Theorem absmulgcd 16487

Description: Distribute absolute value of multiplication over gcd. Theorem 1.4(c) in [ApostolNT] p. 16. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
absmulgcd	⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) = (abs‘(𝐾 · (𝑀 gcd 𝑁))))

Proof of Theorem absmulgcd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gcdcl 16443	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℕ0)
2		nn0re 12477	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℕ0 → (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℝ)
3		nn0ge0 12493	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℕ0 → 0 ≤ (𝑀 gcd 𝑁))
4	2, 3	absidd 15365	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℕ0 → (abs‘(𝑀 gcd 𝑁)) = (𝑀 gcd 𝑁))
5	1, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (abs‘(𝑀 gcd 𝑁)) = (𝑀 gcd 𝑁))
6	5	oveq2d 7420	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘𝐾) · (abs‘(𝑀 gcd 𝑁))) = ((abs‘𝐾) · (𝑀 gcd 𝑁)))
7	6	3adant1 1131	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘𝐾) · (abs‘(𝑀 gcd 𝑁))) = ((abs‘𝐾) · (𝑀 gcd 𝑁)))
8		zcn 12559	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ)
9	1	nn0cnd 12530	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℂ)
10		absmul 15237	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℂ) → (abs‘(𝐾 · (𝑀 gcd 𝑁))) = ((abs‘𝐾) · (abs‘(𝑀 gcd 𝑁))))
11	8, 9, 10	syl2an 597	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (abs‘(𝐾 · (𝑀 gcd 𝑁))) = ((abs‘𝐾) · (abs‘(𝑀 gcd 𝑁))))
12	11	3impb 1116	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (abs‘(𝐾 · (𝑀 gcd 𝑁))) = ((abs‘𝐾) · (abs‘(𝑀 gcd 𝑁))))
13		zcn 12559	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
14		zcn 12559	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
15		absmul 15237	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → (abs‘(𝐾 · 𝑀)) = ((abs‘𝐾) · (abs‘𝑀)))
16		absmul 15237	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (abs‘(𝐾 · 𝑁)) = ((abs‘𝐾) · (abs‘𝑁)))
17	15, 16	oveqan12d 7423	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) ∧ (𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ)) → ((abs‘(𝐾 · 𝑀)) gcd (abs‘(𝐾 · 𝑁))) = (((abs‘𝐾) · (abs‘𝑀)) gcd ((abs‘𝐾) · (abs‘𝑁))))
18	17	3impdi 1351	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → ((abs‘(𝐾 · 𝑀)) gcd (abs‘(𝐾 · 𝑁))) = (((abs‘𝐾) · (abs‘𝑀)) gcd ((abs‘𝐾) · (abs‘𝑁))))
19	8, 13, 14, 18	syl3an 1161	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘(𝐾 · 𝑀)) gcd (abs‘(𝐾 · 𝑁))) = (((abs‘𝐾) · (abs‘𝑀)) gcd ((abs‘𝐾) · (abs‘𝑁))))
20		zmulcl 12607	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐾 · 𝑀) ∈ ℤ)
21		zmulcl 12607	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 · 𝑁) ∈ ℤ)
22		gcdabs 16468	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 · 𝑀) ∈ ℤ ∧ (𝐾 · 𝑁) ∈ ℤ) → ((abs‘(𝐾 · 𝑀)) gcd (abs‘(𝐾 · 𝑁))) = ((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)))
23	20, 21, 22	syl2an 597	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((abs‘(𝐾 · 𝑀)) gcd (abs‘(𝐾 · 𝑁))) = ((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)))
24	23	3impdi 1351	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘(𝐾 · 𝑀)) gcd (abs‘(𝐾 · 𝑁))) = ((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)))
25		nn0abscl 15255	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (abs‘𝐾) ∈ ℕ0)
26		zabscl 15256	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (abs‘𝑀) ∈ ℤ)
27		zabscl 15256	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (abs‘𝑁) ∈ ℤ)
28		mulgcd 16486	. . . . 5 ⊢ (((abs‘𝐾) ∈ ℕ0 ∧ (abs‘𝑀) ∈ ℤ ∧ (abs‘𝑁) ∈ ℤ) → (((abs‘𝐾) · (abs‘𝑀)) gcd ((abs‘𝐾) · (abs‘𝑁))) = ((abs‘𝐾) · ((abs‘𝑀) gcd (abs‘𝑁))))
29	25, 26, 27, 28	syl3an 1161	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((abs‘𝐾) · (abs‘𝑀)) gcd ((abs‘𝐾) · (abs‘𝑁))) = ((abs‘𝐾) · ((abs‘𝑀) gcd (abs‘𝑁))))
30	19, 24, 29	3eqtr3d 2781	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) = ((abs‘𝐾) · ((abs‘𝑀) gcd (abs‘𝑁))))
31		gcdabs 16468	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑀) gcd (abs‘𝑁)) = (𝑀 gcd 𝑁))
32	31	3adant1 1131	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑀) gcd (abs‘𝑁)) = (𝑀 gcd 𝑁))
33	32	oveq2d 7420	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘𝐾) · ((abs‘𝑀) gcd (abs‘𝑁))) = ((abs‘𝐾) · (𝑀 gcd 𝑁)))
34	30, 33	eqtrd 2773	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) = ((abs‘𝐾) · (𝑀 gcd 𝑁)))
35	7, 12, 34	3eqtr4rd 2784	1 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 · 𝑀) gcd (𝐾 · 𝑁)) = (abs‘(𝐾 · (𝑀 gcd 𝑁))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ‘cfv 6540  (class class class)co 7404  ℂcc 11104   · cmul 11111  ℕ₀cn0 12468  ℤcz 12554  abscabs 15177   gcd cgcd 16431

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7851  df-2nd 7971  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-fl 13753  df-mod 13831  df-seq 13963  df-exp 14024  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-dvds 16194  df-gcd 16432

This theorem is referenced by: (None)