Theorem yonpropd 18435

Description: If two categories have the same set of objects, morphisms, and compositions, then they have the same Yoneda functor. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
hofpropd.1	⊢ (𝜑 → (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘𝐷))
hofpropd.2	⊢ (𝜑 → (compf‘𝐶) = (compf‘𝐷))
hofpropd.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
hofpropd.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)

Assertion

Ref	Expression
yonpropd	⊢ (𝜑 → (Yon‘𝐶) = (Yon‘𝐷))

Proof of Theorem yonpropd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hofpropd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘𝐷))
2		hofpropd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (compf‘𝐶) = (compf‘𝐷))
3	1	oppchomfpropd 17893	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Homf ‘(oppCat‘𝐶)) = (Homf ‘(oppCat‘𝐷)))
4	1, 2	oppccomfpropd 17894	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (compf‘(oppCat‘𝐶)) = (compf‘(oppCat‘𝐷)))
5		hofpropd.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
6		hofpropd.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
7		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (oppCat‘𝐶) = (oppCat‘𝐶)
8	7	oppccat 17889	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → (oppCat‘𝐶) ∈ Cat)
9	5, 8	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (oppCat‘𝐶) ∈ Cat)
10		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (oppCat‘𝐷) = (oppCat‘𝐷)
11	10	oppccat 17889	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ Cat → (oppCat‘𝐷) ∈ Cat)
12	6, 11	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (oppCat‘𝐷) ∈ Cat)
13		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (HomF‘(oppCat‘𝐶)) = (HomF‘(oppCat‘𝐶))
14		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (SetCat‘ran (Homf ‘𝐶)) = (SetCat‘ran (Homf ‘𝐶))
15		fvex 6896	. . . . . . 7 ⊢ (Homf ‘𝐶) ∈ V
16	15	rnex 7920	. . . . . 6 ⊢ ran (Homf ‘𝐶) ∈ V
17	16	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran (Homf ‘𝐶) ∈ V)
18		ssidd 3954	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran (Homf ‘𝐶) ⊆ ran (Homf ‘𝐶))
19	7, 13, 14, 5, 17, 18	oppchofcl 18427	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (HomF‘(oppCat‘𝐶)) ∈ ((𝐶 ×c (oppCat‘𝐶)) Func (SetCat‘ran (Homf ‘𝐶))))
20	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 12, 19	curfpropd 18400	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨𝐶, (oppCat‘𝐶)⟩ curryF (HomF‘(oppCat‘𝐶))) = (⟨𝐷, (oppCat‘𝐷)⟩ curryF (HomF‘(oppCat‘𝐶))))
21	3, 4, 9, 12	hofpropd 18434	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (HomF‘(oppCat‘𝐶)) = (HomF‘(oppCat‘𝐷)))
22	21	oveq2d 7434	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨𝐷, (oppCat‘𝐷)⟩ curryF (HomF‘(oppCat‘𝐶))) = (⟨𝐷, (oppCat‘𝐷)⟩ curryF (HomF‘(oppCat‘𝐷))))
23	20, 22	eqtrd 2796	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨𝐶, (oppCat‘𝐶)⟩ curryF (HomF‘(oppCat‘𝐶))) = (⟨𝐷, (oppCat‘𝐷)⟩ curryF (HomF‘(oppCat‘𝐷))))
24		eqid 2761	. . 3 ⊢ (Yon‘𝐶) = (Yon‘𝐶)
25	24, 5, 7, 13	yonval 18428	. 2 ⊢ (𝜑 → (Yon‘𝐶) = (⟨𝐶, (oppCat‘𝐶)⟩ curryF (HomF‘(oppCat‘𝐶))))
26		eqid 2761	. . 3 ⊢ (Yon‘𝐷) = (Yon‘𝐷)
27		eqid 2761	. . 3 ⊢ (HomF‘(oppCat‘𝐷)) = (HomF‘(oppCat‘𝐷))
28	26, 6, 10, 27	yonval 18428	. 2 ⊢ (𝜑 → (Yon‘𝐷) = (⟨𝐷, (oppCat‘𝐷)⟩ curryF (HomF‘(oppCat‘𝐷))))
29	23, 25, 28	3eqtr4d 2806	1 ⊢ (𝜑 → (Yon‘𝐶) = (Yon‘𝐷))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3451  ⟨cop 4590  ran crn 5652  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  Catccat 17831  Hom_f chomf 17833  comp_fccomf 17834  oppCatcoppc 17878  SetCatcsetc 18243   curry_F ccurf 18377  Hom_Fchof 18415  Yoncyon 18416

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-tpos 8236  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-er 8710  df-map 8842  df-ixp 8919  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-4 12400  df-5 12401  df-6 12402  df-7 12403  df-8 12404  df-9 12405  df-n0 12600  df-z 12687  df-dec 12808  df-uz 12959  df-fz 13633  df-struct 17318  df-sets 17335  df-slot 17353  df-ndx 17365  df-base 17381  df-hom 17445  df-cco 17446  df-cat 17835  df-cid 17836  df-homf 17837  df-comf 17838  df-oppc 17879  df-func 18026  df-setc 18244  df-xpc 18339  df-curf 18381  df-hof 18417  df-yon 18418

This theorem is used by: (None)