Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdegvscale Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdegvscale 24584
 Description: The degree of a scalar multiple of a polynomial is at most the degree of the original polynomial. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mdegaddle.y 𝑌 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mdegaddle.d 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
mdegvscale.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
mdegvscale.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
mdegvscale.p · = ( ·𝑠𝑌)
mdegvscale.f (𝜑𝐹𝐾)
mdegvscale.g (𝜑𝐺𝐵)
Assertion
Ref Expression
mdegvscale (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) ≤ (𝐷𝐺))

Proof of Theorem mdegvscale
Dummy variables 𝑥 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mdegaddle.y . . . . . . 7 𝑌 = (𝐼 mPoly 𝑅)
2 mdegvscale.p . . . . . . 7 · = ( ·𝑠𝑌)
3 mdegvscale.k . . . . . . 7 𝐾 = (Base‘𝑅)
4 mdegvscale.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑌)
5 eqid 2826 . . . . . . 7 (.r𝑅) = (.r𝑅)
6 eqid 2826 . . . . . . 7 {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}
7 mdegvscale.f . . . . . . . 8 (𝜑𝐹𝐾)
87adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝐹𝐾)
9 mdegvscale.g . . . . . . . 8 (𝜑𝐺𝐵)
109adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝐺𝐵)
11 simpr 485 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin})
121, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 11mplvscaval 20147 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → ((𝐹 · 𝐺)‘𝑥) = (𝐹(.r𝑅)(𝐺𝑥)))
1312adantrr 713 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ (𝐷𝐺) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥))) → ((𝐹 · 𝐺)‘𝑥) = (𝐹(.r𝑅)(𝐺𝑥)))
14 mdegaddle.d . . . . . . 7 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
15 eqid 2826 . . . . . . 7 (0g𝑅) = (0g𝑅)
16 eqid 2826 . . . . . . 7 (𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) = (𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))
179adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ (𝐷𝐺) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥))) → 𝐺𝐵)
18 simprl 767 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ (𝐷𝐺) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥))) → 𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin})
19 simprr 769 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ (𝐷𝐺) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥))) → (𝐷𝐺) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥))
2014, 1, 4, 15, 6, 16, 17, 18, 19mdeglt 24574 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ (𝐷𝐺) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥))) → (𝐺𝑥) = (0g𝑅))
2120oveq2d 7164 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ (𝐷𝐺) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥))) → (𝐹(.r𝑅)(𝐺𝑥)) = (𝐹(.r𝑅)(0g𝑅)))
22 mdegaddle.r . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
233, 5, 15ringrz 19258 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐾) → (𝐹(.r𝑅)(0g𝑅)) = (0g𝑅))
2422, 7, 23syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹(.r𝑅)(0g𝑅)) = (0g𝑅))
2524adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ (𝐷𝐺) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥))) → (𝐹(.r𝑅)(0g𝑅)) = (0g𝑅))
2613, 21, 253eqtrd 2865 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ (𝐷𝐺) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥))) → ((𝐹 · 𝐺)‘𝑥) = (0g𝑅))
2726expr 457 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → ((𝐷𝐺) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥) → ((𝐹 · 𝐺)‘𝑥) = (0g𝑅)))
