MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  yonpropd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem yonpropd 18031
Description: If two categories have the same set of objects, morphisms, and compositions, then they have the same Yoneda functor. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
hofpropd.1 (𝜑 → (Homf𝐶) = (Homf𝐷))
hofpropd.2 (𝜑 → (compf𝐶) = (compf𝐷))
hofpropd.c (𝜑𝐶 ∈ Cat)
hofpropd.d (𝜑𝐷 ∈ Cat)
Assertion
Ref Expression
yonpropd (𝜑 → (Yon‘𝐶) = (Yon‘𝐷))

Proof of Theorem yonpropd
StepHypRef Expression
1 hofpropd.1 . . . 4 (𝜑 → (Homf𝐶) = (Homf𝐷))
2 hofpropd.2 . . . 4 (𝜑 → (compf𝐶) = (compf𝐷))
31oppchomfpropd 17482 . . . 4 (𝜑 → (Homf ‘(oppCat‘𝐶)) = (Homf ‘(oppCat‘𝐷)))
41, 2oppccomfpropd 17483 . . . 4 (𝜑 → (compf‘(oppCat‘𝐶)) = (compf‘(oppCat‘𝐷)))
5 hofpropd.c . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ Cat)
6 hofpropd.d . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ Cat)
7 eqid 2736 . . . . . 6 (oppCat‘𝐶) = (oppCat‘𝐶)
87oppccat 17478 . . . . 5 (𝐶 ∈ Cat → (oppCat‘𝐶) ∈ Cat)
95, 8syl 17 . . . 4 (𝜑 → (oppCat‘𝐶) ∈ Cat)
10 eqid 2736 . . . . . 6 (oppCat‘𝐷) = (oppCat‘𝐷)
1110oppccat 17478 . . . . 5 (𝐷 ∈ Cat → (oppCat‘𝐷) ∈ Cat)
126, 11syl 17 . . . 4 (𝜑 → (oppCat‘𝐷) ∈ Cat)
13 eqid 2736 . . . . 5 (HomF‘(oppCat‘𝐶)) = (HomF‘(oppCat‘𝐶))
14 eqid 2736 . . . . 5 (SetCat‘ran (Homf𝐶)) = (SetCat‘ran (Homf𝐶))
15 fvex 6817 . . . . . . 7 (Homf𝐶) ∈ V
1615rnex 7791 . . . . . 6 ran (Homf𝐶) ∈ V
1716a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ran (Homf𝐶) ∈ V)
18 ssidd 3949 . . . . 5 (𝜑 → ran (Homf𝐶) ⊆ ran (Homf𝐶))
197, 13, 14, 5, 17, 18oppchofcl 18023 . . . 4 (𝜑 → (HomF‘(oppCat‘𝐶)) ∈ ((𝐶 ×c (oppCat‘𝐶)) Func (SetCat‘ran (Homf𝐶))))
201, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 12, 19curfpropd 17996 . . 3 (𝜑 → (⟨𝐶, (oppCat‘𝐶)⟩ curryF (HomF‘(oppCat‘𝐶))) = (⟨𝐷, (oppCat‘𝐷)⟩ curryF (HomF‘(oppCat‘𝐶))))
213, 4, 9, 12hofpropd 18030 . . . 4 (𝜑 → (HomF‘(oppCat‘𝐶)) = (HomF‘(oppCat‘𝐷)))
2221oveq2d 7323 . . 3 (𝜑 → (⟨𝐷, (oppCat‘𝐷)⟩ curryF (HomF‘(oppCat‘𝐶))) = (⟨𝐷, (oppCat‘𝐷)⟩ curryF (HomF‘(oppCat‘𝐷))))
2320, 22eqtrd 2776 . 2 (𝜑 → (⟨𝐶, (oppCat‘𝐶)⟩ curryF (HomF‘(oppCat‘𝐶))) = (⟨𝐷, (oppCat‘𝐷)⟩ curryF (HomF‘(oppCat‘𝐷))))
24 eqid 2736 . . 3 (Yon‘𝐶) = (Yon‘𝐶)
2524, 5, 7, 13yonval 18024 . 2 (𝜑 → (Yon‘𝐶) = (⟨𝐶, (oppCat‘𝐶)⟩ curryF (HomF‘(oppCat‘𝐶))))
26 eqid 2736 . . 3 (Yon‘𝐷) = (Yon‘𝐷)
27 eqid 2736 . . 3 (HomF‘(oppCat‘𝐷)) = (HomF‘(oppCat‘𝐷))
2826, 6, 10, 27yonval 18024 . 2 (𝜑 → (Yon‘𝐷) = (⟨𝐷, (oppCat‘𝐷)⟩ curryF (HomF‘(oppCat‘𝐷))))
2923, 25, 283eqtr4d 2786 1 (𝜑 → (Yon‘𝐶) = (Yon‘𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1539  wcel 2104  Vcvv 3437  cop 4571  ran crn 5601  cfv 6458  (class class class)co 7307  Catccat 17418  Homf chomf 17420  compfccomf 17421  oppCatcoppc 17465  SetCatcsetc 17835   curryF ccurf 17973  HomFchof 18011  Yoncyon 18012
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-rep 5218  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-cnex 10973  ax-resscn 10974  ax-1cn 10975  ax-icn 10976  ax-addcl 10977  ax-addrcl 10978  ax-mulcl 10979  ax-mulrcl 10980  ax-mulcom 10981  ax-addass 10982  ax-mulass 10983  ax-distr 10984  ax-i2m1 10985  ax-1ne0 10986  ax-1rid 10987  ax-rnegex 10988  ax-rrecex 10989  ax-cnre 10990  ax-pre-lttri 10991  ax-pre-lttrn 10992  ax-pre-ltadd 10993  ax-pre-mulgt0 10994
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3285  df-reu 3286  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-tp 4570  df-op 4572  df-uni 4845  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-pred 6217  df-ord 6284  df-on 6285  df-lim 6286  df-suc 6287  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-riota 7264  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-om 7745  df-1st 7863  df-2nd 7864  df-tpos 8073  df-frecs 8128  df-wrecs 8159  df-recs 8233  df-rdg 8272  df-1o 8328  df-er 8529  df-map 8648  df-ixp 8717  df-en 8765  df-dom 8766  df-sdom 8767  df-fin 8768  df-pnf 11057  df-mnf 11058  df-xr 11059  df-ltxr 11060  df-le 11061  df-sub 11253  df-neg 11254  df-nn 12020  df-2 12082  df-3 12083  df-4 12084  df-5 12085  df-6 12086  df-7 12087  df-8 12088  df-9 12089  df-n0 12280  df-z 12366  df-dec 12484  df-uz 12629  df-fz 13286  df-struct 16893  df-sets 16910  df-slot 16928  df-ndx 16940  df-base 16958  df-hom 17031  df-cco 17032  df-cat 17422  df-cid 17423  df-homf 17424  df-comf 17425  df-oppc 17466  df-func 17618  df-setc 17836  df-xpc 17934  df-curf 17977  df-hof 18013  df-yon 18014
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator