Theorem mdegvscale 26197

Description: The degree of a scalar multiple of a polynomial is at most the degree of the original polynomial. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdegaddle.y	⊢ 𝑌 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mdegaddle.d	⊢ 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
mdegaddle.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
mdegaddle.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
mdegvscale.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
mdegvscale.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
mdegvscale.p	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌)
mdegvscale.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐾)
mdegvscale.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mdegvscale	⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) ≤ (𝐷‘𝐺))

Proof of Theorem mdegvscale

Dummy variables 𝑥 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mdegaddle.y	. . . . . . 7 ⊢ 𝑌 = (𝐼 mPoly 𝑅)
2		mdegvscale.p	. . . . . . 7 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌)
3		mdegvscale.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
4		mdegvscale.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
5		eqid 2769	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
6		eqid 2769	. . . . . . 7 ⊢ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}
7		mdegvscale.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐾)
8	7	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝐹 ∈ 𝐾)
9		mdegvscale.g	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
10	9	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝐺 ∈ 𝐵)
11		simpr 489	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin})
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 11	mplvscaval 22130	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → ((𝐹 · 𝐺)‘𝑥) = (𝐹(.r‘𝑅)(𝐺‘𝑥)))
13	12	adantrr 729	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ (𝐷‘𝐺) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥))) → ((𝐹 · 𝐺)‘𝑥) = (𝐹(.r‘𝑅)(𝐺‘𝑥)))
14		mdegaddle.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
15		eqid 2769	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
16		eqid 2769	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) = (𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))
17	9	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ (𝐷‘𝐺) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥))) → 𝐺 ∈ 𝐵)
18		simprl 782	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ (𝐷‘𝐺) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥))) → 𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin})
19		simprr 784	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ (𝐷‘𝐺) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥))) → (𝐷‘𝐺) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥))
20	14, 1, 4, 15, 6, 16, 17, 18, 19	mdeglt 26187	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ (𝐷‘𝐺) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥))) → (𝐺‘𝑥) = (0g‘𝑅))
21	20	oveq2d 7424	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ (𝐷‘𝐺) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥))) → (𝐹(.r‘𝑅)(𝐺‘𝑥)) = (𝐹(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)))
22		mdegaddle.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
23	3, 5, 15	ringrz 20373	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐾) → (𝐹(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
24	22, 7, 23	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
25	24	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ (𝐷‘𝐺) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥))) → (𝐹(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
26	13, 21, 25	3eqtrd 2808	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ (𝐷‘𝐺) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥))) → ((𝐹 · 𝐺)‘𝑥) = (0g‘𝑅))
27	26	expr 461	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}) → ((𝐷‘𝐺) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥) → ((𝐹 · 𝐺)‘𝑥) = (0g‘𝑅)))
28	27	ralrimiva 3163	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ((𝐷‘𝐺) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥) → ((𝐹 · 𝐺)‘𝑥) = (0g‘𝑅)))
29		mdegaddle.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
30	1, 29, 22	mpllmodd 22139	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ LMod)
31	1, 29, 22	mplsca 22127	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑌))
32	31	fveq2d 6883	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑌)))
33	3, 32	eqtrid 2816	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (Base‘(Scalar‘𝑌)))
34	7, 33	eleqtrd 2871	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)))
35		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑌) = (Scalar‘𝑌)
36		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑌)) = (Base‘(Scalar‘𝑌))
37	4, 35, 2, 36	lmodvscl 20973	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐹 · 𝐺) ∈ 𝐵)
38	30, 34, 9, 37	syl3anc 1396	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 · 𝐺) ∈ 𝐵)
39	14, 1, 4	mdegxrcl 26189	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐵 → (𝐷‘𝐺) ∈ ℝ*)
40	9, 39	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) ∈ ℝ*)
41	14, 1, 4, 15, 6, 16	mdegleb 26186	. . 3 ⊢ (((𝐹 · 𝐺) ∈ 𝐵 ∧ (𝐷‘𝐺) ∈ ℝ*) → ((𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) ≤ (𝐷‘𝐺) ↔ ∀𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ((𝐷‘𝐺) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥) → ((𝐹 · 𝐺)‘𝑥) = (0g‘𝑅))))
42	38, 40, 41	syl2anc 595	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) ≤ (𝐷‘𝐺) ↔ ∀𝑥 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ((𝐷‘𝐺) < ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))‘𝑥) → ((𝐹 · 𝐺)‘𝑥) = (0g‘𝑅))))
43	28, 42	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝐹 · 𝐺)) ≤ (𝐷‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∀wral 3085  {crab 3423   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193  ^◡ccnv 5658   “ cima 5662  ‘cfv 6533  (class class class)co 7408   ↑_m cmap 8820  Fincfn 8939  ℝ^*cxr 11238   < clt 11239   ≤ cle 11240  ℕcn 12229  ℕ₀cn0 12500  Basecbs 17265  ._rcmulr 17307  Scalarcsca 17309   ·_𝑠 cvsca 17310  0_gc0g 17488   Σ_g cgsu 17489  Ringcrg 20311  LModclmod 20955  ℂ_fldccnfld 21487   mPoly cmpl 22021   mDeg cmdg 26175

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173  ax-pre-sup 11174  ax-addf 11175

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7672  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8153  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-map 8822  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9318  df-sup 9398  df-oi 9468  df-card 9921  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12501  df-z 12588  df-dec 12708  df-uz 12859  df-fz 13532  df-fzo 13679  df-seq 14034  df-hash 14363  df-struct 17203  df-sets 17220  df-slot 17238  df-ndx 17250  df-base 17266  df-ress 17287  df-plusg 17319  df-mulr 17320  df-starv 17321  df-sca 17322  df-vsca 17323  df-ip 17324  df-tset 17325  df-ple 17326  df-ds 17328  df-unif 17329  df-hom 17330  df-cco 17331  df-0g 17490  df-gsum 17491  df-prds 17496  df-pws 17498  df-mgm 18694  df-sgrp 18773  df-mnd 18789  df-submnd 18838  df-grp 18999  df-minusg 19000  df-sbg 19001  df-subg 19185  df-cntz 19383  df-cmn 19848  df-abl 19849  df-mgp 20213  df-rng 20227  df-ur 20260  df-ring 20313  df-cring 20314  df-lmod 20957  df-lss 21027  df-cnfld 21488  df-psr 22024  df-mpl 22026  df-mdeg 26177

This theorem is referenced by:  deg1vscale  26226