Theorem mdegvscale 24676

Description: The degree of a scalar multiple of a polynomial is at most the degree of the original polynomial. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdegaddle.y	⊢ 𝑌 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mdegaddle.d	⊢ 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
mdegaddle.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
mdegaddle.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
mdegvscale.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
mdegvscale.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
mdegvscale.p	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌)
mdegvscale.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐾)
mdegvscale.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mdegvscale	⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) ≤ (𝐷‘𝐺))

Proof of Theorem mdegvscale

Dummy variables 𝑥 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mdegaddle.y	. . . . . . 7 ⊢ 𝑌 = (𝐼 mPoly 𝑅)
2		mdegvscale.p	. . . . . . 7 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌)
3		mdegvscale.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
4		mdegvscale.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
5		eqid 2798	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
6		eqid 2798	. . . . . . 7 ⊢ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}
7		mdegvscale.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐾)
8	7	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝐹 ∈ 𝐾)
9		mdegvscale.g	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
10	9	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝐺 ∈ 𝐵)
11		simpr 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin})
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 11	mplvscaval 20687	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → ((𝐹 · 𝐺)‘𝑥) = (𝐹(.r‘𝑅)(𝐺‘𝑥)))
13	12	adantrr 716	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ (𝐷‘𝐺) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥))) → ((𝐹 · 𝐺)‘𝑥) = (𝐹(.r‘𝑅)(𝐺‘𝑥)))
14		mdegaddle.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
15		eqid 2798	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
16		eqid 2798	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) = (𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))
17	9	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ (𝐷‘𝐺) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥))) → 𝐺 ∈ 𝐵)
18		simprl 770	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ (𝐷‘𝐺) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥))) → 𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin})
19		simprr 772	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ (𝐷‘𝐺) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥))) → (𝐷‘𝐺) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥))
20	14, 1, 4, 15, 6, 16, 17, 18, 19	mdeglt 24666	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ (𝐷‘𝐺) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥))) → (𝐺‘𝑥) = (0g‘𝑅))
21	20	oveq2d 7151	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ (𝐷‘𝐺) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥))) → (𝐹(.r‘𝑅)(𝐺‘𝑥)) = (𝐹(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)))
22		mdegaddle.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
23	3, 5, 15	ringrz 19334	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾) → (𝐹(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
24	22, 7, 23	syl2anc 587	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
25	24	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ (𝐷‘𝐺) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥))) → (𝐹(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
26	13, 21, 25	3eqtrd 2837	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ (𝐷‘𝐺) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥))) → ((𝐹 · 𝐺)‘𝑥) = (0g‘𝑅))
27	26	expr 460	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → ((𝐷‘𝐺) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥) → ((𝐹 · 𝐺)‘𝑥) = (0g‘𝑅)))
28	27	ralrimiva 3149	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ((𝐷‘𝐺) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥) → ((𝐹 · 𝐺)‘𝑥) = (0g‘𝑅)))
29		mdegaddle.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
30	1	mpllmod 20690	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑌 ∈ LMod)
31	29, 22, 30	syl2anc 587	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ LMod)
32	1, 29, 22	mplsca 20684	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑌))
33	32	fveq2d 6649	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑌)))
34	3, 33	syl5eq 2845	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (Base‘(Scalar‘𝑌)))
35	7, 34	eleqtrd 2892	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)))
36		eqid 2798	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑌) = (Scalar‘𝑌)
37		eqid 2798	. . . . 5 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑌)) = (Base‘(Scalar‘𝑌))
38	4, 36, 2, 37	lmodvscl 19644	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐹 · 𝐺) ∈ 𝐵)
39	31, 35, 9, 38	syl3anc 1368	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 · 𝐺) ∈ 𝐵)
40	14, 1, 4	mdegxrcl 24668	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐵 → (𝐷‘𝐺) ∈ ℝ*)
41	9, 40	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) ∈ ℝ*)
42	14, 1, 4, 15, 6, 16	mdegleb 24665	. . 3 ⊢ (((𝐹 · 𝐺) ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝐺) ∈ ℝ*) → ((𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) ≤ (𝐷‘𝐺) ↔ ∀𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ((𝐷‘𝐺) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥) → ((𝐹 · 𝐺)‘𝑥) = (0g‘𝑅))))
43	39, 41, 42	syl2anc 587	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) ≤ (𝐷‘𝐺) ↔ ∀𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ((𝐷‘𝐺) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥) → ((𝐹 · 𝐺)‘𝑥) = (0g‘𝑅))))
44	28, 43	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) ≤ (𝐷‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106  {crab 3110   class class class wbr 5030   ↦ cmpt 5110  ^◡ccnv 5518   “ cima 5522  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135   ↑_m cmap 8389  Fincfn 8492  ℝ^*cxr 10663   < clt 10664   ≤ cle 10665  ℕcn 11625  ℕ₀cn0 11885  Basecbs 16475  ._rcmulr 16558  Scalarcsca 16560   ·_𝑠 cvsca 16561  0_gc0g 16705   Σ_g cgsu 16706  Ringcrg 19290  LModclmod 19627  ℂ_fldccnfld 20091   mPoly cmpl 20591   mDeg cmdg 24654

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605  ax-mulf 10606

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-of 7389  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-supp 7814  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-fsupp 8818  df-sup 8890  df-oi 8958  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-seq 13365  df-hash 13687  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-submnd 17949  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-sbg 18100  df-subg 18268  df-cntz 18439  df-cmn 18900  df-abl 18901  df-mgp 19233  df-ur 19245  df-ring 19292  df-cring 19293  df-lmod 19629  df-lss 19697  df-cnfld 20092  df-psr 20594  df-mpl 20596  df-mdeg 24656

This theorem is referenced by:  deg1vscale  24705