Theorem yonpropd 18263

Description: If two categories have the same set of objects, morphisms, and compositions, then they have the same Yoneda functor. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
hofpropd.1	⊢ (𝜑 → (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘𝐷))
hofpropd.2	⊢ (𝜑 → (compf‘𝐶) = (compf‘𝐷))
hofpropd.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
hofpropd.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)

Assertion

Ref	Expression
yonpropd	⊢ (𝜑 → (Yon‘𝐶) = (Yon‘𝐷))

Proof of Theorem yonpropd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hofpropd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘𝐷))
2		hofpropd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (compf‘𝐶) = (compf‘𝐷))
3	1	oppchomfpropd 17711	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Homf ‘(oppCat‘𝐶)) = (Homf ‘(oppCat‘𝐷)))
4	1, 2	oppccomfpropd 17712	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (compf‘(oppCat‘𝐶)) = (compf‘(oppCat‘𝐷)))
5		hofpropd.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
6		hofpropd.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
7		eqid 2725	. . . . . 6 ⊢ (oppCat‘𝐶) = (oppCat‘𝐶)
8	7	oppccat 17707	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (oppCat‘𝐶) ∈ Cat)
9	5, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (oppCat‘𝐶) ∈ Cat)
10		eqid 2725	. . . . . 6 ⊢ (oppCat‘𝐷) = (oppCat‘𝐷)
11	10	oppccat 17707	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ Cat → (oppCat‘𝐷) ∈ Cat)
12	6, 11	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (oppCat‘𝐷) ∈ Cat)
13		eqid 2725	. . . . 5 ⊢ (HomF‘(oppCat‘𝐶)) = (HomF‘(oppCat‘𝐶))
14		eqid 2725	. . . . 5 ⊢ (SetCat‘ran (Homf ‘𝐶)) = (SetCat‘ran (Homf ‘𝐶))
15		fvex 6909	. . . . . . 7 ⊢ (Homf ‘𝐶) ∈ V
16	15	rnex 7918	. . . . . 6 ⊢ ran (Homf ‘𝐶) ∈ V
17	16	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran (Homf ‘𝐶) ∈ V)
18		ssidd 4000	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran (Homf ‘𝐶) ⊆ ran (Homf ‘𝐶))
19	7, 13, 14, 5, 17, 18	oppchofcl 18255	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (HomF‘(oppCat‘𝐶)) ∈ ((𝐶 ×c (oppCat‘𝐶)) Func (SetCat‘ran (Homf ‘𝐶))))
20	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 12, 19	curfpropd 18228	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨𝐶, (oppCat‘𝐶)⟩ curryF (HomF‘(oppCat‘𝐶))) = (⟨𝐷, (oppCat‘𝐷)⟩ curryF (HomF‘(oppCat‘𝐶))))
21	3, 4, 9, 12	hofpropd 18262	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (HomF‘(oppCat‘𝐶)) = (HomF‘(oppCat‘𝐷)))
22	21	oveq2d 7435	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨𝐷, (oppCat‘𝐷)⟩ curryF (HomF‘(oppCat‘𝐶))) = (⟨𝐷, (oppCat‘𝐷)⟩ curryF (HomF‘(oppCat‘𝐷))))
23	20, 22	eqtrd 2765	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨𝐶, (oppCat‘𝐶)⟩ curryF (HomF‘(oppCat‘𝐶))) = (⟨𝐷, (oppCat‘𝐷)⟩ curryF (HomF‘(oppCat‘𝐷))))
24		eqid 2725	. . 3 ⊢ (Yon‘𝐶) = (Yon‘𝐶)
25	24, 5, 7, 13	yonval 18256	. 2 ⊢ (𝜑 → (Yon‘𝐶) = (⟨𝐶, (oppCat‘𝐶)⟩ curryF (HomF‘(oppCat‘𝐶))))
26		eqid 2725	. . 3 ⊢ (Yon‘𝐷) = (Yon‘𝐷)
27		eqid 2725	. . 3 ⊢ (HomF‘(oppCat‘𝐷)) = (HomF‘(oppCat‘𝐷))
28	26, 6, 10, 27	yonval 18256	. 2 ⊢ (𝜑 → (Yon‘𝐷) = (⟨𝐷, (oppCat‘𝐷)⟩ curryF (HomF‘(oppCat‘𝐷))))
29	23, 25, 28	3eqtr4d 2775	1 ⊢ (𝜑 → (Yon‘𝐶) = (Yon‘𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3461  ⟨cop 4636  ran crn 5679  ‘cfv 6549  (class class class)co 7419  Catccat 17647  Hom_f chomf 17649  comp_fccomf 17650  oppCatcoppc 17694  SetCatcsetc 18067   curry_F ccurf 18205  Hom_Fchof 18243  Yoncyon 18244

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-tpos 8232  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-map 8847  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12506  df-z 12592  df-dec 12711  df-uz 12856  df-fz 13520  df-struct 17119  df-sets 17136  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-base 17184  df-hom 17260  df-cco 17261  df-cat 17651  df-cid 17652  df-homf 17653  df-comf 17654  df-oppc 17695  df-func 17847  df-setc 18068  df-xpc 18166  df-curf 18209  df-hof 18245  df-yon 18246

This theorem is referenced by: (None)