Theorem nmopub2tHIL 32001

Description: An upper bound for an operator norm. (Contributed by NM, 13-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
nmopub2tHIL	⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (normℎ‘𝑥))) → (normop‘𝑇) ≤ 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑇

Proof of Theorem nmopub2tHIL

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-hba 31060	. 2 ⊢ ℋ = (BaseSet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)
2		eqid 2741	. . 3 ⊢ ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩ = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
3	2	hhnm 31262	. 2 ⊢ normℎ = (normCV‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)
4		eqid 2741	. . 3 ⊢ (⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩ normOpOLD ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩) = (⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩ normOpOLD ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)
5	2, 4	hhnmoi 31992	. 2 ⊢ normop = (⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩ normOpOLD ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)
6	2	hhnv 31256	. 2 ⊢ ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩ ∈ NrmCVec
7	1, 1, 3, 3, 5, 6, 6	nmoub2i 30865	1 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (normℎ‘𝑥))) → (normop‘𝑇) ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1093   ∈ wcel 2121  ∀wral 3055  ⟨cop 4563   class class class wbr 5074  ⟶wf 6484  ‘cfv 6488  (class class class)co 7359  ℝcr 11033  0cc0 11034   · cmul 11039   ≤ cle 11176   normOp_OLD cnmoo 30832   ℋchba 31010   +_ℎ cva 31011   ·_ℎ csm 31012  norm_ℎcno 31014  norm_opcnop 31036

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7681  ax-cnex 11090  ax-resscn 11091  ax-1cn 11092  ax-icn 11093  ax-addcl 11094  ax-addrcl 11095  ax-mulcl 11096  ax-mulrcl 11097  ax-mulcom 11098  ax-addass 11099  ax-mulass 11100  ax-distr 11101  ax-i2m1 11102  ax-1ne0 11103  ax-1rid 11104  ax-rnegex 11105  ax-rrecex 11106  ax-cnre 11107  ax-pre-lttri 11108  ax-pre-lttrn 11109  ax-pre-ltadd 11110  ax-pre-mulgt0 11111  ax-pre-sup 11112  ax-hilex 31090  ax-hfvadd 31091  ax-hvcom 31092  ax-hvass 31093  ax-hv0cl 31094  ax-hvaddid 31095  ax-hfvmul 31096  ax-hvmulid 31097  ax-hvmulass 31098  ax-hvdistr1 31099  ax-hvdistr2 31100  ax-hvmul0 31101  ax-hfi 31170  ax-his1 31173  ax-his2 31174  ax-his3 31175  ax-his4 31176

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3725  df-csb 3833  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3904  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7316  df-ov 7362  df-oprab 7363  df-mpo 7364  df-om 7810  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8343  df-er 8637  df-map 8769  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-sup 9349  df-pnf 11177  df-mnf 11178  df-xr 11179  df-ltxr 11180  df-le 11181  df-sub 11375  df-neg 11376  df-div 11804  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784  df-rp 12938  df-seq 13959  df-exp 14019  df-cj 15056  df-re 15057  df-im 15058  df-sqrt 15192  df-abs 15193  df-grpo 30584  df-gid 30585  df-ginv 30586  df-ablo 30636  df-vc 30650  df-nv 30683  df-va 30686  df-ba 30687  df-sm 30688  df-0v 30689  df-nmcv 30691  df-nmoo 30836  df-hnorm 31059  df-hba 31060  df-hvsub 31062  df-nmop 31930

This theorem is referenced by: (None)