MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  absmulgcd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem absmulgcd 16583
Description: Distribute absolute value of multiplication over gcd. Theorem 1.4(c) in [ApostolNT] p. 16. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)
Assertion
Ref Expression
absmulgcd ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) = (abs‘(𝐾 · (𝑀 gcd 𝑁))))

Proof of Theorem absmulgcd
StepHypRef Expression
1 gcdcl 16540 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℕ0)
2 nn0re 12533 . . . . . 6 ((𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℕ0 → (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℝ)
3 nn0ge0 12549 . . . . . 6 ((𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℕ0 → 0 ≤ (𝑀 gcd 𝑁))
42, 3absidd 15458 . . . . 5 ((𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℕ0 → (abs‘(𝑀 gcd 𝑁)) = (𝑀 gcd 𝑁))
51, 4syl 17 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (abs‘(𝑀 gcd 𝑁)) = (𝑀 gcd 𝑁))
65oveq2d 7447 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘𝐾) · (abs‘(𝑀 gcd 𝑁))) = ((abs‘𝐾) · (𝑀 gcd 𝑁)))
763adant1 1129 . 2 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘𝐾) · (abs‘(𝑀 gcd 𝑁))) = ((abs‘𝐾) · (𝑀 gcd 𝑁)))
8 zcn 12616 . . . 4 (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ)
91nn0cnd 12587 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℂ)
10 absmul 15330 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℂ) → (abs‘(𝐾 · (𝑀 gcd 𝑁))) = ((abs‘𝐾) · (abs‘(𝑀 gcd 𝑁))))
118, 9, 10syl2an 596 . . 3 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (abs‘(𝐾 · (𝑀 gcd 𝑁))) = ((abs‘𝐾) · (abs‘(𝑀 gcd 𝑁))))
12113impb 1114 . 2 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (abs‘(𝐾 · (𝑀 gcd 𝑁))) = ((abs‘𝐾) · (abs‘(𝑀 gcd 𝑁))))
13 zcn 12616 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
14 zcn 12616 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
15 absmul 15330 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → (abs‘(𝐾 · 𝑀)) = ((abs‘𝐾) · (abs‘𝑀)))
16 absmul 15330 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (abs‘(𝐾 · 𝑁)) = ((abs‘𝐾) · (abs‘𝑁)))
1715, 16oveqan12d 7450 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) ∧ (𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ)) → ((abs‘(𝐾 · 𝑀)) gcd (abs‘(𝐾 · 𝑁))) = (((abs‘𝐾) · (abs‘𝑀)) gcd ((abs‘𝐾) · (abs‘𝑁))))
18173impdi 1349 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → ((abs‘(𝐾 · 𝑀)) gcd (abs‘(𝐾 · 𝑁))) = (((abs‘𝐾) · (abs‘𝑀)) gcd ((abs‘𝐾) · (abs‘𝑁))))
198, 13, 14, 18syl3an 1159 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘(𝐾 · 𝑀)) gcd (abs‘(𝐾 · 𝑁))) = (((abs‘𝐾) · (abs‘𝑀)) gcd ((abs‘𝐾) · (abs‘𝑁))))
20 zmulcl 12664 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐾 · 𝑀) ∈ ℤ)
21 zmulcl 12664 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 · 𝑁) ∈ ℤ)
22 gcdabs 16565 . . . . . 6 (((𝐾 · 𝑀) ∈ ℤ ∧ (𝐾 · 𝑁) ∈ ℤ) → ((abs‘(𝐾 · 𝑀)) gcd (abs‘(𝐾 · 𝑁))) = ((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)))
2320, 21, 22syl2an 596 . . . . 5 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((abs‘(𝐾 · 𝑀)) gcd (abs‘(𝐾 · 𝑁))) = ((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)))
24233impdi 1349 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘(𝐾 · 𝑀)) gcd (abs‘(𝐾 · 𝑁))) = ((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)))
25 nn0abscl 15348 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℤ → (abs‘𝐾) ∈ ℕ0)
26 zabscl 15349 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → (abs‘𝑀) ∈ ℤ)
27 zabscl 15349 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → (abs‘𝑁) ∈ ℤ)
28 mulgcd 16582 . . . . 5 (((abs‘𝐾) ∈ ℕ0 ∧ (abs‘𝑀) ∈ ℤ ∧ (abs‘𝑁) ∈ ℤ) → (((abs‘𝐾) · (abs‘𝑀)) gcd ((abs‘𝐾) · (abs‘𝑁))) = ((abs‘𝐾) · ((abs‘𝑀) gcd (abs‘𝑁))))
2925, 26, 27, 28syl3an 1159 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((abs‘𝐾) · (abs‘𝑀)) gcd ((abs‘𝐾) · (abs‘𝑁))) = ((abs‘𝐾) · ((abs‘𝑀) gcd (abs‘𝑁))))
3019, 24, 293eqtr3d 2783 . . 3 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) = ((abs‘𝐾) · ((abs‘𝑀) gcd (abs‘𝑁))))
31 gcdabs 16565 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑀) gcd (abs‘𝑁)) = (𝑀 gcd 𝑁))
32313adant1 1129 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑀) gcd (abs‘𝑁)) = (𝑀 gcd 𝑁))
3332oveq2d 7447 . . 3 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘𝐾) · ((abs‘𝑀) gcd (abs‘𝑁))) = ((abs‘𝐾) · (𝑀 gcd 𝑁)))
3430, 33eqtrd 2775 . 2 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) = ((abs‘𝐾) · (𝑀 gcd 𝑁)))
357, 12, 343eqtr4rd 2786 1 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) = (abs‘(𝐾 · (𝑀 gcd 𝑁))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151   · cmul 11158  0cn0 12524  cz 12611  abscabs 15270   gcd cgcd 16528
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fl 13829  df-mod 13907  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-dvds 16288  df-gcd 16529
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator