Theorem natideq 50550

Description: A natural transformation is an identity exactly when all its components are identities. This also covers an empty object set. (Contributed by Zhi Wang, 14-Sep-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
natideq.q	⊢ 𝑄 = (𝐶 FuncCat 𝐷)
natideq.n	⊢ 𝑁 = (𝐶 Nat 𝐷)
natideq.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
natideq.i	⊢ 𝐼 = (Id‘𝑄)
natideq.j	⊢ 𝐽 = (Id‘𝐷)
natideq.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐹𝑁𝐹))

Assertion

Ref	Expression
natideq	⊢ (𝜑 → (𝐴 = (𝐼‘𝐹) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝐴‘𝑥) = (𝐽‘((1st ‘𝐹)‘𝑥))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷   𝑥,𝐹   𝑥,𝑄   𝑥,𝑁   𝜑,𝑥   𝑥,𝐼   𝑥,𝐽

Proof of Theorem natideq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		natideq.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (𝐶 Nat 𝐷)
2		natideq.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
3		natideq.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐹𝑁𝐹))
4		natideq.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (𝐶 FuncCat 𝐷)
5		natideq.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (Id‘𝑄)
6		natideq.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (Id‘𝐷)
7	1	natrcl 18157	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐹𝑁𝐹) → (𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷)))
8	3, 7	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷)))
9	8	simpld 500	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷))
10	4, 5, 6, 9	fucid 18178	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝐹) = (𝐽 ∘ (1st ‘𝐹)))
11	4, 1, 6, 9	fucidcl 18172	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ∘ (1st ‘𝐹)) ∈ (𝐹𝑁𝐹))
12	10, 11	eqeltrd 2864	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝐹) ∈ (𝐹𝑁𝐹))
13	1, 2, 3, 12	nateq 50549	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = (𝐼‘𝐹) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝐴‘𝑥) = ((𝐼‘𝐹)‘𝑥)))
14	10	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝐼‘𝐹) = (𝐽 ∘ (1st ‘𝐹)))
15	14	fveq1d 6910	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝐼‘𝐹)‘𝑥) = ((𝐽 ∘ (1st ‘𝐹))‘𝑥))
16		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
17	9	func1st2nd 50395	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1st ‘𝐹)(𝐶 Func 𝐷)(2nd ‘𝐹))
18	2, 16, 17	funcf1 18070	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1st ‘𝐹):𝐵⟶(Base‘𝐷))
19	18	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (1st ‘𝐹):𝐵⟶(Base‘𝐷))
20		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
21	19, 20	fvco3d 7009	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝐽 ∘ (1st ‘𝐹))‘𝑥) = (𝐽‘((1st ‘𝐹)‘𝑥)))
22	15, 21	eqtrd 2798	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝐼‘𝐹)‘𝑥) = (𝐽‘((1st ‘𝐹)‘𝑥)))
23	22	eqeq2d 2774	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝐴‘𝑥) = ((𝐼‘𝐹)‘𝑥) ↔ (𝐴‘𝑥) = (𝐽‘((1st ‘𝐹)‘𝑥))))
24	23	ralbidva 3187	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝐴‘𝑥) = ((𝐼‘𝐹)‘𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝐴‘𝑥) = (𝐽‘((1st ‘𝐹)‘𝑥))))
25	13, 24	bitrd 282	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = (𝐼‘𝐹) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝐴‘𝑥) = (𝐽‘((1st ‘𝐹)‘𝑥))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080   ∘ ccom 5659  ⟶wf 6554  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  1^st c1st 8023  2^nd c2nd 8024  Basecbs 17416  Idccid 17868   Func cfunc 18058   Nat cnat 18148   FuncCat cfuc 18149

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-er 8745  df-map 8877  df-ixp 8954  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-4 12434  df-5 12435  df-6 12436  df-7 12437  df-8 12438  df-9 12439  df-n0 12634  df-z 12721  df-dec 12842  df-uz 12993  df-fz 13667  df-struct 17354  df-slot 17389  df-ndx 17401  df-base 17417  df-hom 17481  df-cco 17482  df-cat 17871  df-cid 17872  df-func 18062  df-nat 18150  df-fuc 18151

This theorem is used by:  fucidcobi  50552