Theorem yonpropd 18349

Description: If two categories have the same set of objects, morphisms, and compositions, then they have the same Yoneda functor. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
hofpropd.1	⊢ (𝜑 → (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘𝐷))
hofpropd.2	⊢ (𝜑 → (compf‘𝐶) = (compf‘𝐷))
hofpropd.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
hofpropd.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)

Assertion

Ref	Expression
yonpropd	⊢ (𝜑 → (Yon‘𝐶) = (Yon‘𝐷))

Proof of Theorem yonpropd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hofpropd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘𝐷))
2		hofpropd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (compf‘𝐶) = (compf‘𝐷))
3	1	oppchomfpropd 17807	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Homf ‘(oppCat‘𝐶)) = (Homf ‘(oppCat‘𝐷)))
4	1, 2	oppccomfpropd 17808	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (compf‘(oppCat‘𝐶)) = (compf‘(oppCat‘𝐷)))
5		hofpropd.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
6		hofpropd.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
7		eqid 2766	. . . . . 6 ⊢ (oppCat‘𝐶) = (oppCat‘𝐶)
8	7	oppccat 17803	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (oppCat‘𝐶) ∈ Cat)
9	5, 8	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (oppCat‘𝐶) ∈ Cat)
10		eqid 2766	. . . . . 6 ⊢ (oppCat‘𝐷) = (oppCat‘𝐷)
11	10	oppccat 17803	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ Cat → (oppCat‘𝐷) ∈ Cat)
12	6, 11	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (oppCat‘𝐷) ∈ Cat)
13		eqid 2766	. . . . 5 ⊢ (HomF‘(oppCat‘𝐶)) = (HomF‘(oppCat‘𝐶))
14		eqid 2766	. . . . 5 ⊢ (SetCat‘ran (Homf ‘𝐶)) = (SetCat‘ran (Homf ‘𝐶))
15		fvex 6901	. . . . . . 7 ⊢ (Homf ‘𝐶) ∈ V
16	15	rnex 7916	. . . . . 6 ⊢ ran (Homf ‘𝐶) ∈ V
17	16	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran (Homf ‘𝐶) ∈ V)
18		ssidd 3963	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran (Homf ‘𝐶) ⊆ ran (Homf ‘𝐶))
19	7, 13, 14, 5, 17, 18	oppchofcl 18341	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (HomF‘(oppCat‘𝐶)) ∈ ((𝐶 ×c (oppCat‘𝐶)) Func (SetCat‘ran (Homf ‘𝐶))))
20	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 12, 19	curfpropd 18314	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨𝐶, (oppCat‘𝐶)⟩ curryF (HomF‘(oppCat‘𝐶))) = (⟨𝐷, (oppCat‘𝐷)⟩ curryF (HomF‘(oppCat‘𝐶))))
21	3, 4, 9, 12	hofpropd 18348	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (HomF‘(oppCat‘𝐶)) = (HomF‘(oppCat‘𝐷)))
22	21	oveq2d 7439	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨𝐷, (oppCat‘𝐷)⟩ curryF (HomF‘(oppCat‘𝐶))) = (⟨𝐷, (oppCat‘𝐷)⟩ curryF (HomF‘(oppCat‘𝐷))))
23	20, 22	eqtrd 2801	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨𝐶, (oppCat‘𝐶)⟩ curryF (HomF‘(oppCat‘𝐶))) = (⟨𝐷, (oppCat‘𝐷)⟩ curryF (HomF‘(oppCat‘𝐷))))
24		eqid 2766	. . 3 ⊢ (Yon‘𝐶) = (Yon‘𝐶)
25	24, 5, 7, 13	yonval 18342	. 2 ⊢ (𝜑 → (Yon‘𝐶) = (⟨𝐶, (oppCat‘𝐶)⟩ curryF (HomF‘(oppCat‘𝐶))))
26		eqid 2766	. . 3 ⊢ (Yon‘𝐷) = (Yon‘𝐷)
27		eqid 2766	. . 3 ⊢ (HomF‘(oppCat‘𝐷)) = (HomF‘(oppCat‘𝐷))
28	26, 6, 10, 27	yonval 18342	. 2 ⊢ (𝜑 → (Yon‘𝐷) = (⟨𝐷, (oppCat‘𝐷)⟩ curryF (HomF‘(oppCat‘𝐷))))
29	23, 25, 28	3eqtr4d 2811	1 ⊢ (𝜑 → (Yon‘𝐶) = (Yon‘𝐷))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  Vcvv 3458  ⟨cop 4600  ran crn 5667  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  Catccat 17745  Hom_f chomf 17747  comp_fccomf 17748  oppCatcoppc 17792  SetCatcsetc 18157   curry_F ccurf 18291  Hom_Fchof 18329  Yoncyon 18330

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-tpos 8231  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8703  df-map 8835  df-ixp 8905  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12523  df-z 12610  df-dec 12730  df-uz 12881  df-fz 13554  df-struct 17232  df-sets 17249  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-base 17295  df-hom 17359  df-cco 17360  df-cat 17749  df-cid 17750  df-homf 17751  df-comf 17752  df-oppc 17793  df-func 17940  df-setc 18158  df-xpc 18253  df-curf 18295  df-hof 18331  df-yon 18332

This theorem is used by: (None)