Theorem nmoub2i 28553

Description: An upper bound for an operator norm. (Contributed by NM, 11-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmoubi.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nmoubi.y	⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
nmoubi.l	⊢ 𝐿 = (normCV‘𝑈)
nmoubi.m	⊢ 𝑀 = (normCV‘𝑊)
nmoubi.3	⊢ 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
nmoubi.u	⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
nmoubi.w	⊢ 𝑊 ∈ NrmCVec

Assertion

Ref	Expression
nmoub2i	⊢ ((𝑇:𝑋⟶𝑌 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑀‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿‘𝑥))) → (𝑁‘𝑇) ≤ 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐿   𝑥,𝑈   𝑥,𝑊   𝑥,𝑌   𝑥,𝑀   𝑥,𝑇   𝑥,𝑋

Allowed substitution hint:   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem nmoub2i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmoubi.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
2		nmoubi.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (BaseSet‘𝑊)
3		nmoubi.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (normCV‘𝑈)
4		nmoubi.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (normCV‘𝑊)
5		nmoubi.3	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
6		nmoubi.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
7		nmoubi.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 ∈ NrmCVec
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	nmoub3i 28552	. . 3 ⊢ ((𝑇:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑀‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿‘𝑥))) → (𝑁‘𝑇) ≤ (abs‘𝐴))
9	8	3adant2r 1175	. 2 ⊢ ((𝑇:𝑋⟶𝑌 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑀‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿‘𝑥))) → (𝑁‘𝑇) ≤ (abs‘𝐴))
10		absid 14658	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (abs‘𝐴) = 𝐴)
11	10	3ad2ant2 1130	. 2 ⊢ ((𝑇:𝑋⟶𝑌 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑀‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿‘𝑥))) → (abs‘𝐴) = 𝐴)
12	9, 11	breqtrd 5094	1 ⊢ ((𝑇:𝑋⟶𝑌 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑀‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (𝐿‘𝑥))) → (𝑁‘𝑇) ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ∀wral 3140   class class class wbr 5068  ⟶wf 6353  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  ℝcr 10538  0cc0 10539   · cmul 10544   ≤ cle 10678  abscabs 14595  NrmCVeccnv 28363  BaseSetcba 28365  norm_CVcnmcv 28369   normOp_OLD cnmoo 28520

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616  ax-pre-sup 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-er 8291  df-map 8410  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-sup 8908  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-div 11300  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-rp 12393  df-seq 13373  df-exp 13433  df-cj 14460  df-re 14461  df-im 14462  df-sqrt 14596  df-abs 14597  df-grpo 28272  df-gid 28273  df-ginv 28274  df-ablo 28324  df-vc 28338  df-nv 28371  df-va 28374  df-ba 28375  df-sm 28376  df-0v 28377  df-nmcv 28379  df-nmoo 28524

This theorem is referenced by:  nmlnoubi  28575  nmopub2tHIL  29689