Theorem nmopub2tHIL 32519

Description: An upper bound for an operator norm. (Contributed by NM, 13-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
nmopub2tHIL	⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (normℎ‘𝑥))) → (normop‘𝑇) ≤ 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑇

Proof of Theorem nmopub2tHIL

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-hba 31578	. 2 ⊢ ℋ = (BaseSet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)
2		eqid 2760	. . 3 ⊢ ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩ = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
3	2	hhnm 31780	. 2 ⊢ normℎ = (normCV‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)
4		eqid 2760	. . 3 ⊢ (⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩ normOpOLD ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩) = (⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩ normOpOLD ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)
5	2, 4	hhnmoi 32510	. 2 ⊢ normop = (⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩ normOpOLD ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)
6	2	hhnv 31774	. 2 ⊢ ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩ ∈ NrmCVec
7	1, 1, 3, 3, 5, 6, 6	nmoub2i 31383	1 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (𝐴 · (normℎ‘𝑥))) → (normop‘𝑇) ≤ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  ⟨cop 4834   class class class wbr 5102  ⟶wf 6537  ‘cfv 6541  (class class class)co 7422  ℝcr 11204  0cc0 11205   · cmul 11210   ≤ cle 11349   normOp_OLD cnmoo 31350   ℋchba 31528   +_ℎ cva 31529   ·_ℎ csm 31530  norm_ℎcno 31532  norm_opcnop 31554

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7753  ax-cnex 11261  ax-resscn 11262  ax-1cn 11263  ax-icn 11264  ax-addcl 11265  ax-addrcl 11266  ax-mulcl 11267  ax-mulrcl 11268  ax-mulcom 11269  ax-addass 11270  ax-mulass 11271  ax-distr 11272  ax-i2m1 11273  ax-1ne0 11274  ax-1rid 11275  ax-rnegex 11276  ax-rrecex 11277  ax-cnre 11278  ax-pre-lttri 11279  ax-pre-lttrn 11280  ax-pre-ltadd 11281  ax-pre-mulgt0 11282  ax-pre-sup 11283  ax-hilex 31608  ax-hfvadd 31609  ax-hvcom 31610  ax-hvass 31611  ax-hv0cl 31612  ax-hvaddid 31613  ax-hfvmul 31614  ax-hvmulid 31615  ax-hvmulass 31616  ax-hvdistr1 31617  ax-hvdistr2 31618  ax-hvmul0 31619  ax-hfi 31688  ax-his1 31691  ax-his2 31692  ax-his3 31693  ax-his4 31694

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7379  df-ov 7425  df-oprab 7426  df-mpo 7427  df-om 7880  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8384  df-rdg 8423  df-er 8722  df-map 8854  df-en 8979  df-dom 8980  df-sdom 8981  df-sup 9439  df-pnf 11350  df-mnf 11351  df-xr 11352  df-ltxr 11353  df-le 11354  df-sub 11548  df-neg 11549  df-div 11979  df-nn 12341  df-2 12410  df-3 12411  df-4 12412  df-n0 12612  df-z 12699  df-uz 12971  df-rp 13126  df-seq 14150  df-exp 14210  df-cj 15273  df-re 15274  df-im 15275  df-sqrt 15409  df-abs 15410  df-grpo 31102  df-gid 31103  df-ginv 31104  df-ablo 31154  df-vc 31168  df-nv 31201  df-va 31204  df-ba 31205  df-sm 31206  df-0v 31207  df-nmcv 31209  df-nmoo 31354  df-hnorm 31577  df-hba 31578  df-hvsub 31580  df-nmop 32448

This theorem is used by: (None)