Theorem rpmulgcd 16604

Description: If 𝐾 and 𝑀 are relatively prime, then the GCD of 𝐾 and 𝑀 · 𝑁 is the GCD of 𝐾 and 𝑁. (Contributed by Scott Fenton, 12-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rpmulgcd	⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 gcd 𝑀) = 1) → (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) = (𝐾 gcd 𝑁))

Proof of Theorem rpmulgcd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gcdmultiple 16583	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾 gcd (𝐾 · 𝑁)) = 𝐾)
2	1	3adant2 1131	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾 gcd (𝐾 · 𝑁)) = 𝐾)
3	2	oveq1d 7463	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐾 gcd (𝐾 · 𝑁)) gcd (𝑀 · 𝑁)) = (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)))
4		nnz 12660	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℤ)
5	4	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ ℤ)
6		nnz 12660	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
7		zmulcl 12692	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 · 𝑁) ∈ ℤ)
8	4, 6, 7	syl2an 595	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾 · 𝑁) ∈ ℤ)
9	8	3adant2 1131	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾 · 𝑁) ∈ ℤ)
10		nnz 12660	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℤ)
11		zmulcl 12692	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ)
12	10, 6, 11	syl2an 595	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ)
13	12	3adant1 1130	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ)
14		gcdass 16594	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 · 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ) → ((𝐾 gcd (𝐾 · 𝑁)) gcd (𝑀 · 𝑁)) = (𝐾 gcd ((𝐾 · 𝑁) gcd (𝑀 · 𝑁))))
15	5, 9, 13, 14	syl3anc 1371	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐾 gcd (𝐾 · 𝑁)) gcd (𝑀 · 𝑁)) = (𝐾 gcd ((𝐾 · 𝑁) gcd (𝑀 · 𝑁))))
16	3, 15	eqtr3d 2782	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) = (𝐾 gcd ((𝐾 · 𝑁) gcd (𝑀 · 𝑁))))
17	16	adantr 480	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 gcd 𝑀) = 1) → (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) = (𝐾 gcd ((𝐾 · 𝑁) gcd (𝑀 · 𝑁))))
18		nnnn0 12560	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
19		mulgcdr 16597	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐾 · 𝑁) gcd (𝑀 · 𝑁)) = ((𝐾 gcd 𝑀) · 𝑁))
20	4, 10, 18, 19	syl3an 1160	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐾 · 𝑁) gcd (𝑀 · 𝑁)) = ((𝐾 gcd 𝑀) · 𝑁))
21		oveq1 7455	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 gcd 𝑀) = 1 → ((𝐾 gcd 𝑀) · 𝑁) = (1 · 𝑁))
22	20, 21	sylan9eq 2800	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 gcd 𝑀) = 1) → ((𝐾 · 𝑁) gcd (𝑀 · 𝑁)) = (1 · 𝑁))
23		nncn 12301	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
24	23	3ad2ant3 1135	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
25	24	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 gcd 𝑀) = 1) → 𝑁 ∈ ℂ)
26	25	mullidd 11308	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 gcd 𝑀) = 1) → (1 · 𝑁) = 𝑁)
27	22, 26	eqtrd 2780	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 gcd 𝑀) = 1) → ((𝐾 · 𝑁) gcd (𝑀 · 𝑁)) = 𝑁)
28	27	oveq2d 7464	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 gcd 𝑀) = 1) → (𝐾 gcd ((𝐾 · 𝑁) gcd (𝑀 · 𝑁))) = (𝐾 gcd 𝑁))
29	17, 28	eqtrd 2780	1 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 gcd 𝑀) = 1) → (𝐾 gcd (𝑀 · 𝑁)) = (𝐾 gcd 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7448  ℂcc 11182  1c1 11185   · cmul 11189  ℕcn 12293  ℕ₀cn0 12553  ℤcz 12639   gcd cgcd 16540

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-sup 9511  df-inf 9512  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-rp 13058  df-fl 13843  df-mod 13921  df-seq 14053  df-exp 14113  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-dvds 16303  df-gcd 16541

This theorem is referenced by:  rplpwr  16605  coprmprod  16708  lgsquad2lem2  27447