MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdegvscale Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem mdegvscale 25600
Description: The degree of a scalar multiple of a polynomial is at most the degree of the original polynomial. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mdegaddle.y π‘Œ = (𝐼 mPoly 𝑅)
mdegaddle.d 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
mdegaddle.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
mdegaddle.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
mdegvscale.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Œ)
mdegvscale.k 𝐾 = (Baseβ€˜π‘…)
mdegvscale.p Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Œ)
mdegvscale.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐾)
mdegvscale.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐡)
Assertion
Ref Expression
mdegvscale (πœ‘ β†’ (π·β€˜(𝐹 Β· 𝐺)) ≀ (π·β€˜πΊ))
Proof of Theorem mdegvscale
Dummy variables π‘₯ π‘Ž 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mdegaddle.y . . . . . . 7 π‘Œ = (𝐼 mPoly 𝑅)
2 mdegvscale.p . . . . . . 7 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Œ)
3 mdegvscale.k . . . . . . 7 𝐾 = (Baseβ€˜π‘…)
4 mdegvscale.b . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Œ)
5 eqid 2732 . . . . . . 7 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
6 eqid 2732 . . . . . . 7 {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} = {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}
7 mdegvscale.f . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐾)
87adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝐹 ∈ 𝐾)
9 mdegvscale.g . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐡)
109adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝐺 ∈ 𝐡)
11 simpr 485 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ π‘₯ ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin})
121, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 11mplvscaval 21581 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((𝐹 Β· 𝐺)β€˜π‘₯) = (𝐹(.rβ€˜π‘…)(πΊβ€˜π‘₯)))
1312adantrr 715 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ (π·β€˜πΊ) < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘₯))) β†’ ((𝐹 Β· 𝐺)β€˜π‘₯) = (𝐹(.rβ€˜π‘…)(πΊβ€˜π‘₯)))
14 mdegaddle.d . . . . . . 7 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
15 eqid 2732 . . . . . . 7 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
16 eqid 2732 . . . . . . 7 (𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏)) = (𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))
179adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ (π·β€˜πΊ) < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘₯))) β†’ 𝐺 ∈ 𝐡)
18 simprl 769 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ (π·β€˜πΊ) < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘₯))) β†’ π‘₯ ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin})
19 simprr 771 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ (π·β€˜πΊ) < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘₯))) β†’ (π·β€˜πΊ) < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘₯))
2014, 1, 4, 15, 6, 16, 17, 18, 19mdeglt 25590 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ (π·β€˜πΊ) < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘₯))) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = (0gβ€˜π‘…))
2120oveq2d 7427 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ (π·β€˜πΊ) < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘₯))) β†’ (𝐹(.rβ€˜π‘…)(πΊβ€˜π‘₯)) = (𝐹(.rβ€˜π‘…)(0gβ€˜π‘…)))
22 mdegaddle.r . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
233, 5, 15ringrz 20110 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾) β†’ (𝐹(.rβ€˜π‘…)(0gβ€˜π‘…)) = (0gβ€˜π‘…))
2422, 7, 23syl2anc 584 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐹(.rβ€˜π‘…)(0gβ€˜π‘…)) = (0gβ€˜π‘…))
2524adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ (π·β€˜πΊ) < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘₯))) β†’ (𝐹(.rβ€˜π‘…)(0gβ€˜π‘…)) = (0gβ€˜π‘…))
2613, 21, 253eqtrd 2776 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∧ (π·β€˜πΊ) < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘₯))) β†’ ((𝐹 Β· 𝐺)β€˜π‘₯) = (0gβ€˜π‘…))
2726expr 457 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((π·β€˜πΊ) < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘₯) β†’ ((𝐹 Β· 𝐺)β€˜π‘₯) = (0gβ€˜π‘…)))
2827ralrimiva 3146 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ((π·β€˜πΊ) < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘₯) β†’ ((𝐹 Β· 𝐺)β€˜π‘₯) = (0gβ€˜π‘…)))
29 mdegaddle.i . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
301mpllmod 21583 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ π‘Œ ∈ LMod)
3129, 22, 30syl2anc 584 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ LMod)
321, 29, 22mplsca 21578 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘Œ))
3332fveq2d 6895 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)))
343, 33eqtrid 2784 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐾 = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)))
357, 34eleqtrd 2835 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)))
36 eqid 2732 . . . . 5 (Scalarβ€˜π‘Œ) = (Scalarβ€˜π‘Œ)
37 eqid 2732 . . . . 5 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ))
384, 36, 2, 37lmodvscl 20493 . . . 4 ((π‘Œ ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Œ)) ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ (𝐹 Β· 𝐺) ∈ 𝐡)
3931, 35, 9, 38syl3anc 1371 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 Β· 𝐺) ∈ 𝐡)
4014, 1, 4mdegxrcl 25592 . . . 4 (𝐺 ∈ 𝐡 β†’ (π·β€˜πΊ) ∈ ℝ*)
419, 40syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (π·β€˜πΊ) ∈ ℝ*)
4214, 1, 4, 15, 6, 16mdegleb 25589 . . 3 (((𝐹 Β· 𝐺) ∈ 𝐡 ∧ (π·β€˜πΊ) ∈ ℝ*) β†’ ((π·β€˜(𝐹 Β· 𝐺)) ≀ (π·β€˜πΊ) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ((π·β€˜πΊ) < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘₯) β†’ ((𝐹 Β· 𝐺)β€˜π‘₯) = (0gβ€˜π‘…))))
4339, 41, 42syl2anc 584 . 2 (πœ‘ β†’ ((π·β€˜(𝐹 Β· 𝐺)) ≀ (π·β€˜πΊ) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ((π·β€˜πΊ) < ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))β€˜π‘₯) β†’ ((𝐹 Β· 𝐺)β€˜π‘₯) = (0gβ€˜π‘…))))
4428, 43mpbird 256 1 (πœ‘ β†’ (π·β€˜(𝐹 Β· 𝐺)) ≀ (π·β€˜πΊ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  {crab 3432   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  β—‘ccnv 5675   β€œ cima 5679  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411   ↑m cmap 8822  Fincfn 8941  β„*cxr 11249   < clt 11250   ≀ cle 11251  β„•cn 12214  β„•0cn0 12474  Basecbs 17146  .rcmulr 17200  Scalarcsca 17202   ·𝑠 cvsca 17203  0gc0g 17387   Ξ£g cgsu 17388  Ringcrg 20058  LModclmod 20475  β„‚fldccnfld 20950   mPoly cmpl 21465   mDeg cmdg 25575
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12475  df-z 12561  df-dec 12680  df-uz 12825  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-seq 13969  df-hash 14293  df-struct 17082  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-ress 17176  df-plusg 17212  df-mulr 17213  df-starv 17214  df-sca 17215  df-vsca 17216  df-ip 17217  df-tset 17218  df-ple 17219  df-ds 17221  df-unif 17222  df-hom 17223  df-cco 17224  df-0g 17389  df-gsum 17390  df-prds 17395  df-pws 17397  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-submnd 18674  df-grp 18824  df-minusg 18825  df-sbg 18826  df-subg 19005  df-cntz 19183  df-cmn 19652  df-abl 19653  df-mgp 19990  df-ur 20007  df-ring 20060  df-cring 20061  df-lmod 20477  df-lss 20548  df-cnfld 20951  df-psr 21468  df-mpl 21470  df-mdeg 25577
This theorem is referenced by:  deg1vscale  25629
  Copyright terms: Public domain W3C validator