Theorem yonpropd 17109

Description: If two categories have the same set of objects, morphisms, and compositions, then they have the same Yoneda functor. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
hofpropd.1	⊢ (𝜑 → (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘𝐷))
hofpropd.2	⊢ (𝜑 → (compf‘𝐶) = (compf‘𝐷))
hofpropd.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
hofpropd.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)

Assertion

Ref	Expression
yonpropd	⊢ (𝜑 → (Yon‘𝐶) = (Yon‘𝐷))

Proof of Theorem yonpropd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hofpropd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘𝐷))
2		hofpropd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (compf‘𝐶) = (compf‘𝐷))
3	1	oppchomfpropd 16586	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Homf ‘(oppCat‘𝐶)) = (Homf ‘(oppCat‘𝐷)))
4	1, 2	oppccomfpropd 16587	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (compf‘(oppCat‘𝐶)) = (compf‘(oppCat‘𝐷)))
5		hofpropd.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
6		hofpropd.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
7		eqid 2771	. . . . . 6 ⊢ (oppCat‘𝐶) = (oppCat‘𝐶)
8	7	oppccat 16582	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (oppCat‘𝐶) ∈ Cat)
9	5, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (oppCat‘𝐶) ∈ Cat)
10		eqid 2771	. . . . . 6 ⊢ (oppCat‘𝐷) = (oppCat‘𝐷)
11	10	oppccat 16582	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ Cat → (oppCat‘𝐷) ∈ Cat)
12	6, 11	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (oppCat‘𝐷) ∈ Cat)
13		eqid 2771	. . . . 5 ⊢ (HomF‘(oppCat‘𝐶)) = (HomF‘(oppCat‘𝐶))
14		eqid 2771	. . . . 5 ⊢ (SetCat‘ran (Homf ‘𝐶)) = (SetCat‘ran (Homf ‘𝐶))
15		fvex 6340	. . . . . . 7 ⊢ (Homf ‘𝐶) ∈ V
16	15	rnex 7245	. . . . . 6 ⊢ ran (Homf ‘𝐶) ∈ V
17	16	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran (Homf ‘𝐶) ∈ V)
18		ssid 3773	. . . . . 6 ⊢ ran (Homf ‘𝐶) ⊆ ran (Homf ‘𝐶)
19	18	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran (Homf ‘𝐶) ⊆ ran (Homf ‘𝐶))
20	7, 13, 14, 5, 17, 19	oppchofcl 17101	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (HomF‘(oppCat‘𝐶)) ∈ ((𝐶 ×c (oppCat‘𝐶)) Func (SetCat‘ran (Homf ‘𝐶))))
21	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 12, 20	curfpropd 17074	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨𝐶, (oppCat‘𝐶)⟩ curryF (HomF‘(oppCat‘𝐶))) = (⟨𝐷, (oppCat‘𝐷)⟩ curryF (HomF‘(oppCat‘𝐶))))
22	3, 4, 9, 12	hofpropd 17108	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (HomF‘(oppCat‘𝐶)) = (HomF‘(oppCat‘𝐷)))
23	22	oveq2d 6807	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨𝐷, (oppCat‘𝐷)⟩ curryF (HomF‘(oppCat‘𝐶))) = (⟨𝐷, (oppCat‘𝐷)⟩ curryF (HomF‘(oppCat‘𝐷))))
24	21, 23	eqtrd 2805	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨𝐶, (oppCat‘𝐶)⟩ curryF (HomF‘(oppCat‘𝐶))) = (⟨𝐷, (oppCat‘𝐷)⟩ curryF (HomF‘(oppCat‘𝐷))))
25		eqid 2771	. . 3 ⊢ (Yon‘𝐶) = (Yon‘𝐶)
26	25, 5, 7, 13	yonval 17102	. 2 ⊢ (𝜑 → (Yon‘𝐶) = (⟨𝐶, (oppCat‘𝐶)⟩ curryF (HomF‘(oppCat‘𝐶))))
27		eqid 2771	. . 3 ⊢ (Yon‘𝐷) = (Yon‘𝐷)
28		eqid 2771	. . 3 ⊢ (HomF‘(oppCat‘𝐷)) = (HomF‘(oppCat‘𝐷))
29	27, 6, 10, 28	yonval 17102	. 2 ⊢ (𝜑 → (Yon‘𝐷) = (⟨𝐷, (oppCat‘𝐷)⟩ curryF (HomF‘(oppCat‘𝐷))))
30	24, 26, 29	3eqtr4d 2815	1 ⊢ (𝜑 → (Yon‘𝐶) = (Yon‘𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  Vcvv 3351   ⊆ wss 3723  ⟨cop 4322  ran crn 5250  ‘cfv 6029  (class class class)co 6791  Catccat 16525  Hom_f chomf 16527  comp_fccomf 16528  oppCatcoppc 16571  SetCatcsetc 16925   curry_F ccurf 17051  Hom_Fchof 17089  Yoncyon 17090

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7094  ax-cnex 10192  ax-resscn 10193  ax-1cn 10194  ax-icn 10195  ax-addcl 10196  ax-addrcl 10197  ax-mulcl 10198  ax-mulrcl 10199  ax-mulcom 10200  ax-addass 10201  ax-mulass 10202  ax-distr 10203  ax-i2m1 10204  ax-1ne0 10205  ax-1rid 10206  ax-rnegex 10207  ax-rrecex 10208  ax-cnre 10209  ax-pre-lttri 10210  ax-pre-lttrn 10211  ax-pre-ltadd 10212  ax-pre-mulgt0 10213

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5821  df-ord 5867  df-on 5868  df-lim 5869  df-suc 5870  df-iota 5992  df-fun 6031  df-fn 6032  df-f 6033  df-f1 6034  df-fo 6035  df-f1o 6036  df-fv 6037  df-riota 6752  df-ov 6794  df-oprab 6795  df-mpt2 6796  df-om 7211  df-1st 7313  df-2nd 7314  df-tpos 7502  df-wrecs 7557  df-recs 7619  df-rdg 7657  df-1o 7711  df-oadd 7715  df-er 7894  df-map 8009  df-ixp 8061  df-en 8108  df-dom 8109  df-sdom 8110  df-fin 8111  df-pnf 10276  df-mnf 10277  df-xr 10278  df-ltxr 10279  df-le 10280  df-sub 10468  df-neg 10469  df-nn 11221  df-2 11279  df-3 11280  df-4 11281  df-5 11282  df-6 11283  df-7 11284  df-8 11285  df-9 11286  df-n0 11493  df-z 11578  df-dec 11694  df-uz 11887  df-fz 12527  df-struct 16059  df-ndx 16060  df-slot 16061  df-base 16063  df-sets 16064  df-hom 16167  df-cco 16168  df-cat 16529  df-cid 16530  df-homf 16531  df-comf 16532  df-oppc 16572  df-func 16718  df-setc 16926  df-xpc 17013  df-curf 17055  df-hof 17091  df-yon 17092

This theorem is referenced by: (None)