MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdegvscale Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdegvscale 25240
Description: The degree of a scalar multiple of a polynomial is at most the degree of the original polynomial. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mdegaddle.y 𝑌 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mdegaddle.d 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
mdegaddle.i (𝜑𝐼𝑉)
mdegaddle.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
mdegvscale.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
mdegvscale.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
mdegvscale.p · = ( ·𝑠𝑌)
mdegvscale.f (𝜑𝐹𝐾)
mdegvscale.g (𝜑𝐺𝐵)
Assertion
Ref Expression
mdegvscale (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) ≤ (𝐷𝐺))

Proof of Theorem mdegvscale
Dummy variables 𝑥 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mdegaddle.y . . . . . . 7 𝑌 = (𝐼 mPoly 𝑅)
2 mdegvscale.p . . . . . . 7 · = ( ·𝑠𝑌)
3 mdegvscale.k . . . . . . 7 𝐾 = (Base‘𝑅)
4 mdegvscale.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑌)
5 eqid 2738 . . . . . . 7 (.r𝑅) = (.r𝑅)
6 eqid 2738 . . . . . . 7 {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}
7 mdegvscale.f . . . . . . . 8 (𝜑𝐹𝐾)
87adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝐹𝐾)
9 mdegvscale.g . . . . . . . 8 (𝜑𝐺𝐵)
109adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝐺𝐵)
11 simpr 485 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin})
121, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 11mplvscaval 21220 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → ((𝐹 · 𝐺)‘𝑥) = (𝐹(.r𝑅)(𝐺𝑥)))
1312adantrr 714 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ (𝐷𝐺) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥))) → ((𝐹 · 𝐺)‘𝑥) = (𝐹(.r𝑅)(𝐺𝑥)))
14 mdegaddle.d . . . . . . 7 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
15 eqid 2738 . . . . . . 7 (0g𝑅) = (0g𝑅)
16 eqid 2738 . . . . . . 7 (𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) = (𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))
179adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ (𝐷𝐺) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥))) → 𝐺𝐵)
18 simprl 768 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ (𝐷𝐺) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥))) → 𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin})
19 simprr 770 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ (𝐷𝐺) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥))) → (𝐷𝐺) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥))
2014, 1, 4, 15, 6, 16, 17, 18, 19mdeglt 25230 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ (𝐷𝐺) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥))) → (𝐺𝑥) = (0g𝑅))
2120oveq2d 7291 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ (𝐷𝐺) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥))) → (𝐹(.r𝑅)(𝐺𝑥)) = (𝐹(.r𝑅)(0g𝑅)))
22 mdegaddle.r . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
233, 5, 15ringrz 19827 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐾) → (𝐹(.r𝑅)(0g𝑅)) = (0g𝑅))
2422, 7, 23syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹(.r𝑅)(0g𝑅)) = (0g𝑅))
2524adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ (𝐷𝐺) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥))) → (𝐹(.r𝑅)(0g𝑅)) = (0g𝑅))
2613, 21, 253eqtrd 2782 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ (𝐷𝐺) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥))) → ((𝐹 · 𝐺)‘𝑥) = (0g𝑅))
2726expr 457 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → ((𝐷𝐺) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥) → ((𝐹 · 𝐺)‘𝑥) = (0g𝑅)))
2827ralrimiva 3103 . 2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ((𝐷𝐺) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥) → ((𝐹 · 𝐺)‘𝑥) = (0g𝑅)))
29 mdegaddle.i . . . . 5 (𝜑𝐼𝑉)
301mpllmod 21223 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring) → 𝑌 ∈ LMod)
3129, 22, 30syl2anc 584 . . . 4 (𝜑𝑌 ∈ LMod)
321, 29, 22mplsca 21217 . . . . . . 7 (𝜑𝑅 = (Scalar‘𝑌))
3332fveq2d 6778 . . . . . 6 (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑌)))
343, 33eqtrid 2790 . . . . 5 (𝜑𝐾 = (Base‘(Scalar‘𝑌)))
357, 34eleqtrd 2841 . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)))
36 eqid 2738 . . . . 5 (Scalar‘𝑌) = (Scalar‘𝑌)
37 eqid 2738 . . . . 5 (Base‘(Scalar‘𝑌)) = (Base‘(Scalar‘𝑌))
384, 36, 2, 37lmodvscl 20140 . . . 4 ((𝑌 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝐺𝐵) → (𝐹 · 𝐺) ∈ 𝐵)
3931, 35, 9, 38syl3anc 1370 . . 3 (𝜑 → (𝐹 · 𝐺) ∈ 𝐵)
4014, 1, 4mdegxrcl 25232 . . . 4 (𝐺𝐵 → (𝐷𝐺) ∈ ℝ*)
419, 40syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐷𝐺) ∈ ℝ*)
4214, 1, 4, 15, 6, 16mdegleb 25229 . . 3 (((𝐹 · 𝐺) ∈ 𝐵 ∧ (𝐷𝐺) ∈ ℝ*) → ((𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) ≤ (𝐷𝐺) ↔ ∀𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ((𝐷𝐺) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥) → ((𝐹 · 𝐺)‘𝑥) = (0g𝑅))))
4339, 41, 42syl2anc 584 . 2 (𝜑 → ((𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) ≤ (𝐷𝐺) ↔ ∀𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ((𝐷𝐺) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥) → ((𝐹 · 𝐺)‘𝑥) = (0g𝑅))))
4428, 43mpbird 256 1 (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) ≤ (𝐷𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1539  wcel 2106  wral 3064  {crab 3068   class class class wbr 5074  cmpt 5157  ccnv 5588  cima 5592  cfv 6433  (class class class)co 7275  m cmap 8615  Fincfn 8733  *cxr 11008   < clt 11009  cle 11010  cn 11973  0cn0 12233  Basecbs 16912  .rcmulr 16963  Scalarcsca 16965   ·𝑠 cvsca 16966  0gc0g 17150   Σg cgsu 17151  Ringcrg 19783  LModclmod 20123  fldccnfld 20597   mPoly cmpl 21109   mDeg cmdg 25215
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949  ax-addf 10950  ax-mulf 10951
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-sup 9201  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-seq 13722  df-hash 14045  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-starv 16977  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-unif 16985  df-0g 17152  df-gsum 17153  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-submnd 18431  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-sbg 18582  df-subg 18752  df-cntz 18923  df-cmn 19388  df-abl 19389  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-cring 19786  df-lmod 20125  df-lss 20194  df-cnfld 20598  df-psr 21112  df-mpl 21114  df-mdeg 25217
This theorem is referenced by:  deg1vscale  25269
  Copyright terms: Public domain W3C validator