2827ralrimiva 3187 . 2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ((𝐷𝐺) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥) → ((𝐹 · 𝐺)‘𝑥) = (0g𝑅)))
29 mdegaddle.i . . . . 5 (𝜑𝐼𝑉)
301mpllmod 20150 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring) → 𝑌 ∈ LMod)
3129, 22, 30syl2anc 584 . . . 4 (𝜑𝑌 ∈ LMod)
321, 29, 22mplsca 20144 . . . . . . 7 (𝜑𝑅 = (Scalar‘𝑌))
3332fveq2d 6671 . . . . . 6 (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑌)))
343, 33syl5eq 2873 . . . . 5 (𝜑𝐾 = (Base‘(Scalar‘𝑌)))
357, 34eleqtrd 2920 . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)))
36 eqid 2826 . . . . 5 (Scalar‘𝑌) = (Scalar‘𝑌)
37 eqid 2826 . . . . 5 (Base‘(Scalar‘𝑌)) = (Base‘(Scalar‘𝑌))
384, 36, 2, 37lmodvscl 19571 . . . 4 ((𝑌 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝐺𝐵) → (𝐹 · 𝐺) ∈ 𝐵)
3931, 35, 9, 38syl3anc 1365 . . 3 (𝜑 → (𝐹 · 𝐺) ∈ 𝐵)
4014, 1, 4mdegxrcl 24576 . . . 4 (𝐺𝐵 → (𝐷𝐺) ∈ ℝ*)
419, 40syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐷𝐺) ∈ ℝ*)
4214, 1, 4, 15, 6, 16mdegleb 24573 . . 3 (((𝐹 · 𝐺) ∈ 𝐵 ∧ (𝐷𝐺) ∈ ℝ*) → ((𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) ≤ (𝐷𝐺) ↔ ∀𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ((𝐷𝐺) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥) → ((𝐹 · 𝐺)‘𝑥) = (0g𝑅))))
4339, 41, 42syl2anc 584 . 2 (𝜑 → ((𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) ≤ (𝐷𝐺) ↔ ∀𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ((𝐷𝐺) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥) → ((𝐹 · 𝐺)‘𝑥) = (0g𝑅))))
4428, 43mpbird 258 1 (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) ≤ (𝐷𝐺))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1530   ∈ wcel 2107  ∀wral 3143  {crab 3147   class class class wbr 5063   ↦ cmpt 5143  ◡ccnv 5553   “ cima 5557  ‘cfv 6352  (class class class)co 7148   ↑m cmap 8396  Fincfn 8498  ℝ*cxr 10663   < clt 10664   ≤ cle 10665  ℕcn 11627  ℕ0cn0 11886  Basecbs 16473  .rcmulr 16556  Scalarcsca 16558   ·𝑠 cvsca 16559  0gc0g 16703   Σg cgsu 16704  Ringcrg 19217  LModclmod 19554   mPoly cmpl 20052  ℂfldccnfld 20461   mDeg cmdg 24562 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605  ax-mulf 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6146  df-ord 6192  df-on 6193  df-lim 6194  df-suc 6195  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-isom 6361  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-of 7399  df-om 7569  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-supp 7822  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-1o 8093  df-oadd 8097  df-er 8279  df-map 8398  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-fin 8502  df-fsupp 8823  df-sup 8895  df-oi 8963  df-card 9357  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11628  df-2 11689  df-3 11690  df-4 11691  df-5 11692  df-6 11693  df-7 11694  df-8 11695  df-9 11696  df-n0 11887  df-z 11971  df-dec 12088  df-uz 12233  df-fz 12883  df-fzo 13024  df-seq 13360  df-hash 13681  df-struct 16475  df-ndx 16476  df-slot 16477  df-base 16479  df-sets 16480  df-ress 16481  df-plusg 16568  df-mulr 16569  df-starv 16570  df-sca 16571  df-vsca 16572  df-tset 16574  df-ple 16575  df-ds 16577  df-unif 16578  df-0g 16705  df-gsum 16706  df-mgm 17842  df-sgrp 17890  df-mnd 17901  df-submnd 17945  df-grp 18036  df-minusg 18037  df-sbg 18038  df-subg 18206  df-cntz 18377  df-cmn 18828  df-abl 18829  df-mgp 19160  df-ur 19172  df-ring 19219  df-cring 19220  df-lmod 19556  df-lss 19624  df-psr 20055  df-mpl 20057  df-cnfld 20462  df-mdeg 24564 This theorem is referenced by:  deg1vscale  24613
 Copyright terms: Public domain W3C validator