Theorem mdegvscale 25240

Description: The degree of a scalar multiple of a polynomial is at most the degree of the original polynomial. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdegaddle.y	⊢ 𝑌 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mdegaddle.d	⊢ 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
mdegaddle.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
mdegaddle.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
mdegvscale.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
mdegvscale.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
mdegvscale.p	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌)
mdegvscale.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐾)
mdegvscale.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mdegvscale	⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) ≤ (𝐷‘𝐺))

Proof of Theorem mdegvscale

Dummy variables 𝑥 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mdegaddle.y	. . . . . . 7 ⊢ 𝑌 = (𝐼 mPoly 𝑅)
2		mdegvscale.p	. . . . . . 7 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌)
3		mdegvscale.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
4		mdegvscale.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
5		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
6		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}
7		mdegvscale.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐾)
8	7	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝐹 ∈ 𝐾)
9		mdegvscale.g	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
10	9	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝐺 ∈ 𝐵)
11		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin})
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 11	mplvscaval 21220	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → ((𝐹 · 𝐺)‘𝑥) = (𝐹(.r‘𝑅)(𝐺‘𝑥)))
13	12	adantrr 714	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ (𝐷‘𝐺) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥))) → ((𝐹 · 𝐺)‘𝑥) = (𝐹(.r‘𝑅)(𝐺‘𝑥)))
14		mdegaddle.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
15		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
16		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) = (𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))
17	9	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ (𝐷‘𝐺) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥))) → 𝐺 ∈ 𝐵)
18		simprl 768	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ (𝐷‘𝐺) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥))) → 𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin})
19		simprr 770	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ (𝐷‘𝐺) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥))) → (𝐷‘𝐺) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥))
20	14, 1, 4, 15, 6, 16, 17, 18, 19	mdeglt 25230	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ (𝐷‘𝐺) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥))) → (𝐺‘𝑥) = (0g‘𝑅))
21	20	oveq2d 7291	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ (𝐷‘𝐺) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥))) → (𝐹(.r‘𝑅)(𝐺‘𝑥)) = (𝐹(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)))
22		mdegaddle.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
23	3, 5, 15	ringrz 19827	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾) → (𝐹(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
24	22, 7, 23	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
25	24	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ (𝐷‘𝐺) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥))) → (𝐹(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
26	13, 21, 25	3eqtrd 2782	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ (𝐷‘𝐺) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥))) → ((𝐹 · 𝐺)‘𝑥) = (0g‘𝑅))
27	26	expr 457	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → ((𝐷‘𝐺) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥) → ((𝐹 · 𝐺)‘𝑥) = (0g‘𝑅)))
28	27	ralrimiva 3103	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ((𝐷‘𝐺) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥) → ((𝐹 · 𝐺)‘𝑥) = (0g‘𝑅)))
29		mdegaddle.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
30	1	mpllmod 21223	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑌 ∈ LMod)
31	29, 22, 30	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ LMod)
32	1, 29, 22	mplsca 21217	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑌))
33	32	fveq2d 6778	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑌)))
34	3, 33	eqtrid 2790	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (Base‘(Scalar‘𝑌)))
35	7, 34	eleqtrd 2841	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)))
36		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑌) = (Scalar‘𝑌)
37		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑌)) = (Base‘(Scalar‘𝑌))
38	4, 36, 2, 37	lmodvscl 20140	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐹 · 𝐺) ∈ 𝐵)
39	31, 35, 9, 38	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 · 𝐺) ∈ 𝐵)
40	14, 1, 4	mdegxrcl 25232	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐵 → (𝐷‘𝐺) ∈ ℝ*)
41	9, 40	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) ∈ ℝ*)
42	14, 1, 4, 15, 6, 16	mdegleb 25229	. . 3 ⊢ (((𝐹 · 𝐺) ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝐺) ∈ ℝ*) → ((𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) ≤ (𝐷‘𝐺) ↔ ∀𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ((𝐷‘𝐺) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥) → ((𝐹 · 𝐺)‘𝑥) = (0g‘𝑅))))
43	39, 41, 42	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) ≤ (𝐷‘𝐺) ↔ ∀𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ((𝐷‘𝐺) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥) → ((𝐹 · 𝐺)‘𝑥) = (0g‘𝑅))))
44	28, 43	mpbird 256	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) ≤ (𝐷‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  {crab 3068   class class class wbr 5074   ↦ cmpt 5157  ^◡ccnv 5588   “ cima 5592  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275   ↑_m cmap 8615  Fincfn 8733  ℝ^*cxr 11008   < clt 11009   ≤ cle 11010  ℕcn 11973  ℕ₀cn0 12233  Basecbs 16912  ._rcmulr 16963  Scalarcsca 16965   ·_𝑠 cvsca 16966  0_gc0g 17150   Σ_g cgsu 17151  Ringcrg 19783  LModclmod 20123  ℂ_fldccnfld 20597   mPoly cmpl 21109   mDeg cmdg 25215

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949  ax-addf 10950  ax-mulf 10951

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-sup 9201  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-seq 13722  df-hash 14045  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-starv 16977  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-unif 16985  df-0g 17152  df-gsum 17153  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-submnd 18431  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-sbg 18582  df-subg 18752  df-cntz 18923  df-cmn 19388  df-abl 19389  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-cring 19786  df-lmod 20125  df-lss 20194  df-cnfld 20598  df-psr 21112  df-mpl 21114  df-mdeg 25217

This theorem is referenced by:  deg1vscale  25269