MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpmulgcd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rpmulgcd 16505
Description: If ๐พ and ๐‘€ are relatively prime, then the GCD of ๐พ and ๐‘€ ยท ๐‘ is the GCD of ๐พ and ๐‘. (Contributed by Scott Fenton, 12-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
rpmulgcd (((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐พ gcd ๐‘€) = 1) โ†’ (๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) = (๐พ gcd ๐‘))

Proof of Theorem rpmulgcd
StepHypRef Expression
1 gcdmultiple 16485 . . . . . 6 ((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐พ gcd (๐พ ยท ๐‘)) = ๐พ)
213adant2 1128 . . . . 5 ((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐พ gcd (๐พ ยท ๐‘)) = ๐พ)
32oveq1d 7420 . . . 4 ((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐พ gcd (๐พ ยท ๐‘)) gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) = (๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)))
4 nnz 12583 . . . . . 6 (๐พ โˆˆ โ„• โ†’ ๐พ โˆˆ โ„ค)
543ad2ant1 1130 . . . . 5 ((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„ค)
6 nnz 12583 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
7 zmulcl 12615 . . . . . . 7 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พ ยท ๐‘) โˆˆ โ„ค)
84, 6, 7syl2an 595 . . . . . 6 ((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐พ ยท ๐‘) โˆˆ โ„ค)
983adant2 1128 . . . . 5 ((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐พ ยท ๐‘) โˆˆ โ„ค)
10 nnz 12583 . . . . . . 7 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
11 zmulcl 12615 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘) โˆˆ โ„ค)
1210, 6, 11syl2an 595 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘) โˆˆ โ„ค)
13123adant1 1127 . . . . 5 ((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘) โˆˆ โ„ค)
14 gcdass 16496 . . . . 5 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง (๐พ ยท ๐‘) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘€ ยท ๐‘) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐พ gcd (๐พ ยท ๐‘)) gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) = (๐พ gcd ((๐พ ยท ๐‘) gcd (๐‘€ ยท ๐‘))))
155, 9, 13, 14syl3anc 1368 . . . 4 ((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐พ gcd (๐พ ยท ๐‘)) gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) = (๐พ gcd ((๐พ ยท ๐‘) gcd (๐‘€ ยท ๐‘))))
163, 15eqtr3d 2768 . . 3 ((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) = (๐พ gcd ((๐พ ยท ๐‘) gcd (๐‘€ ยท ๐‘))))
1716adantr 480 . 2 (((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐พ gcd ๐‘€) = 1) โ†’ (๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) = (๐พ gcd ((๐พ ยท ๐‘) gcd (๐‘€ ยท ๐‘))))
18 nnnn0 12483 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
19 mulgcdr 16499 . . . . . 6 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐พ ยท ๐‘) gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) = ((๐พ gcd ๐‘€) ยท ๐‘))
204, 10, 18, 19syl3an 1157 . . . . 5 ((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐พ ยท ๐‘) gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) = ((๐พ gcd ๐‘€) ยท ๐‘))
21 oveq1 7412 . . . . 5 ((๐พ gcd ๐‘€) = 1 โ†’ ((๐พ gcd ๐‘€) ยท ๐‘) = (1 ยท ๐‘))
2220, 21sylan9eq 2786 . . . 4 (((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐พ gcd ๐‘€) = 1) โ†’ ((๐พ ยท ๐‘) gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) = (1 ยท ๐‘))
23 nncn 12224 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
24233ad2ant3 1132 . . . . . 6 ((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
2524adantr 480 . . . . 5 (((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐พ gcd ๐‘€) = 1) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
2625mullidd 11236 . . . 4 (((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐พ gcd ๐‘€) = 1) โ†’ (1 ยท ๐‘) = ๐‘)
2722, 26eqtrd 2766 . . 3 (((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐พ gcd ๐‘€) = 1) โ†’ ((๐พ ยท ๐‘) gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) = ๐‘)
2827oveq2d 7421 . 2 (((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐พ gcd ๐‘€) = 1) โ†’ (๐พ gcd ((๐พ ยท ๐‘) gcd (๐‘€ ยท ๐‘))) = (๐พ gcd ๐‘))
2917, 28eqtrd 2766 1 (((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐พ gcd ๐‘€) = 1) โ†’ (๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) = (๐พ gcd ๐‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  (class class class)co 7405  โ„‚cc 11110  1c1 11113   ยท cmul 11117  โ„•cn 12216  โ„•0cn0 12476  โ„คcz 12562   gcd cgcd 16442
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-fl 13763  df-mod 13841  df-seq 13973  df-exp 14033  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-dvds 16205  df-gcd 16443
This theorem is referenced by:  rplpwr  16506  coprmprod  16605  lgsquad2lem2  27273
  Copyright terms: Public domain W3C validator