Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
||
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > mulgcdr | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Reverse distribution law for the gcd operator. (Contributed by Scott Fenton, 2-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.) |
Ref | Expression |
---|---|
mulgcdr | โข ((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค โง ๐ถ โ โ0) โ ((๐ด ยท ๐ถ) gcd (๐ต ยท ๐ถ)) = ((๐ด gcd ๐ต) ยท ๐ถ)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | mulgcd 16301 | . . 3 โข ((๐ถ โ โ0 โง ๐ด โ โค โง ๐ต โ โค) โ ((๐ถ ยท ๐ด) gcd (๐ถ ยท ๐ต)) = (๐ถ ยท (๐ด gcd ๐ต))) | |
2 | 1 | 3coml 1127 | . 2 โข ((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค โง ๐ถ โ โ0) โ ((๐ถ ยท ๐ด) gcd (๐ถ ยท ๐ต)) = (๐ถ ยท (๐ด gcd ๐ต))) |
3 | zcn 12370 | . . . . 5 โข (๐ด โ โค โ ๐ด โ โ) | |
4 | 3 | 3ad2ant1 1133 | . . . 4 โข ((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค โง ๐ถ โ โ0) โ ๐ด โ โ) |
5 | nn0cn 12289 | . . . . 5 โข (๐ถ โ โ0 โ ๐ถ โ โ) | |
6 | 5 | 3ad2ant3 1135 | . . . 4 โข ((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค โง ๐ถ โ โ0) โ ๐ถ โ โ) |
7 | 4, 6 | mulcomd 11042 | . . 3 โข ((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค โง ๐ถ โ โ0) โ (๐ด ยท ๐ถ) = (๐ถ ยท ๐ด)) |
8 | zcn 12370 | . . . . 5 โข (๐ต โ โค โ ๐ต โ โ) | |
9 | 8 | 3ad2ant2 1134 | . . . 4 โข ((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค โง ๐ถ โ โ0) โ ๐ต โ โ) |
10 | 9, 6 | mulcomd 11042 | . . 3 โข ((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค โง ๐ถ โ โ0) โ (๐ต ยท ๐ถ) = (๐ถ ยท ๐ต)) |
11 | 7, 10 | oveq12d 7325 | . 2 โข ((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค โง ๐ถ โ โ0) โ ((๐ด ยท ๐ถ) gcd (๐ต ยท ๐ถ)) = ((๐ถ ยท ๐ด) gcd (๐ถ ยท ๐ต))) |
12 | gcdcl 16258 | . . . . 5 โข ((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค) โ (๐ด gcd ๐ต) โ โ0) | |
13 | 12 | 3adant3 1132 | . . . 4 โข ((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค โง ๐ถ โ โ0) โ (๐ด gcd ๐ต) โ โ0) |
14 | 13 | nn0cnd 12341 | . . 3 โข ((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค โง ๐ถ โ โ0) โ (๐ด gcd ๐ต) โ โ) |
15 | 14, 6 | mulcomd 11042 | . 2 โข ((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค โง ๐ถ โ โ0) โ ((๐ด gcd ๐ต) ยท ๐ถ) = (๐ถ ยท (๐ด gcd ๐ต))) |
16 | 2, 11, 15 | 3eqtr4d 2786 | 1 โข ((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค โง ๐ถ โ โ0) โ ((๐ด ยท ๐ถ) gcd (๐ต ยท ๐ถ)) = ((๐ด gcd ๐ต) ยท ๐ถ)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง w3a 1087 = wceq 1539 โ wcel 2104 (class class class)co 7307 โcc 10915 ยท cmul 10922 โ0cn0 12279 โคcz 12365 gcd cgcd 16246 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1795 ax-4 1809 ax-5 1911 ax-6 1969 ax-7 2009 ax-8 2106 ax-9 2114 ax-10 2135 ax-11 2152 ax-12 2169 ax-ext 2707 ax-sep 5232 ax-nul 5239 ax-pow 5297 ax-pr 5361 ax-un 7620 ax-cnex 10973 ax-resscn 10974 ax-1cn 10975 ax-icn 10976 ax-addcl 10977 ax-addrcl 10978 ax-mulcl 10979 ax-mulrcl 10980 ax-mulcom 10981 ax-addass 10982 ax-mulass 10983 ax-distr 10984 ax-i2m1 10985 ax-1ne0 10986 ax-1rid 10987 ax-rnegex 10988 ax-rrecex 10989 ax-cnre 10990 ax-pre-lttri 10991 ax-pre-lttrn 10992 ax-pre-ltadd 10993 ax-pre-mulgt0 10994 ax-pre-sup 10995 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 846 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1542 df-fal 1552 df-ex 1780 df-nf 1784 df-sb 2066 df-mo 2538 df-eu 2567 df-clab 2714 df-cleq 2728 df-clel 2814 df-nfc 2887 df-ne 2942 df-nel 3048 df-ral 3063 df-rex 3072 df-rmo 3285 df-reu 3286 df-rab 3287 df-v 3439 df-sbc 3722 df-csb 3838 df-dif 3895 df-un 3897 df-in 3899 df-ss 3909 df-pss 3911 df-nul 4263 df-if 4466 df-pw 4541 df-sn 4566 df-pr 4568 df-op 4572 df-uni 4845 df-iun 4933 df-br 5082 df-opab 5144 df-mpt 5165 df-tr 5199 df-id 5500 df-eprel 5506 df-po 5514 df-so 5515 df-fr 5555 df-we 5557 df-xp 5606 df-rel 5607 df-cnv 5608 df-co 5609 df-dm 5610 df-rn 5611 df-res 5612 df-ima 5613 df-pred 6217 df-ord 6284 df-on 6285 df-lim 6286 df-suc 6287 df-iota 6410 df-fun 6460 df-fn 6461 df-f 6462 df-f1 6463 df-fo 6464 df-f1o 6465 df-fv 6466 df-riota 7264 df-ov 7310 df-oprab 7311 df-mpo 7312 df-om 7745 df-2nd 7864 df-frecs 8128 df-wrecs 8159 df-recs 8233 df-rdg 8272 df-er 8529 df-en 8765 df-dom 8766 df-sdom 8767 df-sup 9245 df-inf 9246 df-pnf 11057 df-mnf 11058 df-xr 11059 df-ltxr 11060 df-le 11061 df-sub 11253 df-neg 11254 df-div 11679 df-nn 12020 df-2 12082 df-3 12083 df-n0 12280 df-z 12366 df-uz 12629 df-rp 12777 df-fl 13558 df-mod 13636 df-seq 13768 df-exp 13829 df-cj 14855 df-re 14856 df-im 14857 df-sqrt 14991 df-abs 14992 df-dvds 16009 df-gcd 16247 |
This theorem is referenced by: gcddiv 16304 rpmulgcd 16311 hashgcdlem 16534 coprimeprodsq 16554 odadd2 19495 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |