Theorem rpmulgcd 16590

Description: If 𝐾 and 𝑀 are relatively prime, then the GCD of 𝐾 and 𝑀 · 𝑁 is the GCD of 𝐾 and 𝑁. (Contributed by Scott Fenton, 12-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rpmulgcd	⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 gcd 𝑀) = 1) → (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) = (𝐾 gcd 𝑁))

Proof of Theorem rpmulgcd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gcdmultiple 16569	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾 gcd (𝐾 · 𝑁)) = 𝐾)
2	1	3adant2 1130	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾 gcd (𝐾 · 𝑁)) = 𝐾)
3	2	oveq1d 7445	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐾 gcd (𝐾 · 𝑁)) gcd (𝑀 · 𝑁)) = (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)))
4		nnz 12631	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℤ)
5	4	3ad2ant1 1132	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ ℤ)
6		nnz 12631	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
7		zmulcl 12663	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 · 𝑁) ∈ ℤ)
8	4, 6, 7	syl2an 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾 · 𝑁) ∈ ℤ)
9	8	3adant2 1130	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾 · 𝑁) ∈ ℤ)
10		nnz 12631	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℤ)
11		zmulcl 12663	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ)
12	10, 6, 11	syl2an 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ)
13	12	3adant1 1129	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ)
14		gcdass 16580	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 · 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ) → ((𝐾 gcd (𝐾 · 𝑁)) gcd (𝑀 · 𝑁)) = (𝐾 gcd ((𝐾 · 𝑁) gcd (𝑀 · 𝑁))))
15	5, 9, 13, 14	syl3anc 1370	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐾 gcd (𝐾 · 𝑁)) gcd (𝑀 · 𝑁)) = (𝐾 gcd ((𝐾 · 𝑁) gcd (𝑀 · 𝑁))))
16	3, 15	eqtr3d 2776	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) = (𝐾 gcd ((𝐾 · 𝑁) gcd (𝑀 · 𝑁))))
17	16	adantr 480	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 gcd 𝑀) = 1) → (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) = (𝐾 gcd ((𝐾 · 𝑁) gcd (𝑀 · 𝑁))))
18		nnnn0 12530	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
19		mulgcdr 16583	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐾 · 𝑁) gcd (𝑀 · 𝑁)) = ((𝐾 gcd 𝑀) · 𝑁))
20	4, 10, 18, 19	syl3an 1159	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐾 · 𝑁) gcd (𝑀 · 𝑁)) = ((𝐾 gcd 𝑀) · 𝑁))
21		oveq1 7437	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 gcd 𝑀) = 1 → ((𝐾 gcd 𝑀) · 𝑁) = (1 · 𝑁))
22	20, 21	sylan9eq 2794	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 gcd 𝑀) = 1) → ((𝐾 · 𝑁) gcd (𝑀 · 𝑁)) = (1 · 𝑁))
23		nncn 12271	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
24	23	3ad2ant3 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
25	24	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 gcd 𝑀) = 1) → 𝑁 ∈ ℂ)
26	25	mullidd 11276	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 gcd 𝑀) = 1) → (1 · 𝑁) = 𝑁)
27	22, 26	eqtrd 2774	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 gcd 𝑀) = 1) → ((𝐾 · 𝑁) gcd (𝑀 · 𝑁)) = 𝑁)
28	27	oveq2d 7446	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 gcd 𝑀) = 1) → (𝐾 gcd ((𝐾 · 𝑁) gcd (𝑀 · 𝑁))) = (𝐾 gcd 𝑁))
29	17, 28	eqtrd 2774	1 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 gcd 𝑀) = 1) → (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) = (𝐾 gcd 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1536   ∈ wcel 2105  (class class class)co 7430  ℂcc 11150  1c1 11153   · cmul 11157  ℕcn 12263  ℕ₀cn0 12523  ℤcz 12610   gcd cgcd 16527

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-sup 9479  df-inf 9480  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-rp 13032  df-fl 13828  df-mod 13906  df-seq 14039  df-exp 14099  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-dvds 16287  df-gcd 16528

This theorem is referenced by:  rplpwr  16591  coprmprod  16694  lgsquad2lem2  27443