Theorem oacgr 28576

Description: Vertical angle theorem. Vertical, or opposite angles are the facing pair of angles formed when two lines intersect. Eudemus of Rhodes attributed the proof to Thales of Miletus. The proposition showed that since both of a pair of vertical angles are supplementary to both of the adjacent angles, the vertical angles are equal in measure. We follow the same path. Theorem 11.14 of [Schwabhauser] p. 98. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
dfcgra2.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
dfcgra2.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
dfcgra2.m	⊢ − = (dist‘𝐺)
dfcgra2.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
dfcgra2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
dfcgra2.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
dfcgra2.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
dfcgra2.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
dfcgra2.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
dfcgra2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
oacgr.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐷))
oacgr.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐹))
oacgr.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)
oacgr.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)
oacgr.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐷)
oacgr.6	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
oacgr	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐵𝐹”⟩)

Proof of Theorem oacgr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfcgra2.p	. 2 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		dfcgra2.i	. 2 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
3		dfcgra2.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
4		eqid 2724	. 2 ⊢ (hlG‘𝐺) = (hlG‘𝐺)
5		dfcgra2.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
6		dfcgra2.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
7		dfcgra2.c	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
8		oacgr.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)
9	8	necomd 2988	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
10		oacgr.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10	cgraswap 28564	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐶𝐵𝐴”⟩)
12		dfcgra2.d	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
13		dfcgra2.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
14		dfcgra2.m	. . 3 ⊢ − = (dist‘𝐺)
15		oacgr.6	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐹)
16	15	necomd 2988	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ≠ 𝐵)
17	1, 2, 3, 4, 13, 6, 5, 16, 8	cgraswap 28564	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐹𝐵𝐴”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐴𝐵𝐹”⟩)
18		oacgr.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐹))
19	1, 14, 2, 3, 7, 6, 13, 18	tgbtwncom 28232	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐹𝐼𝐶))
20		oacgr.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐷))
21		oacgr.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐷)
22	1, 2, 14, 3, 13, 6, 5, 5, 6, 13, 7, 12, 17, 19, 20, 10, 21	sacgr 28575	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐶𝐵𝐴”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐵𝐹”⟩)
23	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 7, 6, 5, 11, 12, 6, 13, 22	cgratr 28567	1 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐵𝐹”⟩)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2932   class class class wbr 5139  ‘cfv 6534  (class class class)co 7402  ⟨“cs3 14795  Basecbs 17149  distcds 17211  TarskiGcstrkg 28171  Itvcitv 28177  hlGchlg 28344  cgrAccgra 28551

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-tp 4626  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-oadd 8466  df-er 8700  df-map 8819  df-pm 8820  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-dju 9893  df-card 9931  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12472  df-xnn0 12544  df-z 12558  df-uz 12822  df-fz 13486  df-fzo 13629  df-hash 14292  df-word 14467  df-concat 14523  df-s1 14548  df-s2 14801  df-s3 14802  df-trkgc 28192  df-trkgb 28193  df-trkgcb 28194  df-trkg 28197  df-cgrg 28255  df-leg 28327  df-hlg 28345  df-mir 28397  df-cgra 28552

This theorem is referenced by: (None)