiplication, i.e. it is a linear subspace of the set of power series. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.) (Proof shortened by AV, 16-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mplsubg.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
mplsubg.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplsubg.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
mplsubg.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
mpllss.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)

Assertion

Ref	Expression
mpllss	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑆))

Proof of Theorem mpllss

Dummy variables 𝑥 𝑓 𝑔 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mplsubg.s	. 2 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2		eqid 2732	. 2 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
3		eqid 2732	. 2 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
4		eqid 2732	. 2 ⊢ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
5		mplsubg.i	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
6		0fin 9173	. . 3 ⊢ ∅ ∈ Fin
7	6	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ Fin)
8		unfi 9174	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑦 ∈ Fin) → (𝑥 ∪ 𝑦) ∈ Fin)
9	8	adantl 482	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑦 ∈ Fin)) → (𝑥 ∪ 𝑦) ∈ Fin)
10		ssfi 9175	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑦 ⊆ 𝑥) → 𝑦 ∈ Fin)
11	10	adantl 482	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ Fin ∧ 𝑦 ⊆ 𝑥)) → 𝑦 ∈ Fin)
12		mplsubg.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
13		mplsubg.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
14	1, 12, 13, 5	mplsubglem2 21779	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = {𝑔 ∈ (Base‘𝑆) ∣ (𝑔 supp (0g‘𝑅)) ∈ Fin})
15		mpllss.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
16	1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 11, 14, 15	mpllsslem 21778	1 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {crab 3432   ∪ cun 3946   ⊆ wss 3948  ∅c0 4322  ^◡ccnv 5675   “ cima 5679  ‘cfv 6543  (class class class)co 7411   ↑_m cmap 8822  Fincfn 8941  ℕcn 12216  ℕ₀cn0 12476  Basecbs 17148  0_gc0g 17389  Ringcrg 20127  LSubSpclss 20686   mPwSer cmps 21676   mPoly cmpl 21678

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-sup 9439  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13489  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-hom 17225  df-cco 17226  df-0g 17391  df-prds 17397  df-pws 17399  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-subg 19039  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-ur 20076  df-ring 20129  df-lss 20687  df-psr 21681  df-mpl 21683

This theorem is referenced by:  mpllmod  21796  mplassa  21800  mplbas2  21816  mplind  21850  ply1lss  21939