MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  yonpropd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem yonpropd 18259
Description: If two categories have the same set of objects, morphisms, and compositions, then they have the same Yoneda functor. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
hofpropd.1 (𝜑 → (Homf𝐶) = (Homf𝐷))
hofpropd.2 (𝜑 → (compf𝐶) = (compf𝐷))
hofpropd.c (𝜑𝐶 ∈ Cat)
hofpropd.d (𝜑𝐷 ∈ Cat)
Assertion
Ref Expression
yonpropd (𝜑 → (Yon‘𝐶) = (Yon‘𝐷))

Proof of Theorem yonpropd
StepHypRef Expression
1 hofpropd.1 . . . 4 (𝜑 → (Homf𝐶) = (Homf𝐷))
2 hofpropd.2 . . . 4 (𝜑 → (compf𝐶) = (compf𝐷))
31oppchomfpropd 17707 . . . 4 (𝜑 → (Homf ‘(oppCat‘𝐶)) = (Homf ‘(oppCat‘𝐷)))
41, 2oppccomfpropd 17708 . . . 4 (𝜑 → (compf‘(oppCat‘𝐶)) = (compf‘(oppCat‘𝐷)))
5 hofpropd.c . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ Cat)
6 hofpropd.d . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ Cat)
7 eqid 2725 . . . . . 6 (oppCat‘𝐶) = (oppCat‘𝐶)
87oppccat 17703 . . . . 5 (𝐶 ∈ Cat → (oppCat‘𝐶) ∈ Cat)
95, 8syl 17 . . . 4 (𝜑 → (oppCat‘𝐶) ∈ Cat)
10 eqid 2725 . . . . . 6 (oppCat‘𝐷) = (oppCat‘𝐷)
1110oppccat 17703 . . . . 5 (𝐷 ∈ Cat → (oppCat‘𝐷) ∈ Cat)
126, 11syl 17 . . . 4 (𝜑 → (oppCat‘𝐷) ∈ Cat)
13 eqid 2725 . . . . 5 (HomF‘(oppCat‘𝐶)) = (HomF‘(oppCat‘𝐶))
14 eqid 2725 . . . . 5 (SetCat‘ran (Homf𝐶)) = (SetCat‘ran (Homf𝐶))
15 fvex 6905 . . . . . . 7 (Homf𝐶) ∈ V
1615rnex 7916 . . . . . 6 ran (Homf𝐶) ∈ V
1716a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ran (Homf𝐶) ∈ V)
18 ssidd 3996 . . . . 5 (𝜑 → ran (Homf𝐶) ⊆ ran (Homf𝐶))
197, 13, 14, 5, 17, 18oppchofcl 18251 . . . 4 (𝜑 → (HomF‘(oppCat‘𝐶)) ∈ ((𝐶 ×c (oppCat‘𝐶)) Func (SetCat‘ran (Homf𝐶))))
201, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 12, 19curfpropd 18224 . . 3 (𝜑 → (⟨𝐶, (oppCat‘𝐶)⟩ curryF (HomF‘(oppCat‘𝐶))) = (⟨𝐷, (oppCat‘𝐷)⟩ curryF (HomF‘(oppCat‘𝐶))))
213, 4, 9, 12hofpropd 18258 . . . 4 (𝜑 → (HomF‘(oppCat‘𝐶)) = (HomF‘(oppCat‘𝐷)))
2221oveq2d 7432 . . 3 (𝜑 → (⟨𝐷, (oppCat‘𝐷)⟩ curryF (HomF‘(oppCat‘𝐶))) = (⟨𝐷, (oppCat‘𝐷)⟩ curryF (HomF‘(oppCat‘𝐷))))
2320, 22eqtrd 2765 . 2 (𝜑 → (⟨𝐶, (oppCat‘𝐶)⟩ curryF (HomF‘(oppCat‘𝐶))) = (⟨𝐷, (oppCat‘𝐷)⟩ curryF (HomF‘(oppCat‘𝐷))))
24 eqid 2725 . . 3 (Yon‘𝐶) = (Yon‘𝐶)
2524, 5, 7, 13yonval 18252 . 2 (𝜑 → (Yon‘𝐶) = (⟨𝐶, (oppCat‘𝐶)⟩ curryF (HomF‘(oppCat‘𝐶))))
26 eqid 2725 . . 3 (Yon‘𝐷) = (Yon‘𝐷)
27 eqid 2725 . . 3 (HomF‘(oppCat‘𝐷)) = (HomF‘(oppCat‘𝐷))
2826, 6, 10, 27yonval 18252 . 2 (𝜑 → (Yon‘𝐷) = (⟨𝐷, (oppCat‘𝐷)⟩ curryF (HomF‘(oppCat‘𝐷))))
2923, 25, 283eqtr4d 2775 1 (𝜑 → (Yon‘𝐶) = (Yon‘𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1533  wcel 2098  Vcvv 3463  cop 4630  ran crn 5673  cfv 6543  (class class class)co 7416  Catccat 17643  Homf chomf 17645  compfccomf 17646  oppCatcoppc 17690  SetCatcsetc 18063   curryF ccurf 18201  HomFchof 18239  Yoncyon 18240
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-tpos 8230  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-map 8845  df-ixp 8915  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-fz 13517  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-hom 17256  df-cco 17257  df-cat 17647  df-cid 17648  df-homf 17649  df-comf 17650  df-oppc 17691  df-func 17843  df-setc 18064  df-xpc 18162  df-curf 18205  df-hof 18241  df-yon 18242
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator