Theorem natideq 50436

Description: A natural transformation is an identity exactly when all its components are identities. This also covers an empty object set. (Contributed by Zhi Wang, 14-Sep-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
natideq.q	⊢ 𝑄 = (𝐶 FuncCat 𝐷)
natideq.n	⊢ 𝑁 = (𝐶 Nat 𝐷)
natideq.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
natideq.i	⊢ 𝐼 = (Id‘𝑄)
natideq.j	⊢ 𝐽 = (Id‘𝐷)
natideq.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐹𝑁𝐹))

Assertion

Ref	Expression
natideq	⊢ (𝜑 → (𝐴 = (𝐼‘𝐹) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝐴‘𝑥) = (𝐽‘((1st ‘𝐹)‘𝑥))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷   𝑥,𝐹   𝑥,𝑄   𝑥,𝑁   𝜑,𝑥   𝑥,𝐼   𝑥,𝐽

Proof of Theorem natideq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		natideq.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (𝐶 Nat 𝐷)
2		natideq.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
3		natideq.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐹𝑁𝐹))
4		natideq.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (𝐶 FuncCat 𝐷)
5		natideq.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (Id‘𝑄)
6		natideq.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (Id‘𝐷)
7	1	natrcl 18130	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐹𝑁𝐹) → (𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷)))
8	3, 7	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷)))
9	8	simpld 500	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷))
10	4, 5, 6, 9	fucid 18151	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝐹) = (𝐽 ∘ (1st ‘𝐹)))
11	4, 1, 6, 9	fucidcl 18145	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ∘ (1st ‘𝐹)) ∈ (𝐹𝑁𝐹))
12	10, 11	eqeltrd 2860	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝐹) ∈ (𝐹𝑁𝐹))
13	1, 2, 3, 12	nateq 50435	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = (𝐼‘𝐹) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝐴‘𝑥) = ((𝐼‘𝐹)‘𝑥)))
14	10	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝐼‘𝐹) = (𝐽 ∘ (1st ‘𝐹)))
15	14	fveq1d 6887	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝐼‘𝐹)‘𝑥) = ((𝐽 ∘ (1st ‘𝐹))‘𝑥))
16		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
17	9	func1st2nd 50281	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1st ‘𝐹)(𝐶 Func 𝐷)(2nd ‘𝐹))
18	2, 16, 17	funcf1 18043	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1st ‘𝐹):𝐵⟶(Base‘𝐷))
19	18	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (1st ‘𝐹):𝐵⟶(Base‘𝐷))
20		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
21	19, 20	fvco3d 6986	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝐽 ∘ (1st ‘𝐹))‘𝑥) = (𝐽‘((1st ‘𝐹)‘𝑥)))
22	15, 21	eqtrd 2795	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝐼‘𝐹)‘𝑥) = (𝐽‘((1st ‘𝐹)‘𝑥)))
23	22	eqeq2d 2771	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝐴‘𝑥) = ((𝐼‘𝐹)‘𝑥) ↔ (𝐴‘𝑥) = (𝐽‘((1st ‘𝐹)‘𝑥))))
24	23	ralbidva 3183	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝐴‘𝑥) = ((𝐼‘𝐹)‘𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝐴‘𝑥) = (𝐽‘((1st ‘𝐹)‘𝑥))))
25	13, 24	bitrd 282	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = (𝐼‘𝐹) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝐴‘𝑥) = (𝐽‘((1st ‘𝐹)‘𝑥))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076   ∘ ccom 5654  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  1^st c1st 7999  2^nd c2nd 8000  Basecbs 17389  Idccid 17841   Func cfunc 18031   Nat cnat 18121   FuncCat cfuc 18122

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11258  ax-resscn 11259  ax-1cn 11260  ax-icn 11261  ax-addcl 11262  ax-addrcl 11263  ax-mulcl 11264  ax-mulrcl 11265  ax-mulcom 11266  ax-addass 11267  ax-mulass 11268  ax-distr 11269  ax-i2m1 11270  ax-1ne0 11271  ax-1rid 11272  ax-rnegex 11273  ax-rrecex 11274  ax-cnre 11275  ax-pre-lttri 11276  ax-pre-lttrn 11277  ax-pre-ltadd 11278  ax-pre-mulgt0 11279

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8301  df-wrecs 8332  df-recs 8381  df-rdg 8420  df-1o 8478  df-er 8719  df-map 8851  df-ixp 8928  df-en 8976  df-dom 8977  df-sdom 8978  df-fin 8979  df-pnf 11347  df-mnf 11348  df-xr 11349  df-ltxr 11350  df-le 11351  df-sub 11545  df-neg 11546  df-nn 12338  df-2 12407  df-3 12408  df-4 12409  df-5 12410  df-6 12411  df-7 12412  df-8 12413  df-9 12414  df-n0 12609  df-z 12696  df-dec 12817  df-uz 12968  df-fz 13642  df-struct 17327  df-slot 17362  df-ndx 17374  df-base 17390  df-hom 17454  df-cco 17455  df-cat 17844  df-cid 17845  df-func 18035  df-nat 18123  df-fuc 18124

This theorem is used by:  fucidcobi  50438